第3章 3.3.2 第2课时 抛物线的简单几何性质及应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦抛物线的简单几何性质及应用，核心知识点包括直线与抛物线的位置关系（相交、相切、相离）判断和弦长问题（焦点弦及一般弦长计算）。通过类比椭圆、双曲线与直线的位置关系引入，分斜率存在与否讨论位置关系，再过渡到弦长问题，形成从基础到应用的学习支架。 该资料以问题驱动引导探究，如通过类比提出位置关系问题，结合分类讨论（斜率是否存在、Δ的情况）培养逻辑推理能力，弦长计算融合定义与公式强化数学表达。例1分情况讨论位置关系，例2用两种方法求焦点弦长，课中辅助分层教学，课后通过跟踪训练和对点练帮助学生查漏补缺。

第2课时　抛物线的简单几何性质及应用 学习目标　1.了解抛物线的简单应用.2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题. 一、直线与抛物线的位置关系的判断 问题1　类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系. 提示　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：相交、相切、相离. 知识梳理 设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点. (2)若k=0，直线与抛物线有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 注意点： (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要而不充分条件. (2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况. 例1　(课本例5)　已知抛物线C：y2=2x，直线l过定点(0，-2).讨论直线l与抛物线的公共点的情况. 解　(Ⅰ)若直线l的斜率不存在，又直线l过定点(0，-2)，此时直线l即为y轴所在直线，则直线l与抛物线y2=2x相切，即有一个公共点. (Ⅱ)若直线l的斜率存在，记为k，又直线过定点(0，-2)， 可设直线l的方程为y=kx-2. ① 由方程组 ② 消去y，并整理得k2x2-(4k+2)x+4=0. ③ (1)当k=0时，由方程③得x=2.代入方程①，得y=-2.这时，直线l与抛物线只有一个公共点(2，-2). (2)当k≠0时，方程③的判别式Δ=[-(4k+2)]2-4·k2·4=16k+4. 若Δ>0，解得k>-. 于是，当k>-，且k≠0时，方程③有两个不相等的实数解，从而方程组②有两组实数解.这时，直线l与抛物线相交，有两个公共点. 若Δ=0，解得k=-. 于是，当k=-时，方程③有两个相等的实数解，从而方程组②只有一组实数解.这时，直线l与抛物线有一个公共点. 若Δ<0，解得k<-. 于是，当k<-时，方程③无实数解，从而方程组②无实数解.这时，直线l与抛物线没有公共点. 综上可得： 当k=0或k=-或直线的斜率不存在时，直线l与抛物线只有一个公共点； 当k>-且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点； 当k<-时，直线l与抛物线没有公共点. 若用图象表示，则直线l与抛物线C的位置关系如图所示. 例1　已知直线l：y=kx+1，抛物线C：y2=4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点. 解　联立消去y， 得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*) 当k=0时，(*)式只有一个解x=， ∴直线l与C只有一个公共点， 此时直线l平行于x轴. 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k). ①当Δ>0，即k<1，且k≠0时， l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； ②当Δ=0，即k=1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； ③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离. 综上所述，当k=1或0时，l与C有一个公共点； 当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k>1时，l与C没有公共点. 反思感悟　判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点. 跟踪训练1　已知抛物线方程为y2=8x，若过点Q(-2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是　　　　.  答案　[-1，1] 解析　由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x+2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0， 当k=0时，显然满足题意； 当k≠0时， 由Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0， 解得-1≤k<0或0<k≤1. 因此直线l的斜率的取值范围是[-1，1]. 二、弦长问题 问题2　过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫作焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？ 提示　1.利用弦长公式. 2.根据抛物线的定义|AB|=x1+x2+p. 