第3章 3.1.2 第2课时 椭圆的简单几何性质及应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦椭圆的简单几何性质及应用，系统梳理直线与椭圆位置关系判断（联立方程用判别式），弦长问题（弦长公式结合根与系数关系），椭圆性质综合应用（离心率、焦点三角形等），构建从基础到综合的学习支架。 通过类比直线与圆引入位置关系培养数学眼光，例题解析与跟踪训练强化逻辑推理发展数学思维，分层练习与综合应用提升数学语言表达能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾强化，弥补知识盲点。

第2课时　椭圆的简单几何性质及应用 学习目标　1.会判断直线与椭圆的位置关系.2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长问题.3.会利用椭圆的几何性质解决一些实际问题. 一、直线与椭圆的位置关系判断 问题1　类比直线与圆的位置关系，探究直线与椭圆的位置关系时，如何确定直线与椭圆的位置关系？ 提示　联立直线与椭圆的方程，看公共解的个数. 知识梳理 直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系判断方法： 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程： 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ=0 相离 无解 Δ<0 注意点： 设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况. 例1　已知直线l：y=2x+m，椭圆C：+=1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点. 解　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得 将①代入②，整理得9x2+8mx+2m2-4=0， ③ 关于x的一元二次方程的判别式 Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144. (1)由Δ>0，得-3<m<3. 于是，当-3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. (2)由Δ=0，得m=±3. 也就是当m=±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. (3)由Δ<0，得m<-3或m>3. 从而当m<-3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点. 反思感悟　判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断；有些题目也可利用直线恒过的点与椭圆的位置关系进行判断. 跟踪训练1　直线y=kx-k与椭圆+=1的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 答案　A 解析　方法一　由消去y得x2-18k2x+9k2-36=0， Δ=-4×=576×(2k2+1)， 易知Δ>0恒成立， ∴直线y=kx-k与椭圆+=1的位置关系为相交. 方法二　直线y=kx-k可化为y=k(x-1)， ∴直线恒过点(1，0)， 又+<1，即(1，0)在椭圆的内部， ∴直线y=kx-k与椭圆+=1的位置关系为相交. 二、弦长问题 问题2　当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？ 提示　当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+m(k≠0)，椭圆方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|=， 所以|AB|= = =， 或|AB|= = =. 其中，x1+x2，x1x2或y1+y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得. 当直线斜率不存在时，可代入直接求得. 知识梳理 弦长公式：当直线y=kx+m(k≠0)与椭圆+=1(a>b>0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|= =或|AB|=. 注意点： (1)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. (2)在不确定直线斜率的情况下，要分类讨论. 例2　已知斜率为2的直线l经过椭圆+=1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长. 解　因为直线l过椭圆+=1的右焦点F1(1，0)， 又直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0. 方法一　解方程组 得交点A(0，-2)，B， 所以|AB|= = ==. 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 消去y得3x2-5x=0，因为Δ=(-5)2=25>0， 则x1+x2=，x1x2=0. 