第2章 再练一课(范围：§2.5～§2.7)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 聚焦圆的方程与位置关系，通过15道题构建“概念-性质-应用”逻辑链，提炼距离公式、对称变换等核心方法，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的方程基础|单选1-3|一般方程化标准方程条件、对称点求法|从圆的定义到标准/一般方程，推导参数取值范围| |直线与圆位置关系|单选4-6、多选8|点线距判断位置、弦长公式、轨迹法|直线与圆位置关系→距离公式→弦长/面积最值| |圆与圆位置关系|多选7、填空10-11|圆心距与半径关系、公切线判定|两圆位置关系（外切/内切）→公共弦/公切线方程| |综合应用|解答13-15、填空12|公共弦方程（作差法）、切线方程求法|圆的性质综合→切线/弦长/轨迹问题，提升推理意识|

再练一课(范围：§2.5~§2.7)　 [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若曲线x2+y2+2x+my+2=0表示圆，则m的取值范围是(　　) A.(2，+∞) B.[2，+∞) C.(-∞，-2)∪(2，+∞) D.(-∞，-2]∪[2，+∞) 答案　C 解析　由22+m2-8>0得m<-2或m>2，即m的取值范围是(-∞，-2)∪(2，+∞). 2.在平面直角坐标系xOy中，直线xcos α+ysin α=1(α∈R)与圆O：x2+y2=的位置关系为(　　) A.相切 B.相交 C.相离 D.相交或相切 答案　D 解析　因为圆心到直线的距离 d==≤， 当且仅当α=kπ+(k∈Z)时，等号成立， 又圆x2+y2=的半径为， 所以直线与圆相交或相切. 3.圆(x+1)2+(y-2)2=9关于直线x-y=0对称的圆的标准方程是(　　) A.(x+2)2+(y-1)2=9 B.(x-2)2+(y+1)2=3 C.(x+2)2+(y-1)2=3 D.(x-2)2+(y+1)2=9 答案　D 解析　因为圆(x+1)2+(y-2)2=9的圆心为(-1，2)，半径为3，且(-1，2)关于直线x-y=0的对称点为(2，-1)，所以所求圆的圆心为(2，-1)，半径为3，即所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=9. 4.直线ax+by+c=0(ab≠0)截圆x2+y2=5所得弦长等于4，则以|a|，|b|，|c|为边长的三角形一定是(　　) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 答案　D 解析　由弦长为4可得+=()2，解得a2+b2=c2，所以以|a|，|b|，|c|为边长的三角形一定是直角三角形. 5.如图，已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB，则△PAB面积的最大值是(　　) A.8 B.12 C. D. 答案　C 解析　由题意，可得A(4，0)，B(0，-3)，即|OA|=4，|OB|=3，所以|AB|=5.根据题意，要使△PAB的面积最大，则点P到直线AB的距离最大，所以点P在过点C的AB的垂线上，过点C作CD⊥AB于点D(图略)，则|CD|==，所以点P到直线AB的距离的最大值为1+=， 所以△PAB面积的最大值为×5×=. 6.已知圆O：x2+y2=1，直线l：x+y+2=0，P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B.则直线AB过定点(　　) A. B.(-1，-1) C. D. 答案　A 解析　根据题意，点P为直线l：x+y+2=0上的动点，设点P的坐标为(t，-2-t)，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则PA⊥AO，PB⊥BO，则点A，B在以PO为直径的圆上，又O(0，0)，P(t，-2-t)，则以PO为直径的圆的方程为(x-t)x+(y+2+t)y=0，即x2+y2-tx+(t+2)y=0， 则有可得1-tx+(t+2)y=0，即1+2y-t(x-y)=0，即直线AB的方程为1+2y-t(x-y)=0，则有解得故直线AB过定点. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.点P在圆C1：x2+y2=1上，点Q在圆C2：(x-3)2+(y+4)2=16上，则(　　) A.两个圆的圆心所在直线的斜率为- B.两个圆的相交弦所在直线的方程为3x-4y-5=0 C.两圆的公切线有两条 D.|PQ|的最小值为0 答案　AD 解析　圆C1：x2+y2=1的圆心为C1(0，0)，半径r1=1，圆C2：(x-3)2+(y+4)2=16的圆心为C2(3，-4)，半径r2=4. 两个圆的圆心所在直线的斜率为=-，所以A选项正确；因为|C1C2|==5，r1+r2=5，所以两圆外切，故没有相交弦，两圆的公切线有三条，当点P、点Q运动到切点时，|PQ|取最小值0，所以BC选项不正确，D选项正确. 8.已知A(3，0)，圆O：x2+y2=4，点P为圆O上一动点，且点Q为线段AP的中点，则(　　) A.|OQ|的取值范围为 B.点Q的轨迹方程为+y2=1 C.直线AP的斜率的最大值为 D.当点Q在圆O上时，点Q的横坐标为 答案　ABD 解析　取OA的中点B，连接BQ， 易知当点P不在x轴上时，BQ∥OP且|BQ|=|OP|=1； 当点P在x轴上时，若P(2，0)，Q，仍有|BQ|=|OP|=1； 若P(-2，0)，Q，仍有|BQ|=|OP|=1， 所以点Q的轨迹是以B为圆心，1为半径的圆， 其轨迹方程为+y2=1，故B正确； 所以|OB|-1≤|OQ|≤|OB|+1，即≤|OQ|≤，故A正确； 显然当直线AP与圆O相切时斜率取得最值，不妨设切线方程为y=k(x-3)， 则圆心O到切线的距离为d==2⇒|k|=， 所以直线AP的斜率的最大值为，故C错误； 两圆的方程作差得其公共弦方程为x=，所以当点Q在圆O上时，即为两圆的公共弦的端点，所以其横坐标为，故D正确. 9.已知圆的圆心在直线x=-2上，且与l1：x+y-2=0相切于点Q(-1，)，过点D(-1，0)作该圆两条互相垂直的弦AE，BF，线段AE，BF的中点分别为M，N，则下列结论正确的是(　　) A.圆的方程为(x+2)2+y2=4 B.弦AE的长度的最大值为2 C.直线MN恒过定点 D.存在点G，使得|NG|为定值 答案　ACD 解析　对于A，设圆心为C(-2，b)，圆的半径为r， 由题设可知=，解得b=0，所以r==2， 故圆的方程为(x+2)2+y2=4，故A正确； 对于B，当AE过圆心C时，AE长度最长，为圆的直径4，故B错误； 对于C，线段AE，BF的中点分别为M，N，如图， 所以CM⊥AE，CN⊥BF， 又AE⊥BF，所以四边形MDNC为矩形， 所以MN与CD互相平分， 即MN过CD的中点，故C正确； 对于D，由直角三角形斜边上中线的性质知， 存在G，使|NG|=|CD|=，为定值，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.写出一个半径为3且与y轴和圆(x-4)2+y2=4都相切的圆的标准方程　　　　　　　　　　　.  答案　(x-3)2+y2=9或(x-3)2+(y-2)2=9或(x-3)2+(y+2)2=9(答案不唯一) 解析　圆(x-4)2+y2=4的圆心为(4，0)，半径为2，结合图象可知(图略)，圆心为(3，0)，半径为3的圆，即(x-3)2+y2=9与已知圆的位置关系是内切；当所求圆与已知圆外切时，设所求圆的圆心为(3，b)，由=3+2，求得b=±2，所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=9或(x-3)2+(y+2)2=9. 11.若圆C1：x2+y2-2ay=0(a>0)与圆C2：x2+y2-4x+3=0有且仅有三条公切线，则a的值为　　　　.  答案　 解析　由x2+y2-2ay=0(a>0)，可得x2+(y-a)2=a2，所以圆C1的圆心为(0，a)，半径为a，由x2+y2-4x+3=0，可得(x-2)2+y2=1，所以圆C2的圆心为(2，0)，半径为1，由题意可知两圆外切，所以=a+1，解得a=. 12.已知圆O：x2+y2=8，MN为圆O的动弦，且满足|MN|=4，G为弦MN的中点，两动点P，Q在直线l：y=x-4上，且|PQ|=4，当MN运动时，∠PGQ始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标的取值范围是　　　　　　　　.  答案　(-∞，0)∪(4，+∞) 解析　由题意，圆O：x2+y2=8，可得圆心为O(0，0)，半径r=2，因为|MN|=4，G为弦MN的中点，所以|OG|=2，又由两动点P，Q在直线l：y=x-4上，且|PQ|=4，设PQ的中点E(a，a-4)，因为当M，N在圆O上运动时，∠PGQ恒为锐角，所以以O为圆心，以2为半径的圆与以E为圆心，2为半径的圆外离，则>2+2，即a2-4a>0，解得a<0或a>4，所以线段PQ中点的横坐标的取值范围是(-∞，0)∪(4，+∞). 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知圆C1：x2+y2-3x-3y+3=0，圆C2：x2+y2-2x-2y=0，求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长. 解　把圆C1：x2+y2-3x-3y+3=0和圆C2：x2+y2-2x-2y=0的方程相减， 可得两圆的公共弦所在直线的方程为x+y-3=0. 由于圆C2：x2+y2-2x-2y=0，即圆C2：(x-1)2+(y-1)2=2，故圆心C2(1，1)，半径r2=，求得点C2到公共弦所在的直线的距离d==，故公共弦的长为2=2=. 14.(12分)已知圆C：x2+y2-4x+3=0. (1)求过点M(2，1)的圆的切线方程；(4分) (2)直线l过点N且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；(4分) (3)已知圆E的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆C外切，求圆E的标准方程.(4分) 解　(1)圆C：x2+y2-4x+3=0，即(x-2)2+y2=1，其圆心为C(2，0)，半径为1. 因为点(2，1)在圆上，如图， 所以切线方程为y=1. (2)由题意得，圆的直径为2， 所以直线l过圆心C(2，0)， 由直线的两点式方程，得=， 即直线l的方程为x+y-2=0. (3)由题意，设圆E的圆心E(a，1)，半径为R， 由圆E与y轴相切，得R=a(a>0)， 又圆E与圆C外切，所以|CE|=a+1， 由两点间距离公式得|CE|=， 所以a+1=， 解得a=， 所以圆心E，R=， 所以圆E的标准方程为+(y-1)2=. 15.(13分)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x-2)2+(y-3)2=1交于M，N两点. (1)求k的取值范围；(5分) (2)若·=12，其中O为坐标原点，求△OMN的面积.(8分) 解　(1)由题意可知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+1. 因为直线l与圆C交于两点，所以<1， 解得<k<. 所以k的取值范围为. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2). 将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1， 整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0， 所以x1+x2=，x1x2=， 所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8. 由题设得+8=12，解得k=1， 所以直线l的方程为y=x+1， 所以圆心C在直线l上，所以|MN|=2. 原点O到直线l的距离d==， 所以△OMN的面积 S=|MN|·d=×2×=. 学科网（北京）股份有限公司 $