知识梳理 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，称为焦点弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)|AB|=x1+x2+p. (2)x1·x2=. (3)y1·y2=-p2. 例2　(课本例4)　已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为(1，0)，一条斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求|AB|. 解　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2).由已知可得直线l的方程为y=x-1. ① 又抛物线的焦点坐标为(1，0)，故抛物线的方程为y2=4x. ② 联立①、②，消去y可得x2-6x+1=0. ③ 由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2=6，x1x2=1. 于是|AB|= = = =· =·=8. 方法二　如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2).过A，B分别向准线l'作垂线，垂足为A'，B'. 由抛物线的定义可知，|AF|=|AA'|=x1+1， |BF|=|BB'|=x2+1. 于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2. 由方法一中的方程③可知x1+x2=6， 于是|AB|=x1+x2+2=8. 例2　已知抛物线方程为y2=2px(p>0)，过此抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|=，求AB所在的直线方程. 解　方法一　∵过焦点的弦长|AB|=， ∴弦所在的直线的斜率存在且不为0， 设直线AB的斜率为k， 则直线方程为y=k， 联立 消去y得，k2x2-(k2p+2p)x+k2p2=0，Δ>0恒成立， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=， ∴|AB|=x1+x2+p=+p=， ∴k=±2， ∴所求直线方程为2x-y-p=0或2x+y-p=0. 方法二　由题意知焦点F， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 若AB⊥x轴，则|AB|=2p≠，不满足题意. ∴直线AB的斜率存在，设为k，且k≠0. 则直线AB的方程为y=k， 由 消去x，整理得ky2-2py-kp2=0，Δ>0恒成立， 由根与系数的关系得y1+y2=，y1y2=-p2. ∴|AB|= =· =2p=， 解得k=±2， ∴AB所在的直线方程为2x-y-p=0 或2x+y-p=0. 延伸探究　若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离. 解　如图，过A，B，M分别作准线x=-的垂线交准线于点C，D，E. 由定义知|AC|+|BD|=p， 则梯形ABDC的中位线|ME|=p， ∴点M到y轴的距离为p-=p. 反思感悟　求抛物线弦长的方法 (1)统一弦长公式：|AB|=|x1-x2|或|AB|=|y1-y2|. (2)焦点弦长：在抛物线y2=2px(p>0)中，设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+p. 跟踪训练2　若抛物线y2=12x与直线2x+y-4=0交于A，B两点，则|AB|等于(　　) A.2 B.12 C. D.13 答案　C 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2-7x+4=0，Δ>0恒成立， ∴x1+x2=7，x1x2=4， ∴|AB|=|x1-x2|=×=. 1.知识清单： (1)直线和抛物线的位置关系. (2)抛物线中的弦长问题. 2.方法归纳：直接法、定义法. 3.常见误区：数学运算易失误. 1.已知直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 答案　D 解析　当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2=2py(p>0)有一个公共点，此时直线l与抛物线相交；当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个公共点时，直线l与抛物线相切. 2.过点(1，0)作斜率为-2的直线，与抛物线y2=8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A.2 B.2 C.2 D.2 答案　B 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由直线AB的斜率为-2，且过点(1，0)得， 直线AB的方程为y=-2(x-1)， 代入抛物线方程y2=8x，得4(x-1)2=8x， 整理得x2-4x+1=0，Δ>0， 则x1+x2=4，x1x2=1，由弦长公式得， |AB|=· =×=2. 3.若直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是　　　　　　.  答案　(4，2) 解析　由得x2-8x+4=0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=8，y1+y2=x1+x2-4=4， 故线段AB的中点坐标为(4，2). 4.直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点，则k=　　　　　　.  答案　0或1 解析　当k=0时，直线与抛物线有唯一交点， 当k≠0时，联立方程消去y， 得k2x2+4(k-2)x+4=0， 由题意Δ=16(k-2)2-16k2=0，∴k=1. 综上，k=0或k=1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.