所以|AB|= = = ==. 方法三　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 消去x得3y2+2y-8=0， 因为Δ=22-4×3×(-8)=100>0， 则y1+y2=-，y1y2=-， 所以|AB|= = = ==. 反思感悟　求解弦长可以先求出交点坐标，利用两点之间的距离公式进行求解；也可以直接利用弦长公式求解. 跟踪训练2　已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F(1，0). (1)求此椭圆的方程； (2)若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A，B两点，求|AB|的值. 解　(1)由e==，c=1， 得a=，b==1， ∴椭圆的方程为+y2=1. (2)由题意可知直线AB的方程为y=x-1， 由得3x2-4x=0， 解得x1=0，x2=， ∴|AB|=|x1-x2|=×=. 三、椭圆性质的综合应用 例3　设F1，F2为椭圆C的两个焦点，M为椭圆C上一点，|MF1|=12，|MF2|=16，sin∠MF2F1=，则椭圆C的离心率e=　　　　　　.  答案　或 解析　因为sin∠MF2F1=， 且|MF1|<|MF2|， 故∠MF2F1为锐角， 所以cos∠MF2F1==， 由余弦定理得=， 即128|F1F2|=1 280+5|F1F2|2-720， 所以(|F1F2|-20)(5|F1F2|-28)=0， 故|F1F2|=20或|F1F2|=， 又e===， 所以e==或e==. 反思感悟　解决椭圆的几何性质问题可用代数法，也可用几何法，综合应用几何性质解题可简化运算，椭圆的几何性质常与平面向量、正余弦定理等知识相结合. 跟踪训练3　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点，若·=-1，则C的方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 答案　B 解析　因为离心率e===，解得=，b2=a2， A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1(-a，0)，A2(a，0)，B为上顶点，所以B(0，b). 所以=(-a，-b)，=(a，-b)，因为·=-1， 所以-a2+b2=-1，将b2=a2代入，解得a2=9，b2=8， 故椭圆的方程为+=1. 1.知识清单： (1)直线与椭圆的位置关系. (2)弦长问题. (3)椭圆性质的综合应用. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况. 1.已知直线l：x+y-3=0，椭圆+y2=1，则直线与椭圆的位置关系是(　　) A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 答案　A 解析　把x+y-3=0代入+y2=1， 得+(3-x)2=1，即5x2-24x+32=0. ∵Δ=(-24)2-4×5×32=-64<0， ∴直线与椭圆相离. 2.(多选)若直线l：2x+by+3=0过椭圆C：10x2+y2=10的一个焦点，则b的值可以是(　　) A.-1 B.- C. D.1 答案　AD 解析　易知椭圆x2+=1的左、右焦点分别为F1(0，-3)，F2(0，3)，所以b=1或-1. 3.过椭圆+=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为　　　　.  答案　4，3 解析　过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a=4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c=1，将x=1代入+=1，得+=1，解得y2=， 即y=±，所以最短弦的长为2×=3. 4.若直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点，则m的取值范围是　　　　　　　　.  答案　(1，3)∪(3，+∞) 解析　∵+=1表示椭圆， ∴m>0且m≠3. 由 得(m+3)x2+4mx+m=0， ∴Δ=16m2-4m(m+3)>0，解得m>1或m<0. ∴m>1且m≠3， ∴m的取值范围是(1，3)∪(3，+∞). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.已知直线l过点(3，-1)，椭圆C：+=1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　) A.1 B.1或2 C.2 D.0 答案　C 解析　直线l过定点(3，-1)， 又+<1，所以点(3，-1)在椭圆内部， 故直线l与椭圆C有两个公共点. 2.已知直线l：y=x+m与椭圆C：+=1有公共点，则m的取值范围是(　　) A.[-2，2] B.[-3，3] C.(-∞，-2]∪[2，+∞) D.(-∞，-3]∪[3，+∞) 答案　B 解析　将直线l的方程与椭圆C的方程联立， 得 消去y得9x2+10mx+5m2-20=0， ① 因为直线l与椭圆C有公共点，所以方程①有实数根，则Δ=(10m)2-36(5m2-20)≥0，得-3≤m≤3，故m的取值范围是[-3，3]. 