第3章 3.4 曲线与方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦“曲线与方程”核心知识点，先通过定义辨析曲线与方程的关系，再系统梳理求轨迹方程的定义法、直接法、相关点法，搭建从概念理解到方法应用的学习支架，衔接平面直角坐标系与圆锥曲线知识。 资料以“概念辨析+多法训练”为特色，通过例1判断方程与曲线关系培养推理能力，用相关点法等实例渗透模型观念，课中助力教师高效授课，课后课时对点练帮助学生查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

学习目标　1.进一步理解曲线的方程和方程的曲线的概念，掌握求曲线的方程和由方程研究曲线性质的方法.2.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的步骤.3.掌握求轨迹方程的几种常用方法. 一、曲线与方程的概念 曲线的方程与方程的曲线 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解， (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线. 例1　(1)已知坐标满足方程f(x，y)=0的点都在曲线C上，那么(　　) A.曲线C上的点的坐标都满足方程f(x，y)=0 B.坐标不满足f(x，y)=0的点都不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标必不满足f(x，y)=0 D.不在曲线C上的点的坐标有些满足f(x，y)=0，有些不满足f(x，y)=0 答案　C (2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系： ①与两坐标轴的距离之积等于5的点与方程xy=5之间的关系； ②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x+y=0之间的关系. 解　①与两坐标轴的距离之积等于5的点的坐标不一定满足方程xy=5，但以方程xy=5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离之积等于5的点的轨迹方程不是xy=5. ②第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x+y=0；反之，以方程x+y=0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x+y=0. 反思感悟　判断方程是不是曲线的方程的两个关键点 (1)检验点的坐标是否适合方程. (2)检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上. 跟踪训练1　判断下列命题是否正确. (1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是y=； (2)过点A(2，0)平行于y轴的直线l的方程为|x|=2. 解　(1)不正确.设(x0，y0)是方程y=的解， 则y0=， 即+=r2. 两边开平方取算术平方根，得=r， 即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点. 因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.但是，以原点为圆心、r为半径的圆上的一点如点在圆上，却不是y=的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解.所以，以原点为圆心，r为半径的圆的方程不是y=，而应是y=±. (2)不正确.直线l上的点的坐标都是方程|x|=2的解.但是，坐标满足|x|=2的点不一定在直线l上，因此|x|=2不是直线l的方程，直线l的方程应为x=2. 二、求曲线的方程 角度1　定义法求曲线方程 例2　已知△ABC的顶点A(-5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1(x>3) D.-=1(x>4) 答案　C 解析　如图，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2， |CD|=|CF|， 所以|CA|-|CB|=8-2=6<10=|AB|. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y≠0)，方程为-=1(x>3). 反思感悟　(1)定义法的适用范围 若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程. (2)注意2个易误点 ①因为对圆锥曲线定义中的某些特定条件理解不透彻或忽视某些限制条件而失误.在利用定义法求轨迹方程时一定要正确应用圆锥曲线的定义. ②不会迁移应用已知条件，因而找不到解题思路，无法解题. 跟踪训练2　如图所示，已知圆C：(x+1)2+y2=25及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程. 解　由垂直平分线的性质可知|MQ|=|MA|， ∴|CM|+|MA|=|CM|+|MQ|=|CQ|， ∴|CM|+|MA|=5>2. ∴点M的轨迹为椭圆，其中2a=5， 焦点为C(-1，0)，A(1，0)， 则a=，c=1， ∴b2=a2-c2=-1=. ∴点M的轨迹方程为+=1， 即+=1. 角度2　直接法求轨迹方程 例3　(课本例2)　点M(x，y)与定点F(1，0)的距离和它到直线l：x=4的距离的比是常数，求点M的轨迹，并画出图形. 解　设点M(x，y)到直线l的距离为d，由题意得=，由此得=. 将上式化简，得3x2+4y2=12，即所求轨迹方程为+=1. 因此，点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为4， 短轴长为2的椭圆，如图. 