第3章 3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质，通过类比椭圆、双曲线的研究方法，引导学生从范围、对称性、顶点、离心率等方面探究，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过逻辑推理训练数学思维，用规范表达强化数学语言。如例3结合对称性求抛物线方程，跟踪训练2应用定义解决几何问题，课堂小结梳理方法，助力学生深化理解，教师提升教学效率。

第1课时 抛物线的简单几何性质 第3章　3.3.2　抛物线的简单几何性质 <<< 1.掌握抛物线的几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 学习目标 一、抛物线的简单几何性质 二、由抛物线的性质求标准方程 课时对点练 三、抛物线的几何性质的应用 随堂演练 内容索引 抛物线的简单几何性质 一 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2=2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？ 问题 提示　1.范围 当x>0时，抛物线 y2 = 2px(p>0) 在 y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M (x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是无界曲线. 2.对称性 观察图象，不难发现，抛物线 y2 = 2px (p>0)关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫作抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴. 3.顶点 抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点(0，0). 4.离心率 抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率.用e表示，e=1. 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形         范围 ____________ ____________ ____________ ____________ 对称轴 __轴 __轴 __轴 __轴 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R x x y y 知识梳理 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 焦点坐标 __________ ___________ __________ ___________ 准线方程 x=___ x=___ y=___ y=___ 顶点坐标 O______ 离心率 e==1(其中M是抛物线上一点，d表示M到准线的距离) F F F F - - (0，0) 知识梳理 (1)只有焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点的抛物线的方程才是标准方程； (2)抛物线与双曲线不同，抛物线没有渐近线； (3)抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、一条准线； (4)所有抛物线的离心率均为1. 注 意 点 <<< 10 二 由抛物线的性质求标准方程 (课本例3)　已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点，并且经过点P(1，2)，求该抛物线的标准方程. 例 1 由于抛物线关于x轴对称，顶点在原点，并且经过点(1，2)，因此可设它的标准方程为y2=2px(p>0). 将点P(1，2)的坐标代入方程，得22=2p×1，即p=2. 因此，所求抛物线的标准方程为y2=4x. 解 12 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 例 1 椭圆的方程可化为+=1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即=3，∴p=6， ∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x， 其准线方程分别为x=-3和x=3. 解 13 掌握抛物线的几何性质，注意把握三个要点 (1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴，垂足与焦点分别关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 反 思 感 悟 14 边长为1的等边△AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是 A.y2=x B.y2=-x C.y2=±x D.y2=±x 跟踪训练 1 √ 15 设抛物线方程为y2=ax(a≠0). 又A(取点A在x轴上方)， 则有=±a，解得a=±， 所以抛物线方程为y2=±x. 解析 16 三 抛物线的几何性质的应用 (1)已知正△AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2=2px(p>0)上，求这个三角形的边长. 例 2 18 如图所示， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则=2px1，=2px2. 又|OA|=|OB|， 所以+=+， 即-+2px1-2px2=0， 整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. 因为x1>0，x2>0，2p>0， 所以x1=x2，由此可得|y1|=|y2|， 解 19 即线段AB关于x轴对称， 由此得∠AOx=30°， 所以y1=x1，与=2px1联立， 解得y1=2p. 所以|AB|=2y1=4p， 即这个三角形的边长为4p. 解 20 (2)已知A，B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程. 21 如图，设点A(x0，y0)， 由题意可知点B(x0，-y0)， ∵F是△AOB的垂心， ∴AF⊥OB， ∴kAF·kOB=-1， 即·=-1. ∴=x0， 解 22 又∵=2px0， ∴x0=2p+=. ∴直线AB的方程为x=. 解 23 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点弦：解决焦点弦问题. 反 思 感 悟 24 (1)(多选)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|=5，若y轴上存在点A(0，2)，使得·=0，则p的值可以为 A.2 B.4 C.6 D.8 跟踪训练 2 √ √ 25 由题意可得，以MF为直径的圆过点(0，2)， 设点M(x，y)，由抛物线定义知|MF|=x+=5，可得x=5-. 因为圆心是MF的中点， 所以根据中点坐标公式可得， 圆心横坐标为=， 由已知可得圆的半径也为， 据此可知该圆与y轴相切于点A(0，2)， 故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4， 解析 26 即点M， 代入抛物线方程得p2-10p+16=0， 解得p=2或p=8. 解析 27 (2)抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO= 120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是　　 .  4 28 由抛物线方程可知F(1，0)，准线l的方程为 x=-1.如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H， 在Rt△AFH中， |FH|=x0-1， 由∠AFO=120°得 ∠AFH=60°， 故y0=|AH|=(x0-1)， 所以点A的坐标为(x0，(x0-1))，将A点坐标代入抛物线方程可得3-10x0+3=0， 解析 29 解得x0=3或x0=(舍)， 所以点A的坐标为(3，2)， 故S△AKF=×(3+1)×2=4. 解析 30 1.知识清单： (1)抛物线的几何性质. (2)由抛物线的性质求标准方程. (3)抛物线的几何性质的应用. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y √ 设抛物线方程为x2=2py(p>0)或x2=-2py(p>0)，2p=8，p=4. ∴抛物线方程为x2=8y或x2=-8y. 解析 √ 1 2 3 4 2.若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为 A. B.1 C. D.2 √ 1 2 3 4 由于点M在抛物线y2=2x上， 设M，由于|OM|=， 得+t2=3，解得t2=2或t2=-6(舍去)， 则点M的横坐标为1， 所以点M到该抛物线焦点的距离为1+=. 解析 1 2 3 4 3.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知， |PF|=|PO|，又F， 所以x0==， 所以y0=±. 解析 4.已知圆C：x2+y2+6x+8y+21=0，抛物线y2=8x的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m+|PC|的最小值为　　　.  由圆C的方程知圆心C(-3，-4)，由抛物线的定义知，m+|PC|的最小值为圆心与抛物线焦点(2，0)间的距离，即=. 解析 1 2 3 4 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D A B AC 6 - 题号 11 12 13 14 15 答案 B C ABD 6 B 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)， 设A(x0，y0)，由题意知M. 因为|AF|=3，所以y0+=3， 因为|AM|=+=17， 所以=8， 代入方程=2py0得， 8=2p，解得p=2或p=4. 所以所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y. 答案 10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设抛物线的方程为y2=2px(p>0)， 则其准线方程为x=-. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵|AF|+|BF|=8， ∴x1++x2+=8，即x1+x2=8-p. ∵Q(6，0)在线段AB的中垂线上， ∴|QA|=|QB|， 答案 10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即=， 又=2px1，=2px2， ∴(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0. ∵AB与x轴不垂直， ∴x1≠x2. 故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0，即p=4. 从而抛物线方程为y2=8x. 答案 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x=-2，x轴，x≥0. (2)如图所示，由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心， 则|OF|=|OM|. 因为F(2，0)， 所以|OM|=|OF|=3， 答案 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以M(3，0). 故设A(3，m)， 代入y2=8x得m2=24， 所以m=2或m=-2， 所以A(3，2)，B(3，-2)， 所以|OA|=|OB|=， 所以△OAB的周长为2+4. 答案 基础巩固 1.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为 A.x2=±3y B.y2=±6x C.x2=±12y D.y2=±12x 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设抛物线方程为x2=2py(p>0)或x2=-2py(p>0)，依题意知=3，∴p=6. ∴抛物线方程为x2=±12y. 解析 2.若抛物线y2=2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|=2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意知， 线段AB所在的直线方程为x=1， 抛物线的焦点坐标为， 则焦点到直线AB的距离为1-=. 解析 √ 3.已知圆x2+y2=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为四边形ABCD是矩形， 所以由抛物线与圆的对称性知， 弦AB为抛物线y2=2px(p>0)的通径， 因为圆的半径为1，抛物线的通径为2p， 所以+p2=1， 解得p=. 解析 4.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与曲线x2+y2-4x-5=0相切，则p的值为 A.2 B.1 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 曲线的方程可化为(x-2)2+y2=9， 其表示圆心为(2，0)，半径为3的圆， 又抛物线的准线方程为x=-， ∴由抛物线的准线与圆相切得2+=3， 解得p=2. 解析 √ 5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|=4|OF|，△MFO 的面积为4，则抛物线方程为 A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2=x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设M(x1，y1)， 则由|MF|=4|OF|得x1+=4×， 即x1=p，则=3p2， 则|y1|=p，则S△OMF=××p=4，解得p=4，即抛物线的方程为y2=8x. 解析 6.(多选)下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是 A.-=0 B.2y-x2=0 C.4x2+9y2=1 D.x2+2x+y2=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A选项，-=0表示焦点在x轴上的双曲线，满足既关于x轴对称，又关于y轴对称，故满足条件； 对于B选项，2y-x2=0即为x2=2y，表示焦点在y轴正半轴上的抛物线，关于y轴对称，但不关于x轴对称，故不满足条件； 对于C选项，4x2+9y2=1即为+=1，表示焦点在x轴上的椭圆，满足既关于x轴对称，又关于y轴对称，故满足条件； 对于D选项，x2+2x+y2=0即为(x+1)2+y2=1，表示圆心为(-1，0)，半径为1的圆，其关于x轴对称，不关于y轴对称，故不满足条件. 解析 答案 7.