3.德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c， 由题意可得=，整理得a=59c，即=. ∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是. 4.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　易求直线AB的方程为y=(x+). 由 消去y并整理，得7x2+12x+8=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=-，x1x2=. 由弦长公式，得|AB|=·|x1-x2|=×=. 5.已知过圆锥曲线+=1上一点P(x0，y0)的切线方程为+=1.过椭圆+=1上的点A(3，-1)作椭圆的切线l，则过点A且与直线l垂直的直线方程为(　　) A.x-y-3=0 B.x+y-2=0 C.2x+3y-3=0 D.3x-y-10=0 答案　B 解析　过椭圆+=1上的点A(3，-1)的切线l的方程为+=1，即x-y-4=0，切线l的斜率为1.与直线l垂直的直线的斜率为-1，故过A点且与直线l垂直的直线方程为y+1=-(x-3)，即x+y-2=0. 6.(多选)椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，若直线y=kx与椭圆的一个交点的横坐标x0=b，则k的值可以为(　　) A.- B.- C. D. 答案　AD 解析　根据椭圆的离心率为，得=. 由x0=b，得=b2=， ∴y0=±，∴k==±=±. 7.(5分)过椭圆C：+y2=1的左焦点作斜率为1的直线与椭圆C分别交于点A，B，O是坐标原点，则·=　　　　　　.  答案　- 解析　由题意得直线方程为y=x+1，代入椭圆方程可得3x2+4x=0，取xA=0，xB=-， 即A(0，1)，B，∴·=-. 8.(5分)已知以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为　　　　　　.  答案　2 解析　由题意可设椭圆的方程为+=1(a>2)，与直线方程x+y+4=0联立， 得4(a2-3)y2+8(a2-4)y+(16-a2)(a2-4)=0，由Δ=0，得a=， 所以椭圆的长轴长为2. 9.(10分)若椭圆+=1(a>b>0)与直线y=x交于A，B两点，且|AB|=，求+的值. 解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x1==y1，x2=y2=-， 故|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =2(x1-x2)2=2×==， 即=， 所以+=5. 10.(10分)已知直线l：2mx+(m+1)y+3m-1=0(m∈R)，椭圆C：+=1. (1)求证：对于任意实数m，直线l过定点P，并求出点P坐标；(4分) (2)当m=1时，求直线l被椭圆C截得的弦长.(6分) (1)证明　因为2mx+(m+1)y+3m-1=0，整理可得(2x+y+3)m+y-1=0， 由解得 所以直线l过定点P(-2，1). (2)解　当m=1时，直线l的方程为x+y+1=0， 设直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去y得3x2+4x-2=0， Δ=42-4×3×(-2)=40>0，x1+x2=-，x1x2=-， 所以|AB|==×=. 11.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，M是椭圆E上一点，且线段MF2的中点N在y轴上，|NO|+|NF2|=2(O为坐标原点)，则|MF1|等于(　　) A. B. C. D.1 答案　A 解析　由N在y轴上，得NO⊥F1F2，而N是线段MF2的中点，O是线段F1F2的中点， 则NO∥MF1，|NO|=|MF1|，MF1⊥F1F2，2a=|MF1|+|MF2|=2(|NO|+|NF2|)=4， 解得a=2，由离心率为，得c=，b2=a2-c2=1， 故椭圆E的方程为+y2=1， 将x=-代入椭圆方程，得|y|=，所以|MF1|=|y|=. 12.已知点F1，F2分别是椭圆B：+=1(a>b>0)的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点F1关于∠F1MF2的平分线的对称点N也在椭圆B上，若cos∠F1MF2=，则椭圆B的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　点F1关于∠F1MF2的平分线的对称点N必在MF2上，因此M，F2，N共线，|MF1|=|MN|， |MF1|+|MF2|=2a，设|MF1|=m，则|MF2|=2a-m，|MN|=m，|NF2|=|MN|-|MF2|=2m-2a， 又|NF1|+|NF2|=2a，∴|NF1|=4a-2m， 在△MF1N中，由余弦定理得=+|MN|2-2|MF1||MN|cos∠F1MF2， ∴(4a-2m)2=m2+m2-2m2×，化简得m=a， ∴|MF1|=a，|MF2|=a， 在△MF1F2中，|F1F2|=2c， 由余弦定理得(2c)2=+-2×a×a×，解得e==. 13.(多选)设椭圆+=1的右焦点为F，直线y=m与椭圆交于A，B两点，则(　　) A.|AF|+|BF|为定值 B.△ABF的周长的取值范围是[6，12] C.当m=时，△ABF为直角三角形 D.当m=1时，△ABF的面积为2 答案　AC 解析　设椭圆的左焦点为F'，由椭圆的对称性，得=，所以+=+为定值6，故A正确； △ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|，因为|AF|+|BF|为定值6， 易知的取值范围是(0，6)，所以△ABF的周长的取值范围是(6，12)，故B错误； 将y=与椭圆方程联立，不妨设A，B， 又易知F，所以·=+=0， 所以△ABF为直角三角形，故C正确； 将y=1与椭圆方程联立， 不妨设A，B， 所以S△ABF=×2×1=，故D错误. 14.(5分)若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为　　　　　　.  答案　6 解析　由题意得，F(-1，0)，设点P(x0，y0)， 则=3(-2≤x0≤2)， 因为=(x0，y0)，=(x0+1，y0)， 所以·=x0(x0+1)+=+x0+ =+x0+3=(x0+2)2+2， 所以当x0=2时，·取得最大值6. 15.(多选)椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆C：+=1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C相切于点P，且|PF1|=2，F1关于直线l的对称点为F'1，过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M，则下列结论正确的是(　　) A.∠F1PF2= B.F'1，P，F2三点共线 C.∠F1PM=∠F2PM D.|F1M|∶|F2M|=1∶3 答案　BCD 解析　由题意可知，a=4，b=3，c==， 即|F1F2|=2， ∵|PF1|+|PF2|=8， 则|PF2|=6， ∴cos∠F1PF2==，且∠F1PF2∈(0，π)，则∠F1PF2=，A错误； 根据PM⊥l结合光线反射可知，∠F1PM=∠F2PM，C正确； 设F'1F1∩l=N，根据对称可知∠F1PN=∠F'1PN， ∴∠F'1PF2=∠F'1PF1+∠F1PF2 =2(∠F1PN+∠F1PM)=2∠NPM=π， 故F'1，P，F2三点共线，B正确； 在△F1PM中，由正弦定理=，则=， 同理在△F2PM中，得=， ∵∠F2MP=π-∠F1MP，则sin∠F2MP=sin(π-∠F1MP)=sin∠F1MP， ∴=，则==，即|F1M|∶|F2M|=1∶3，D正确. 16.(12分)(2024·新课标全国Ⅰ)已知A(0，3)和P为椭圆C：+=1(a>b>0)上两点. (1)求C的离心率；(4分) (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.(8分) 解　(1)由题意得 解得 所以C的离心率e===. (2)方法一　kAP==-， 则直线AP的方程为 y=-x+3， 即x+2y-6=0， 因为|AP|==， S△ABP=9， 所以点B到直线AP的距离d==， 设B(x0，y0)，则 解得或 即B(0，-3)或B， 当B(0，-3)时，kl=， 直线l的方程为y=x-3， 即3x-2y-6=0； 当B时，kl=， 直线l的方程为y=x，即x-2y=0. 综上，直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 方法二　当直线AB的斜率不存在时，此时B(0，-3)， S△PAB=×6×3=9，符合题意， 此时kl=， 直线l的方程为y=x-3， 即3x-2y-6=0； 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y=kx+3，k≠0， 联立椭圆方程有 则(4k2+3)x2+24kx=0， 其中k≠kAP，即k≠-， 解得x=0(舍去)或x=，k≠0，k≠-， 当x=时，y=， 则B， 同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0， 点B到直线AP的距离d=， 则=， 解得k=， 此时B， 则kl=， 直线l的方程为y=x， 即x-2y=0， 综上，直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 方法三　当l的斜率不存在时， l：x=3，B， |PB|=3，点A到直线PB的距离d=3， 此时S△ABP=×3×3=≠9不满足条件； 当直线l的斜率存在时， 设直线l：y=k(x-3)+， 设l与y轴的交点为Q， 令x=0，则Q， 联立 则有(3+4k2)x2-8kx+36k2-36k-27=0， 其中Δ=64k2-4(3+4k2)(36k2-36k-27)>0， 即4k2+12k+9>0， 且k≠kAP，即k≠-，k≠-， 则3xB=， xB=， 则S△ABP=|AQ||xP-xB| ==9， 解得k=或k=，均满足题意. 则直线l的方程为y=x或y=x-3， 即x-2y=0或3x-2y-6=0. 学科网（北京）股份有限公司 $