过抛物线C：y2=12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，则|AB|等于(　　) A.16 B.12 C.10 D.8 答案　B 解析　由题意得p=6， ∴|AB|=x1+x2+p=6+6=12. 2.过点(-1，0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案　C 解析　点(-1，0)在抛物线y2=x的外部，故过点(-1，0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条，其中两条为切线，一条为x轴所在直线. 3.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，若直线x=4与C交于A，B两点，且|AB|=8，则|AF|等于(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　B 解析　令x=4，则y2=8p， 故y=±2， 所以|AB|=4=8， 所以p=2，故准线方程为x=-1， 则由抛物线的定义得|AF|=4-(-1)=5. 4.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是(　　) A. B. C. D.3 答案　A 解析　方法一　设与抛物线相切的直线， 且与直线4x+3y-8=0平行的直线方程为4x+3y+m=0. 与抛物线y=-x2联立，消去y可得3x2-4x-m=0， 由题意知，Δ=16+12m=0， ∴m=-. ∴最小值为两平行线之间的距离d==. 方法二　设抛物线y=-x2上一点为(m，-m2)， 该点到直线4x+3y-8=0的距离为， 当m=时，取得最小值. 5.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且|OE|=，则p等于(　　) A.2 B.3 C.6 D.12 答案　A 解析　由题意可知F， 则直线AB的方程为y=x-， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意得相减得， -=2p(x1-x2)⇒y1+y2=2p， 因为E为线段AB的中点， 所以E，即E， 因为E在直线AB：y=x-上，所以E， 又因为|OE|=，所以p=2. 6.(多选)已知抛物线C：x2=2py(p>0)，若直线y=2x被抛物线所截弦长为4，则(　　) A.抛物线C的焦点坐标为 B.抛物线C的准线方程为y=- C.抛物线C的方程为x2=2y D.抛物线C的方程为x2=y 答案　AC 解析　由 可得 或 所以直线y=2x与抛物线C的交点坐标为和， 所以=4， 解得p=1(负值舍去)， 故抛物线C的方程为x2=2y，焦点坐标为，准线方程为y=-. 7.(5分)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若|AB|=7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为　　　　　　.  答案　 解析　抛物线的焦点为(1，0)，准线方程为x=-1，p=2.由抛物线的定义，知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p，即x1+x2+p=7，故x1+x2=5.于是弦AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为+1=. 8.(5分)已知抛物线C：y2=2x，斜率为k的直线l过定点M(x0，0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，·=3(O为坐标原点)，则x0=　　　　　　.  答案　3 解析　设直线l的方程为y=k(x-x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 与抛物线方程联立可得 消去y并整理可得，k2x2-(2k2x0+2)x+k2=0， 由根与系数的关系可得，x1x2=， 则y1y2=-=-2x0， ∵·=3， ∴x1x2+y1y2=3，即-2x0=3， 解得x0=3(负值舍去). 9.(10分)已知y=x+m与抛物线y2=8x交于A，B两点. (1)若|AB|=10，求实数m的值；(5分) (2)若OA⊥OB，求实数m的值.(5分) 解　由 得x2+(2m-8)x+m2=0. 由Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0，得m<2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=8-2m，x1x2=m2， y1y2=m(x1+x2)+x1x2+m2=8m. (1)因为|AB|= =·=10， 所以m=，经检验符合题意. (2)因为OA⊥OB， 所以x1x2+y1y2=m2+8m=0， 解得m=-8或m=0(舍去). 所以m=-8，经检验符合题意. 10.(10分)如图，已知抛物线y2=4x，其焦点为F. (1)求以M(1，1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(3分) (2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.(7分) 解　(1)由题意知，中点弦所在的直线斜率存在. 设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则=4x1，=4x2，kPQ===2， ∴所求直线方程为2x-y-1=0. (2)依题意知，直线m，n的斜率存在，设直线m的方程为y=k(x-1)， 与抛物线方程联立，得 消去y，整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0， 设其两根为x3，x4，则x3+x4=+2. 由抛物线的定义可知，|AB|=2+x3+x4=+4， 同理可得|CD|=4k2+4， ∴四边形ACBD的面积S=(4k2+4)·=8≥32. 当且仅当k=±1时等号成立， 此时所求四边形ACBD面积的最小值为32. 11.过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　) A. B.2 C.2 D.3 答案　C 解析　由题意可得抛物线y2=4x的焦点为F(1，0)， 准线方程为x=-1. 直线MF的方程为y=(x-1). 由 解得或 ∵点M在x轴的上方， ∴M(3，2). ∵MN⊥l， ∴N(-1，2). ∴|NF|==4， |MF|=|MN|=3+1=4. ∴△MNF是边长为4的等边三角形. ∴点M到直线NF的距离为2. 12.(多选)已知O是坐标原点，过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，其中A在第一象限，若=3，点M(1，m)(m>0)在抛物线C上，则(　　) A.抛物线C的准线方程为x=-1 B.= C.直线l的倾斜角为 D.= 答案　AC 解析　选项A，因为抛物线C：y2=4x，所以F，准线方程为x=-1，故A正确； 选项B，设A，B，设直线l：x=ty+1， 与y2=4x联立得y2-4ty-4=0，所以y1+y2=4t，y1y2=-4， 由=3得=3，即=3，所以y1=-3y2， 所以y2=-，可得t=，y1=2， 则A，B， ==，故B错误； 选项C，直线l的斜率为=，倾斜角为，故C正确； 选项D，M(1，2)，故=2，=1，故D错误. 13.(多选)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则(　　) A.焦点F的坐标为(1，0) B.过点A(-1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点 C.直线x+y-1=0与抛物线C相交所得弦长为8 D.若抛物线C与圆x2+y2=5交于M，N两点，则|MN|=4 答案　ACD 解析　由题可知抛物线C的方程为y2=4x.对于A，焦点F的坐标为(1，0)，故A正确； 对于B，过点A(-1，0)可作抛物线的2条切线，且直线y=0与抛物线C有且只有一个公共点，故过点A(-1，0)共有3条直线与抛物线C有且只有一个公共点，故B错误； 对于C，由得y2+4y-4=0， 设弦的两个端点分别为D(x1，y1)，E(x2，y2)， 则y1+y2=-4，y1y2=-4， 所以弦长|DE|=|y1-y2| =· =×=8，故C正确； 对于D，由得x2+4x-5=0， 解得x=1或x=-5(舍去)， 将x=1代入y2=4x，得y=±2， 故交点为(1，±2)， 所以|MN|=4，故D正确. 14.(5分)已知点A在抛物线Γ：y2=2px上，若△ABC的三个顶点都在抛物线上，记三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，则-+=　　　　　　.  答案　 解析　∵点A在抛物线Γ：y2=2px上， ∴2=2p×1，解得p=1. ∴抛物线Γ的方程为y2=2x. 设B，C， 则k1==，k2==， k3==， 所以-+=-+=. 15.(5分)若过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为m(m>0)的直线交C于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，交C的准线于点D(x3，y3)，则mxiyi的最小值为　　　　　　　.  答案　12+8 解析　抛物线C：y2=4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1， 设直线AB的方程为y=m(x-1)，由消去x得my2-4y-4m=0， 显然Δ>0，y1+y2=，y1y2=-4，而x3=-1，y3=-2m， 因此mxiyi=m=[(y1+y2)3-3y1y2(y1+y2)+8m] ==+2m2+12≥12+2=12+8， 当且仅当=2m2，即m2=2时取等号， 所以mxiyi的最小值为12+8. 16.(12分)如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8. (1)求抛物线C的方程；(5分) (2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值.(7分) 解　(1)由题意可知F， 则该直线方程为y=x-， 代入y2=2px(p>0)， 得x2-3px+=0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则有x1+x2=3p. ∵|MN|=8， ∴x1+x2+p=8， 即3p+p=8，解得p=2， ∴抛物线C的方程为y2=4x. (2)设直线l的方程为y=x+b，代入y2=4x， 得x2+(2b-4)x+b2=0. ∵直线l为抛物线C的切线， ∴Δ=0，解得b=1. ∴直线l的方程为y=x+1. 由(1)可知x1+x2=6，x1x2=1. 设P(m，m+1)， 则=(x1-m，y1-(m+1))， =(x2-m，y2-(m+1))， ∴·=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)]·[y2-(m+1)]=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2. ∵x1+x2=6，x1x2=1， ∴(y1y2)2=16x1x2=16，y1y2=-4. ∵-=4(x1-x2)， ∴y1+y2=4×=4， ∴·=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2=2(m2-4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14，当且仅当m=2，即点P的坐标为(2，3)时，·取得最小值，最小值为-14. 学科网（北京）股份有限公司 $