第3章 3.3.1 抛物线的标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦抛物线的标准方程核心知识点，从初中二次函数初步认识切入，通过实验抽象抛物线定义，推导四种标准方程形式，明确焦点准线几何意义，最终应用定义解决距离最值问题，构建完整学习支架。 以足球吊射情境导入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过作图实验抽象定义培养几何直观。例题分层递进，如分类讨论焦点位置培养推理意识，定义应用解决最值问题发展模型意识。课中辅助教师高效授课，课后对点练助力学生查漏补缺，强化知识应用。

3.3.1　抛物线的标准方程 学习目标　1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.明确抛物线方程中参数p的几何意义.3.会求简单的抛物线方程，并能应用它解决有关问题. 导语 足球比赛中，球员们采用不同的方式射门，其中“吊射破门”是一种非常赏心悦目的进球方式，只见球划出一道美丽的抛物线，高高的越过起跳的守门员，坠落进入球门.事实上，我们在初中就已经初步学习过抛物线(二次函数)，我们能否像学习圆、椭圆、双曲线那样对抛物线进行更深入的研究呢？ 一、抛物线的定义 问题1　如图，先将一把直尺固定在画板上，再把一个直角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘(记作直线l)，然后取一根细绳，它的长度与另一条直角边AB相等，细绳的一端固定在三角板顶点A处，另一端固定在画板上的点F处.用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线，即点P的轨迹.你能发现点P满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 提示　点P运动的过程中，始终有|PF|=|PB|，即点P与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点P的轨迹形状与二次函数的图象相似. 知识梳理 平面上到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. 注意点： (1)“一动三定”：一动点P；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点P到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1). (2)若点F在直线l上，则到定点F和定直线l距离相等的点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线. 例1　在平面上，到直线x=-2与到定点P(2，0)的距离相等的点的轨迹是(　　) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线 答案　A 解析　设动点M到定点P(2，0)的距离与到定直线l：x=-2的距离相等， 则M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线. 反思感悟　理解抛物线的定义是解决问题的关键，要抓住平面上的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定直线上. 跟踪训练1　在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　若点P的轨迹为抛物线，则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，且该定点在该定直线上，则点P的轨迹就不是抛物线，故应为必要而不充分条件. 二、求焦点、准线及抛物线的标准方程 问题2　比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 提示　过F作直线FN⊥直线l，垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设焦点F到准线l的距离为p，则F，又设P(x，y)为抛物线上任意一点.过点P作PH⊥l，垂足为H，则|PF|=|PH|，得=，将上式两边平方并化简，得y2=2px(p>0). 知识梳理 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) x=- y2=-2px(p>0) x= x2=2py(p>0) y=- x2=-2py(p>0) y= 注意点： (1)p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直，坐标原点与焦点的距离等于其到准线的距离. (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项变量(x或y)及其系数的正负. (4)抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离为x0+(焦半径公式). 例2　(课本例1)　求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2=4x； (2)y=ax2，其中a>0. 解　(1)方程具有标准形式y2=2px，其中2p=4，从而p=2，=1.于是，焦点在x轴的正半轴上，且坐标为(1，0)，准线方程为x=-1. (2)方程可化为x2=y，具有标准形式x2=2py，其中2p=，从而p=，=.于是，焦点在y轴的正半轴上，且坐标为，准线方程为y=-. 例2　(课本例2)　求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为F(0，-4)； (2)准线方程为x=； (3)焦点在坐标轴上，经过点M(-2，-4). 解　(1)因为焦点F(0，-4)在y轴的负半轴上，并且-=-4，即p=8. 因此，所求抛物线的标准方程为x2=-16y. (2)由准线方程为x=知，焦点在x轴的负半轴上，并且=，即p=1. 因此，所求抛物线的标准方程为y2=-2x. (3)若抛物线的焦点在x轴上，由于它过第三象限的点M(-2，-4)，可知抛物线开口向左(如图)，因此可设其方程为y2=-2px(p>0). 把点M的坐标代入，得到(-4)2=-2p·(-2)，解得p=4.从而抛物线的方程为y2=-8x. 若抛物线的焦点在y轴上，由于它过第三象限的点M(-2，-4)，可知抛物线开口向下(如图)，因此可设其方程为x2=-2py(p>0). 把点M的坐标代入，得到(-2)2=-2p·(-4)，解得p=.从而抛物线的方程为x2=-y. 因此，所求抛物线的标准方程为y2=-8x或x2=-y. 例2　(1)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： ①y2=x；　②x2=-y；　③x2+12y=0. 解　①对于y2=x，焦点在x轴正半轴上， 则焦点坐标为，准线方程为x=-. ②对于x2=-y，焦点在y轴负半轴上， 则焦点坐标为，准线方程为y=. ③对于x2+12y=0，即x2=-12y， 焦点在y轴负半轴上， 则焦点坐标为(0，-3)，准线方程为y=3. (2)分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. ①焦点为(-2，0)； ②准线为y=-1； ③过点A(2，3)； ④焦点到准线的距离为. 解　①由于焦点在x轴的负半轴上， 且=2，∴p=4， ∴抛物线的标准方程为y2=-8x. ②∵焦点在y轴正半轴上，且=1， ∴p=2，∴抛物线的标准方程为x2=4y. ③由题意，抛物线方程可设为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0)， 将点A(2，3)的坐标代入， 得32=m·2或22=n·3， ∴m=或n=. ∴所求抛物线的标准方程为y2=x或x2=y. ④由焦点到准线的距离为，可知p=. ∴所求抛物线的标准方程为 y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y. 反思感悟　(1)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 (2)当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数. (3)求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由方程得到参数p，从而得焦点坐标与准线方程. 跟踪训练2　(1)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p=　　　　　，准线方程为　　　　　　　.  答案　2　x=-1 解析　因为抛物线的焦点坐标为(1，0)， 所以=1，p=2，准线方程为x=-=-1. (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为　　　　　　.  答案　x2=10y和x2=-10y 解析　设抛物线的方程为x2=2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|=5，m=±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y. 三、抛物线定义的应用 例3　(1)已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|=x0，则x0等于(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案　A 解析　∵+x0=x0， ∴x0=1. (2)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值. 解　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，当点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时所求距离之和最小， 所以最小距离d= =. 延伸探究1　若将本例(2)中的点(0，2)改为点A(3，2)，求|PA|+|PF|的最小值. 解　将x=3代入y2=2x， 得y=±. 所以点A在抛物线内部. 设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x=-的距离为d， 则|PA|+|PF|=|PA|+d. 由图可知，当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值是.即|PA|+|PF|的最小值是. 延伸探究2　若将本例(2)中的点(0，2)换为直线l1：3x-4y+=0，求点P到直线3x-4y+=0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值. 解　如图，作PQ垂直于准线l于点Q，A1为直线l1上一点， |PA1|+|PQ|=|PA1|+|PF|≥.|A1F|的最小值为点F到直线3x-4y+=0的距离d==1. 即所求距离之和的最小值为1. 反思感悟　抛物线定义的应用 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题. 跟踪训练3　已知点P是抛物线C：x2=12y上的一点，过点P作直线y=-1的垂线，垂足为M，若G(4，0)，则|PG|+|PM|的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　A 解析　由抛物线C：x2=12y可知其焦点为(0，3)， 准线方程为y=-3， 记抛物线C的焦点为F(0，3)， 所以|PG|+|PM|=|PG|+|PF|-2 ≥|FG|-2=-2=3， 当且仅当点P在线段FG上时等号成立， 所以|PG|+|PM|的最小值为3. 1.知识清单： (1)抛物线的定义. (2)抛物线的标准方程的四种形式. (3)抛物线定义的应用. 2.方法归纳：待定系数法、定义法. 3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式. 1.抛物线y=-x2的准线方程是(　　) A.x= B.x= C.y=2 D.y=4 答案　C 解析　将y=-x2化为标准方程x2=-8y，由此可知准线方程为y=2. 2.准线为x=1的抛物线的标准方程为(　　) A.y2=4x B.y2=-4x C.x2=4y D.x2=-4y 答案　B 解析　由题知抛物线的焦点在x轴的负半轴上，=1，即p=2， 故抛物线的方程为y2=-4x. 3.已知抛物线y=2px2过点(1，4)，则该抛物线的焦点坐标为(　　) A.(1，0) B. C. D.(0，1) 答案　C 解析　由抛物线y=2px2过点(1，4)，可得p=2， ∴抛物线的标准方程为x2=y， 则焦点坐标为. 4.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是(　　) A.5 B. C.-1 D.+1 答案　C 解析　点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1，0)的距离.圆心坐标是(0，4)，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是-1，这个值即为所求. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.已知抛物线的标准方程为y2=ax，则其焦点坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　抛物线的标准方程为y2=ax，则其焦点坐标为. 2.过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 答案　D 解析　由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义. 3.石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水平面距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是(　　) A.1米 B.2米 C.4米 D.8米 答案　B 解析　设抛物线C：x2=-2py(p>0)， 由题意可知点(4，-4)在抛物线C上， 则-2p×(-4)=42，解得p=2， 故抛物线C的焦点到准线的距离是2米. 4.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　) A.2 B.3 C. D. 答案　A 解析　易知直线l2：x=-1恰为抛物线y2=4x的准线， 如图所示，动点P到l2：x=-1的距离可转化为PF的长度， 其中F(1，0)为抛物线y2=4x的焦点.由图可知，距离之和的最小值即F到直线l1的距离d==2. 5.(多选)经过点P(4，-2)的抛物线的标准方程可以为(　　) A.y2=x B.x2=8y C.x2=-8y D.y2=-8x 答案　AC 解析　若抛物线的焦点在x轴上， 因为抛物线经过点P(4，-2)， 可设抛物线的方程为y2=2px(p>0)， 所以(-2)2=2p×4， 解得p=， 所以抛物线的方程为y2=x. 若抛物线的焦点在y轴上， 因为抛物线经过点P(4，-2)， 可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0)， 所以42=-2p×(-2)，解得p=4， 所以抛物线的方程为x2=-8y. 6.(多选)已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，-3)到焦点的距离为5，则m的值为(　　) A.2 B.-2 C.2 D.-2 答案　CD 解析　设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0)， 则焦点为F. ∵M(m，-3)在抛物线上，且|MF|=5， ∴解得∴m=±2. 7.(5分)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为　　　　　　.  答案　 解析　抛物线方程化为x2=y，准线为y=-，由于点M到焦点的距离为1，所以M到准线的距离也为1，所以M点的纵坐标等于1-=. 8.(5分)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为-，那么|PF|=　　　　　　.  答案　8 解析　如图，∠AFE=60°， 因为F(2，0)，所以E(-2，0)， 则=tan 60°， 即|AE|=4， 所以点P的坐标为(6，4)， 故|PF|=|PA|=6+2=8. 9.(10分)根据下列条件分别求抛物线的标准方程. (1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；(5分) (2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.(5分) 解　(1)双曲线方程可化为-=1，左顶点为(-3，0)， 由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且-=-3， ∴p=6，∴抛物线的方程为y2=-12x. (2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2px(p≠0)，A(m，-3)， 由抛物线定义得5=|AF|=. 又(-3)2=2pm，∴p=±1或p=±9， 故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x. 10.(10分)已知抛物线C：x2=2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程. 解　不妨设点A在第一象限且A(m，n)， 则B(-m，n)，可得m2=2pn， AB⊥y轴，且OA⊥OB， 即△AOB为等腰直角三角形， 则OA的斜率为1，即m=n， 由△AOB的面积为16， 可得·2m·n=16， 解得m=n=4， 所以p=2， 所以抛物线C的方程为x2=4y. 11.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|等于(　　) A. B. C.3 D.2 答案　C 解析　过点Q作QQ'⊥l于点Q'，如图. ∵=4， ∴|PQ|∶|PF|=3∶4， 又焦点F到准线l的距离为4，∴|QF|=|QQ'|=3. 12.(多选)已知F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线y2=4x上一动点，Q是☉C：(x-4)2+(y-1)2=1上一动点，则下列说法正确的有(　　) A.|PF|的最小值为1 B.|QF|的最小值为 C.|PF|+|PQ|的最小值为4 D.|QF|的最大值为+1 答案　ACD 解析　抛物线焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1，☉C：(x-4)2+(y-1)2=1的圆心为C(4，1)，半径r=1， 作出图象如图所示， 对于A，由抛物线的性质可知，|PF|的最小值为|OF|=1，故A正确； 对于B，D，因为|CF|==>r，所以F是☉C外一定点， 由圆的性质可知|QF|的最小值为|CF|-r=-1， |QF|的最大值为|CF|+r=+1，故B错误，D正确； 对于C，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知|PF|=|PM|， 故|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|， 而|PM|+|PQ|的最小值为点Q到准线x=-1的距离的最小值，故最小值为4，故C正确. 13.(5分)已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|=6，则C的准线方程为　　　　.  答案　x=- 解析　方法一　由题意，易得|OF|=， |PF|=p，∠OPF=∠PQF， 所以tan∠OPF=tan∠PQF， 所以=，即=，解得p=3， 所以C的准线方程为x=-. 方法二　由题意，易得|OF|=，|PF|=p， |PF|2=|OF|·|FQ|，即p2=×6， 解得p=3或p=0(舍去)， 所以C的准线方程为x=-. 14.(5分)若抛物线y2=2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标是　　　　　　.  答案　2 解析　由抛物线方程y2=2x可知，=， 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由抛物线的定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离， 即|AF|=x1+=x1+， 同理|BF|=x2+=x2+， 故|AF|+|BF|=x1+x2+1=5， 即x1+x2=4，得=2， 故线段AB的中点的横坐标是2. 15.(5分)抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，A，B是拋物线上的两个动点，且满足∠AFB=.设线段AB的中点M在准线l上的投影为N，则的最大值是　　　　　.  答案　1 解析　设|AF|=a，|BF|=b，过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为Q，P，如图所示，根据抛物线的定义， 可知|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|， 在梯形ABPQ中，有|MN|=(a+b)， 在△ABF中，|AB|2=a2+b2-2ab·cos=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab， 又∵ab≤， ∴|AB|2≥⇒|AB|≥， ∴≤=1，故的最大值是1. 16.(12分)设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点. (1)若点P到直线x=-1的距离为d，A(-1，1)，求|PA|+d的最小值；(6分) (2)若B(3，2)，求|PB|+|PF|的最小值.(6分) 解　(1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1. 由抛物线的定义，知|PF|=d， 于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值. 如图，连接AF，交抛物线于点P，此时|PA|+d最小，最小值为=. (2)把点B的横坐标代入y2=4x中，得y=±2， 因为2>2， 所以点B在抛物线内部. 过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1(如图). 由抛物线的定义， 知|P1Q|=|P1F|， 则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4. 即|PB|+|PF|的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $