第2章 再练一课(范围：§2.1～§2.4)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 聚焦直线与方程核心内容，以题载法构建从概念到应用的逻辑体系，强化斜率、距离等公式的灵活应用与方法迁移，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倾斜角与斜率|2题|斜率公式法、倾斜角象限判断|倾斜角→斜率→直线方向，形成概念推导链条| |两直线位置关系|4题|垂直斜率关系、平行距离公式|平行（斜率相等）→垂直（斜率乘积-1）→距离计算，构建位置关系应用逻辑| |距离与中点|3题|中点坐标公式、两点距离公式|中点坐标→距离计算，形成坐标几何基础应用链| |综合应用|3题|分类讨论法、方程思想|直线性质→几何图形（梯形），实现知识综合迁移与推理能力培养|

再练一课(范围：§2.1~§2.4) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知A(-3，-1)，B(0，2)，C(m，4)三点在同一直线上，则实数m的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　∵A(-3，-1)，B(0，2)，C(m，4)三点在同一直线上， ∴直线AB的斜率和直线AC的斜率相等， 即=，∴m=2. 2.已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A.0°≤α<90° B.90°≤α<180° C.90°<α<180° D.0°<α<180° 答案　C 解析　直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°， 又直线l经过第二、四象限， 所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 3.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，-1)，则|AB|等于(　　) A.5 B.4 C.2 D.2 答案　C 解析　设A(x，0)，B(0，y)， 由中点坐标公式得x=4，y=-2， 则由两点间的距离公式，得|AB|===2. 4.已知直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直，垂足为(2，p)，则p+m+n的值为(　　) A.-6 B.6 C.4 D.10 答案　A 解析　因为直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直， 所以2×3+(-2)×m=0，解得m=3， 又垂足为(2，p)， 代入两条直线方程可得 解得 则p+m+n=-1+3+(-8)=-6. 5.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x+2y+1=0和3x+2y+4=0，另一组对边所在的直线方程分别为4x-6y+c1=0和4x-6y+c2=0，则|c1-c2|等于(　　) A. B. C. D.6 答案　D 解析　直线3x+2y+1=0与3x+2y+4=0间的距离d1==， 直线4x-6y+c1=0与4x-6y+c2=0间的距离d2==|c1-c2|， 又由正方形特点可知d1=d2， 即=|c1-c2|，解得|c1-c2|=6. 6.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0(a1≠a2，b1≠b2)都过点A(2，1)，则过点P(a1，b1)，Q(a2，b2)的直线方程是(　　) A.2x+y-1=0 B.2x+y+1=0 C.2x-y+1=0 D.x+2y+1=0 答案　B 解析　方法一　将A(2，1)代入两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0， 得2a1+b1+1=0， ① 2a2+b2+1=0， ② 由①-②，得2(a1-a2)=b2-b1. 则过点P(a1，b1)，Q(a2，b2)的直线方程为=，即y-b1=-2(x-a1)，则2x+y-(2a1+b1)=0.由2a1+b1+1=0，得2a1+b1=-1，所以所求直线方程为2x+y+1=0. 方法二　因为两直线都过点A(2，1)，则即点P(a1，b1)，Q(a2，b2)都满足方程2x+y+1=0，故所求直线方程为2x+y+1=0. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.直线l1：ax-y+b=0与直线l2：bx+y-a=0(ab≠0)的图象可能是(　　) 答案　BC 解析　l1：y=ax+b，l2：y=-bx+a. 在A中，由l1知a>0，b<0，则-b>0，与l2的图象不符； 在B中，由l1知a>0，b>0，则-b<0，与l2的图象相符； 在C中，由l1知a<0，b>0，则-b<0，与l2的图象相符； 在D中，由l1知a>0，b>0，则-b<0，与l2的图象不符. 8.若直线l1：x-y-5=0，l2：Ax-By+3=0，l3：Ax+2y+1=0，且l1∥l2，l1⊥l3，则(　　) A.A=-2 B.B=2 C.l1，l2之间的距离为 D.l2，l3的交点坐标为 答案　BCD 解析　由l1∥l2及l1⊥l3得 解得A=B=2，故A错误，B正确； 则l2：2x-2y+3=0，l3：2x+2y+1=0，又l1：x-y-5=0，即2x-2y-10=0， 所以l1，l2之间的距离为=，故C正确； 由得所以l2，l3的交点坐标为，故D正确. 9.已知直线l：x-y+1=0，则下列结论正确的是(　　) A.直线l的一个法向量为(，1) B.若直线m：x-y+1=0，则l⊥m C.点到直线l的距离是2 D.过(2，2)与直线l平行的直线方程是x-y-4=0 答案　CD 解析　对于A，直线l的一个法向量可以为(，-1)，(，-1)与(，1)不共线，故A错误； 对于B，直线l的斜率k=，直线m：x-y+1=0的斜率k'=，kk'=1≠-1，故直线l与直线m不垂直，故B错误； 对于C，点(，0)到直线l的距离d==2，故C正确； 对于D，过(2，2)与直线l平行的直线方程是y-2=(x-2)，整理得x-y-4=0，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知直线l：x+2y-1=0，写出直线的一个方向向量　　　　.  答案　(答案不唯一) 解析　由直线l：x+2y-1=0， 可知直线l的斜率为-， 所以直线l的一个方向向量为. 11.已知直线l1经过点A(0，-1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，-2).若l1与l2没有公共点，则实数a的值为　　　　.  答案　-6 解析　∵直线l2经过点M(1，1)和点N(0，-2)，∴==3， ∵直线l1经过点A(0，-1)和点B， ∴==-， ∵l1与l2没有公共点，则l1∥l2，∴-=3， 解得a=-6. 12.已知直线l与直线l1：2x-y+3=0和l2：2x-y-1=0的距离相等，则直线l的方程是　　　　　　　.  答案　2x-y+1=0 解析　方法一　由题意可设l的方程为2x-y+c=0， 于是有=， 即|c-3|=|c+1|，解得c=1， 则直线l的方程为2x-y+1=0. 方法二　由题意知l必介于l1与l2中间， 故设l的方程为2x-y+c=0， 则c==1. 则直线l的方程为2x-y+1=0. 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知坐标平面内两点M(m+3，3m+5)，N(2m-1，1). (1)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出m的取值范围；(8分) (2)若直线MN的一个方向向量为a=(1，-2 027)，求m的值.(4分) 解　(1)当直线MN的倾斜角为锐角时， k=>0，解得-<m<4； 当直线MN的倾斜角为钝角时， k=<0，解得m<-或m>4， 所以当直线MN的倾斜角为锐角时，-<m<4；倾斜角为钝角时，m<-或m>4. (2)=(m-4，-3m-4)， 又直线MN的一个方向向量为a=(1，-2 027)， 所以-2 027(m-4)=-3m-4， 解得m=. 14.(12分)已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0.求： (1)顶点C的坐标；(6分) (2)直线BC的方程.(6分) 解　(1)因为AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，所以kAC=-2， 又因为点A(5，1)， 所以AC边所在直线方程为2x+y-11=0. 又因为AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0， 由解得 所以C(4，3). (2)设B(m，n)， 则AB的中点M在中线CM上， 所以2×--5=0， 即2m-n-1=0. 又点B(m，n)在高BH上， 所以m-2n-5=0. 由解得 所以B(-1，-3). 所以直线BC的方程为=， 即6x-5y-9=0. 15.(13分)已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，-1)，C(4，2)，D(2，2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形. 解　如图1，当∠A=∠D=90°时， 图1 ∵四边形ABCD为直角梯形， ∴AB∥DC且AD⊥AB. ∵kDC=0， ∴m=2，n=-1. 如图2，当∠A=∠B=90°时， 图2 ∵四边形ABCD为直角梯形， ∴AD∥BC，且AB⊥BC， ∴kAD=kBC，kAB·kBC=-1. ∴ 解得 综上所述，m=2，n=-1或m=，n=-. 学科网（北京）股份有限公司 $