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|= 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6 如图，过点M作MM'⊥y轴，垂足为M'，|OF|=2， ∵M为FN的中点，|MM'|=1， ∴M到准线的距离d=|MM'|+=3， ∴|MF|=3，∴|FN|=6. 解析 8.已知点A(-2，3)在抛物线C：y2=2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点 为F，则直线AF的斜率为　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵点A(-2，3)在抛物线C的准线上， ∴=2，∴p=4. ∴抛物线的方程为y2=8x， 则焦点F的坐标为(2，0). 又A(-2，3)， 根据斜率公式得kAF==-. 解析 答案 9.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|=，|AF|=3，求此抛物线的标准方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)， 设A(x0，y0)，由题意知M. 因为|AF|=3，所以y0+=3， 因为|AM|=+=17， 所以=8， 代入方程=2py0得， 8=2p，解得p=2或p=4. 所以所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y. 解 10.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|+|BF|=8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设抛物线的方程为y2=2px(p>0)， 则其准线方程为x=-. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵|AF|+|BF|=8， ∴x1++x2+=8，即x1+x2=8-p. ∵Q(6，0)在线段AB的中垂线上， ∴|QA|=|QB|， 即=， 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 又=2px1，=2px2， ∴(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0. ∵AB与x轴不垂直， ∴x1≠x2. 故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0，即p=4. 从而抛物线方程为y2=8x. 解 11.已知曲线C由抛物线y2=2x及抛物线y2=-2x组成，A(1，2)，B(-1，2)，M，N是曲线C上关于y轴对称的两点(A，B，M，N四点不共线，且点M在第一象限)，则四边形ABNM周长的最小值为 A.2+ B.1+ C.3 D.4 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设抛物线y2=2x的焦点为F，点M的横坐标为xM，由抛物线定义知|MF|=xM+， 则四边形ABNM的周长 l=|AB|+2|AM|+2xM=2+2|AM|+2|MF|-1 =1+2(|AM|+|MF|)≥1+2|AF|=1+， 当且仅当点A，M，F共线时取等号. 解析 12.已知a≠0，则方程(ax-)(x-ay+a2)=0表示的曲线可能是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由方程(ax-)(x-ay+a2)=0，得ax-=0或x-ay+a2=0(y≥0)， 当a>0时，则有y=a2x2(x≥0，y≥0)或y=x+a(y≥0)，分别表示开口向上的抛物线满足x≥0，y≥0的部分和斜率为正且在y轴上截距为正的直线满足y≥0的部分，故A，B，D不符合，C符合； 当a<0时，则有y=a2x2(x≤0，y≥0)或y=x+a(y≥0)，分别表示开口向上的抛物线满足x≤0，y≥0的部分和斜率为负且在y轴上截距为负的直线满足y≥0的部分，故A，B，C，D均不符合， 综上，方程(ax-)(x-ay+a2)=0表示的曲线可能是C. 解析 答案 13.(多选)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过点A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q，连接QF，NF，NB，NA.则下列说法正确的是 A.|MN|=|AB| B.FN⊥AB C.Q是线段MN的一个三等分点 D.∠QFM=∠QMF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，由抛物线的定义，得|AC|=|AF|，|BD|=|BF|， 又|MN|=， 则|MN|==|AB|，A正确； 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由|MN|=|AB|，|AM|=|MB|， 得|MN|=|AM|， 所以∠MAN=∠MNA. 而∠MNA=∠CAN， 所以∠MAN=∠CAN， 所以△ANC≌△ANF， 可知∠ACN=∠AFN=90°， 所以FN⊥AB，B正确； 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 在Rt△MNF中，|QN|=|QF|， 可知∠QNF=∠QFN， 所以∠QFM=∠QMF，D正确； 由∠QFM=∠QMF，可知|QF|=|QM|， 所以|QN|=|QM|， 即Q是MN的中点， C不正确. 解析 14.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线-=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y=-. 将y=--=1得|x|=. 要使△ABF为等边三角形， 则tan===， 解得p2=36，p=6. 解析 15.已知抛物线C：y2=10x，点P为抛物线C上任意一点，过点P向圆D：x2+ y2-12x+35=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB面积的最小值为 A. B. C.2 D. 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 由圆D：(x-6)2+y2=1得圆心D(6，0)， 半径r=1，设P， 则|PD|==， 所以|PD|min=， |PA|min==， 所以四边形PADB面积的最小值 Smin=2×|PA|min×r=. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.已知抛物线y2=8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x=-2，x轴，x≥0. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰△OAB，|OA|=|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图所示，由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心， 则|OF|=|OM|. 因为F(2，0)， 所以|OM|=|OF|=3， 所以M(3，0). 故设A(3，m)， 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 代入y2=8x得m2=24， 所以m=2或m=-2， 所以A(3，2)，B(3，-2)， 所以|OA|=|OB|=， 所以△OAB的周长为2+4. 解 第3章　3.3.2　抛物线的简单几何性质 <<< $