例3　在等腰△ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4，2)，B(-2，0)，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程. 解　设点C的坐标为(x，y)， ∵△ABC为等腰三角形，且A为顶点， ∴|AB|=|AC|. 又∵|AB|==2， ∴|AC|==2， ∴(x-4)2+(y-2)2=40. 又∵点C不能与点B重合，也不能使A，B，C三点共线.∴x≠-2且x≠10， ∴点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=40(x≠-2且x≠10). 反思感悟　直接法求轨迹方程的思路 直接法求轨迹方程最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这六个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性. 跟踪训练3　一个动点P到直线x=8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程. 解　设P(x，y)，则|8-x|=2|PA|， 则|8-x|=2， 化简得3x2+4y2=48， 故动点P的轨迹方程为+=1. 角度3　相关点法求轨迹方程 例4　(课本例1)　如图，在圆x2+y2=9上任取一点P，过点P向x轴作垂线段PD，D为垂足.若M为线段PD的中点，求点M的轨迹方程. 解　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x=x0，y=. 因为点P(x0，y0)在圆x2+y2=9上， 所以+=9. 把x0=x，y0=2y代入上述方程，得x2+4y2=9.即所求轨迹方程为+=1. 例4　动点M在曲线x2+y2=1上移动，点M和定点B(3，0)连线的中点为P，求点P的轨迹方程. 解　设P(x，y)，M(x0，y0)， 因为P为MB的中点， 所以即 又因为点M在曲线x2+y2=1上， 所以+=1，所以(2x-3)2+4y2=1. 所以点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1. 反思感悟　相关点法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0). (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理，得所求轨迹方程. 跟踪训练4　设F(1，0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且=2，⊥，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为　　　　　　　　.  答案　y2=4x 解析　设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)， 因为⊥，=(x0，-y0)，=(1，-y0)， 所以(x0，-y0)·(1，-y0)=0，所以x0+=0. 由=2得(x-x0，y)=2(-x0，y0)， 所以即 所以-x+=0， 即y2=4x. 故点N的轨迹方程是y2=4x. 1.知识清单： (1)曲线与方程的定义. (2)求曲线的方程. 2.方法归纳：直接法、相关点法、定义法、数形结合. 3.常见误区：忽略曲线方程的纯粹性（挖点）. 1.若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解”是真命题，则下列命题为真命题的是(　　) A.方程f(x，y)=0所表示的曲线是曲线C B.方程f(x，y)=0所表示的曲线不一定是曲线C C.f(x，y)=0是曲线C的方程 D.以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上 答案　B 解析　“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解”，但以方程f(x，y)=0的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，C，D都为假命题，B为真命题. 2.已知点F，直线l：x=-，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　) A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 答案　D 解析　由题意得|MF|=|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线. 3.动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x=的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是　　　　　　　　.  答案　+=1 解析　因为动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x=的距离的比是常数， 所以=， 即25[(x-4)2+y2]=16， 整理可得9x2+25y2=225，即+=1. 4.如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，点M是线段PD上一点，且|MD|=|PD|.当点P在圆上运动时，动点M的轨迹方程是　　　　　　　　.  答案　+=1 解析　设M(x，y)，P(x1，y1)， 因为点D是P在x轴上的射影，点M是线段PD上一点，且|MD|=|PD|，所以 因为P(x1，y1)在圆x2+y2=25上， 所以x2+=25，化简得+=1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.已知直线l：x+y-3=0及曲线C：(x-3)2+(y-2)2=2，则点M(2，1)(　　) A.在直线l上，但不在曲线C上 B.在直线l上，也在曲线C上 C.不在直线l上，也不在曲线C上 D.不在直线l上，但在曲线C上 答案　B 解析　将M(2，1)代入直线l和曲线C的方程，由于2+1-3=0，(2-3)2+(1-2)2=2，所以点M既在直线l上又在曲线C上. 2.在平面直角坐标系中，动点P关于x轴对称的点为Q，且·=2，则点P的轨迹方程为(　　) A.x2+y2=2 B.x2-y2=2 C.x+y2=2 D.x-y2=2 答案　B 解析　设P(x，y)，则Q(x，-y)， 因为·=2，所以x2-y2=2. 3.已知椭圆+=1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线 答案　B 解析　设椭圆的右焦点为F2，O为坐标原点， 由题意知，|PO|=|MF2|，|PF1|=|MF1|， 又|MF1|+|MF2|=2a， 所以|PO|+|PF1|=a>|F1O|=c， 故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆. 4.(2024·新课标全国Ⅱ)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) A.+=1(y>0) B.+=1(y>0) C.+=1(y>0) D.+=1(y>0) 答案　A 解析　设点M(x，y)， 则P(x，y0)，P'(x，0)， 因为M为PP'的中点， 所以y0=2y，即P(x，2y)， 又P在曲线x2+y2=16(y>0)上， 所以x2+4y2=16(y>0)， 即+=1(y>0)， 即点M的轨迹方程为+=1(y>0). 5.设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|=5，=+，则点M的轨迹方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案　A 解析　设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)， 由=+， 可得(x，y)=(x0，0)+(0，y0)， 则解得 因为|AB|=5， 所以+=25， 即+=1. 6.(多选)在平面直角坐标系中，曲线C上任意点P与两个定点A(-1，0)和点B(1，0)连线的斜率之积等于2，则关于曲线C的结论正确的有(　　) A.曲线C为双曲线 B.曲线C是中心对称图形 C.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=1外 D.曲线C是轴对称图形 答案　BCD 解析　设点P，根据题意可得kPA·kPB=2，即·=2，且x≠±1， 化简得x2-=1，曲线C是双曲线除去顶点，，如图所示，故A错误； 对于B，曲线C关于原点中心对称，故B正确； 对于C，曲线C上所有点均在圆x2+y2=1外，故C正确； 对于D，曲线C关于x轴，y轴对称，故D正确. 7.(5分)在△ABC中，|BC|=4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|-|CD|=2，则顶点A的轨迹方程为　　　　　　　.  答案　-=1(x>) 解析　以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，E，F分别为AB，AC边上的切点. 则|BE|=|BD|，|CD|=|CF|， |AE|=|AF|. 所以|AB|-|AC|=|BD|-|CD|=2<4， 所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a=，c=2， 所以b=， 所以顶点A的轨迹方程为-=1(x>). 8.(5分)已知两点M(-2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||||+·=0，则动点P(x，y)的轨迹方程为　　　　　　　　.  答案　y2=-8x 解析　由题意知=(4，0)，=(x+2，y)， =(x-2，y)， ∴||=4，||=， ·=4(x-2). 根据已知条件得4=4(2-x). 整理得y2=-8x. ∴点P的轨迹方程为y2=-8x. 9.(10分)已知平面内B，C是两个定点，|BC|=8. ①△ABC的周长为18； ②直线AB，AC的斜率分别为kAB，kAC，且kAB·kAC=-. 请从上面两个条件中任选一个作答，以BC的中点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，求出△ABC顶点A的轨迹方程. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 解　选择条件①：根据椭圆定义，平面上到两个定点的距离之和为定值，且定值大于定长的点的集合轨迹为椭圆，由|BC|=8，得2c=8， 解得c=4， 由2a=18-8=10，得a=5， 则有a2=25，c2=16， 那么b2=a2-c2=9，且A，B，C三点构成三角形， 那么点A的轨迹方程为+=1(y≠0). 选择条件②：设点A(x，y)， 又B(-4，0)，C(4，0)， 则有kAB=，kAC=， 且kAB·kAC=-，那么·=-， 可得=-，即+=1， 且A，B，C三点构成三角形，那么点A的轨迹方程为+=1(y≠0). 10.(10分)如图所示，Rt△ABC的顶点A(-2，0)，直角顶点B(0，-2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点. (1)求边BC所在直线的方程；(3分) (2)M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；(3分) (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程.(4分) 解　(1)∵kAB=-，AB⊥BC， ∴kCB=. ∴边BC所在直线的方程为y=x-2， 即x-y-4=0. (2)∵边BC所在直线的方程为x-y-4=0， 令y=0，得C(4，0). ∴圆心M(1，0). 又∵|AM|=3， ∴圆M的方程为(x-1)2+y2=9. (3)∵P(-1，0)，M(1，0)，且圆N过点P(-1，0)， ∴|PN|是该圆的半径. 又∵动圆N与圆M内切， ∴|MN|=3-|PN|， 即|MN|+|PN|=3>2. ∴点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，且2a=3. ∴a=，c=1，b===. ∴圆心N的轨迹方程为x2+y2=1. 11.若动点P(x，y)满足=，则点P的轨迹应为(　　) A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.圆 答案　B 解析　动点P满足=， 所以动点P到定点的距离与到定直线x-y-1=0的距离相等， 其中定点不在定直线上.因此点P的轨迹应为抛物线. 12.设向量s=(x，y+1)，t=(y-1，x)(x，y∈R)，满足|s|+|t|=4，则点M(x，y)的轨迹C的方程是(　　) A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 答案　C 解析　由题意可得+=4，即表示点M(x，y)到(0，-1)，(0，1)的距离之和为4， 且4>2，则点M(x，y)的轨迹是以(0，-1)，(0，1)为焦点的椭圆， 则2a=4，2c=2，所以b2=3， 可得点M(x，y)的轨迹C的方程为+=1. 13.(多选)(2024·新课标全国Ⅰ)设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于-2，到点F(2，0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4，则(　　) A.a=-2 B.点(2，0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点(x0，y0)在C上时，y0≤ 答案　ABD 解析　对于A，设曲线上的动点P(x，y)，则x>-2且×|x-a|=4， 因为曲线过坐标原点，故×|0-a|=4，解得a=-2，故A正确； 对于B，曲线方程为 ×|x+2|=4，而x>-2， 故×(x+2)=4. 当x=2，y=0时， ×(2+2)=8-4=4， 故(2，0)在曲线上，故B正确； 对于C，由曲线的方程可得 y2=-(x-2)2，取x=， 则y2=-，而--1=-=>0，故此时y2>1， 故C在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1，故C错误； 对于D，当点(x0，y0)在曲线上时，由C的分析可得=-(x0-2)2≤，故-≤y0≤，故D正确. 14.(5分)已知过点A(-3，0)的直线与x=3相交于点C，过点B(3，0)的直线与x=-3相交于点D，若直线CD与圆x2+y2=9相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为　　　　　　　　.  答案　+=1(y≠0) 解析　设点M(x，y)，C(3，m)，D(-3，n)，mn≠0，则直线CD的方程为(m-n)x-6y+3(m+n)=0，因为直线CD与圆x2+y2=9相切， 所以=3，所以mn=9， 又直线AC与BD的交点为M， 所以解得 所以-=9， 所以点M的轨迹方程为+=1(y≠0). 15.(多选)已知曲线C上的点满足：到定点F(0，1)的距离与到定直线l：y=3的距离之和为4，则(　　) A.曲线C恰好经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点) B.曲线C上的点的横坐标的取值范围是[-4，4] C.曲线C上的点到直线x-y-15=0的距离的最大值为12 D.曲线C上的点与点F的距离的取值范围为 答案　ACD 解析　由题意得曲线C上的点(x，y)到定点F(0，1)的距离与到定直线l：y=3的距离之和为4， 则+|y-3|=4，即x2+(y-1)2=(4-|y-3|)2， 整理得y=，y≤3或y=4-，y>3， 作出曲线C的图象如图所示， 对于B，y>3即4->3⇒-2<x<2；y≤3即≤3⇒-2≤x≤2，故B错误； 对于A，由B可得x可取±3，±2，±1，0， 当x=±3时，y=或，无整点； 当x=±2时，y=1或，整点为(-2，1)，(2，1)； 当x=±1时，y=或，无整点； 当x=0时，y=0或4，整点为(0，0)，(0，4)， 所以共有4个整点，故A正确； 对于C，作直线x-y-15=0的平行线x-y+m=0， 当平行线过点(-2，3)时，两平行线间的距离最大，最大距离为=12，即C上的点到直线x-y-15=0的距离的最大值为12，故C正确； 对于D，C上的点到定直线y=3的距离的取值范围为，则C上的点与点F的距离的取值范围为，故D正确. 16.(12分)在平面直角坐标系xOy中，长度为2的线段MN的两个端点分别在x轴、y轴上运动，动点P满足2=3+. (1)求动点P的轨迹C的方程；(5分) (2)若F(-2，0)，A(3，0)，求·的取值范围.(7分) 解　(1)设P(x，y)，M(m，0)，N(0，n)， 因为|MN|=2，所以m2+n2=4， 由2=3+，得2(x，y)=3(m，0)+(0，n)， 所以解得 代入m2+n2=4，得x2+y2=4，化简得+=1， 故动点P的轨迹C的方程为+=1. (2)=(-2-x，-y)，=(3-x，-y)， ·=(-2-x)(3-x)+y2=x2-x-6+5-=-x-1=-， 因为-3≤x≤3， 所以当x=时，·取最小值-； 当x=-3时，·取最大值6， 所以·的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $