第3章 3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学双曲线的简单几何性质，通过类比椭圆性质的学习支架，系统梳理范围、对称性、顶点（含实轴、虚轴、等轴双曲线）、渐近线、离心率等核心知识点，构建从定义到性质再到应用（由性质求方程、求离心率）的完整脉络。 资料以问题驱动引导学生用数学眼光观察双曲线与椭圆的联系，通过知识梳理表格、例题解析及反思感悟培养数学思维，规范解题步骤提升数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后课时对点练助力学生查漏补缺，强化知识应用。

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 学习目标　1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 导语 在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质. 一、双曲线的几何性质 问题　类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线-=1(a>0，b>0)的几何性质. 提示　1.范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程-=1可得=1+≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，≥0，即x2≥a2，y2≥0， 所以x≤-a 或x≥a，y∈R. 2.对称性 -=1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心. 3.顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的顶点. 顶点是A1(-a，0)，A2(a，0)，只有两个. (2)如图，线段A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长为2a，a叫作双曲线的实半轴长；线段B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫作双曲线的虚半轴长. (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线. 方程为x2-y2=m(m≠0). 4.渐近线 双曲线在第一象限内的部分的方程为y=·， 它与y=x的位置关系：在y=x的下方. 它与y=x的位置的变化趋势：慢慢靠近. (1)双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x. (2)利用渐近线可以较准确地画出双曲线的草图. 5.离心率 (1)定义：e=. (2)e的范围：e>1. (3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到===，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄. 知识梳理 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤-a y≤-a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(-a，0)，A2(a，0) A1(0，-a)，A2(0，a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=，e∈(1，+∞)，其中c= 注意点： (1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“开口”大小，e越大，开口越大. (2)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y=±x. (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置. (4)焦点到渐近线的距离为b. (5)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线.为了便于研究，方程一般写为x2-y2=m(m≠0). 例1　(课本例4)　求双曲线-=1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率，并画出该双曲线的草图. 解　由双曲线方程可得实半轴长a=3，虚半轴长b=4，则c===5， 于是焦点坐标为(-5，0)，(5，0).渐近线方程为y=±x=±x，离心率e==. 为画出双曲线的草图，在平面直角坐标系中画出渐近线y=±x，顶点(±3，0).算出双曲线在第一象限内一点的坐标，例如取x=5，算出y=≈5.3，可见点(5，±5.3)在双曲线上.将y轴右边已知的三点(5，5.3)，(3，0)，(5，-5.3)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，就画出了双曲线的一支.由对称性可画出位于y轴左边的另一支，如图. 例1　求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 解　将9y2-4x2=-36化为标准方程为-=1， 即-=1， 所以a=3，b=2，c=. 因此顶点坐标为A1(-3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为F1(-，0)，F2(，0)， 实轴长2a=6，虚轴长2b=4， 离心率e==， 渐近线方程为y=±x=±x. 反思感悟　由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2=a2+b2求出c的值，从而得出双曲线的几何性质. 跟踪训练1　(多选)已知双曲线-=1，对于∀k∈R且k≠0，下列四个选项中因k改变而变化的是(　　) A.焦距 B.离心率 C.顶点坐标 D.渐近线方程 答案　AC 解析　∵双曲线-=1，∀k∈R且k≠0， ∴a2=2k2，b2=k2，c2=3k2， 焦距为2c=2|k|，离心率e===， 顶点坐标(±|k|，0)，渐近线方程为y=±x， 即y=±x. ∴因k改变而变化的是焦距和顶点坐标. 二、由双曲线的几何性质求标准方程 例2　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(-3，2)； (2)渐近线方程为y=±x，且经过点A(2，-3). 解　(1)设所求双曲线方程为-=1(a>0，b>0). ∵e=， ∴e2===1+=， ∴=. 由题意得解得 ∴所求双曲线的标准方程为-=1. (2)方法一　当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 由双曲线的渐近线方程为y=±x， 得=. ① ∵点A(2，-3)在双曲线上，∴-=1. ② ①②联立，无解. 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 由双曲线的渐近线方程为y=±x， 得=. ③ ∵点A(2，-3)在双曲线上，∴-=1. ④ 联立③④，解得a2=8，b2=32. ∴所求双曲线的标准方程为-=1. 方法二　由双曲线的渐近线方程为y=±x，可设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0)， ∵A(2，-3)在双曲线上， ∴-(-3)2=λ，即λ=-8. ∴所求双曲线的标准方程为-=1. 反思感悟　由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. (2)巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线-=1(a>0，b>0)具有相同渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). ②渐近线方程为Ax±By=0的双曲线方程可设为A2x2-B2y2=λ(λ≠0). 跟踪训练2　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)过点(2，0)，与双曲线-=1的离心率相等. 解　(1)设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 由题意知2b=8，e==， 从而b=4，c=a， 代入c2=a2+b2，得a2=9， 故双曲线的标准方程为-=1. (2)当所求双曲线的焦点在x轴上时， 可设其方程为-=λ(λ>0)， 将点(2，0)的坐标代入方程得λ=， 故所求双曲线的标准方程为-y2=1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时， 可设其方程为-=λ(λ>0)， 将点(2，0)的坐标代入方程得λ=-<0(舍去). 综上可知，所求双曲线的标准方程为-y2=1. 三、求双曲线的离心率 例3　已知圆C：x2+y2-10y+21=0与双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由双曲线-=1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y=x，即bx-ay=0， 又由圆C：x2+y2-10y+21=0， 可得圆心为C(0，5)，半径r=2， 则圆心到渐近线的距离为d===2，可得e==. 反思感悟　求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e=求解. (2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解. 跟踪训练3　已知F1，F2是双曲线-=1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为　　　　.  答案　1+ 解析　由双曲线的对称性，不妨设F1(c，0)，c>0，将x=c代入双曲线的方程得-=1，那么y=±. 由|PF2|=|QF2|，∠PF2Q=90°， 知|PF1|=|F1F2|，所以=2c， 所以b2=2ac， 所以c2-2ac-a2=0， 即e2-2e-1=0， 解得e=1+或e=1-(舍去)， 所以双曲线的离心率为1+. 1.知识清单： (1)双曲线的几何性质. (2)利用双曲线的几何性质求标准方程. (3)求双曲线的离心率. 2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程（组）法. 3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错. 1.双曲线-=1的左焦点与右顶点之间的距离等于(　　) A.6 B.8 C.9 D.10 答案　B 解析　由已知得左焦点的坐标为(-5，0)，右顶点的坐标为(3，0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. 2.双曲线-=1的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由双曲线的方程，知a=4，b=3， ∴c==5，e==. 3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是(　　) A.x2-y2=8 B.x2-y2=4 C.y2-x2=8 D.y2-x2=4 答案　A 解析　令y=0，得x=-4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(-4，0)， ∴c=4，a2=b2=c2=×16=8，即等轴双曲线的方程是x2-y2=8. 4.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为　　　　.  答案　y=±x 解析　∵=，∴==， ∴=，∴=，∴=. 又∵双曲线的焦点在y轴上， ∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知双曲线-=1(a>0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知a2+5=9，解得a=2，e==. 2.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的一个焦点为F(0，2)，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为(　　) A.-y2=1 B.x2-=1 C.-x2=1 D.y2-=1 答案　C 解析　因为双曲线一个焦点的坐标为F(0，2)，所以c=2. 由一条渐近线的斜率为，得=， 而c2=a2+b2， 因此有解得 故该双曲线的方程为-x2=1. 3.若双曲线mx2-y2=1的一条渐近线为x-3y=0，则实数m的值为(　　) A.3 B. C.9 D. 答案　D 解析　双曲线mx2-y2=1的渐近线为y=±x， 又双曲线mx2-y2=1的一条渐近线为x-3y=0，所以=，解得m=. 4.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|=4∶6∶5，则该双曲线的离心率为(　　) A.2 B. C. D.5 答案　B 解析　e===. 5.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一条渐近线过点P(1，2)，F1，F2是C的左、右焦点，且F1到一条渐近线的距离为2，若双曲线上一点M满足|MF1|=5，则|MF2|等于(　　) A.7 B.3或7 C.5 D.3 答案　A 解析　F1(-c，0)，取一条渐近线bx-ay=0， 所以F1到这条渐近线的距离d==b，所以b=2， 又因为渐近线过点P(1，2)，所以=2， 所以a=1，所以c==5， 若M在左支上，|MF1|=5>c-a=4，符合要求，所以|MF2|=2a+|MF1|=7， 若M在右支上，|MF1|=5<c+a=6，不符合要求. 6.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y=±x，则下列结论正确的是 (　　) A.C的方程为-=1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 答案　AD 解析　 由双曲线C的一个焦点F(5，0)，且渐近线方程为y=±x，可得c=5，焦点坐标在x轴上，所以=，因为c=5，所以b=4，a=3，所以C的方程为-=1，A正确；离心率为e=，B不正确； 焦点到渐近线的距离为d==4，C不正确； |PF|的最小值为c-a=2，D正确. 7.(5分)已知双曲线C：-=1(m>0)的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　.  答案　(4，+∞) 解析　∵等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线的开口更开阔， ∴双曲线C：-=1的离心率e>，则e2>2， 即>2，∴m>4. 8.(5分)(2024·新课标全国Ⅰ)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为　　　　.  答案　 解析　|F1A|=13，|AF2|=|AB|=5， 且AF2⊥F1F2， |F1F2|==12. 由双曲线定义可得2a=|F1A|-|AF2|=8， 2c=|F1F2|=12， 化简得a=4，c=6， 则C的离心率e==. 9.(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；(5分) (2)渐近线方程为2x±3y=0，且两顶点间的距离是6.(5分) 解　(1)由两顶点间的距离是6，得2a=6， 即a=3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12， 即c=6， 于是有b2=c2-a2=62-32=27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为-=1或-=1. (2)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0)， 即-=1(λ≠0)， 由题意得a=3. 当λ>0时，=9，λ=36， 则双曲线的标准方程为-=1； 当λ<0时，=9，λ=-81， 则双曲线的标准方程为-=1. 故所求双曲线的标准方程为 -=1或-=1. 10.(11分)已知双曲线E：-=1. (1)若m=5，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(5分) (2)若双曲线E的离心率e∈(，3)，求实数m的取值范围.(6分) 解　(1)由已知可得，双曲线E的方程为-=1， 所以双曲线的焦点在x轴上，且a2=4，b2=5，c2=a2+b2=9， 所以a=2，b=，c=3， 所以双曲线E的焦点坐标为(-3，0)，(3，0)， 顶点坐标为(-2，0)，(2，0)， 渐近线方程为y=±x=±x. (2)由已知可得a2=4，b2=m>0，c2=a2+b2=m+4， 所以a=2，b=，c=， e==， 因为e∈(，3)， 所以<<3， 即2<<6， 整理可得，24<m+4<36， 解得20<m<32. 11.已知P为双曲线-x2=1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为(　　) A.4 B.5 C. D.与点P的位置有关 答案　C 解析　设点P(x0，y0)，则有-=1， 所以-4=4. 易知双曲线-x2=1的渐近线方程为2x±y=0， 所以|PA|·|PB|=·==. 12.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：-=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则双曲线C的焦距的最小值为(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 答案　B 解析　由题意可知双曲线C的渐近线方程为y=±x， 因为D，E分别为直线x=a与双曲线C的两条渐近线的交点， 所以不妨设D(a，b)，E(a，-b)， 所以=·a·|DE|=·a·2b=ab=8， 所以c2=a2+b2≥2ab=16， 当且仅当a=b=2时，等号成立. 所以c≥4，所以2c≥8，所以双曲线C的焦距的最小值为8. 13.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)，设左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x-c)2+y2=c2相切，则该双曲线C的离心率为(　　) A. B. C. D.2 答案　B 解析　由题意得|PF2|=|F1F2|=2c，设直线PF1与圆(x-c)2+y2=c2相切于点T，如图， 则PF1⊥TF2，|TF2|=c， 在Rt△F1TF2中，∠TF2F1=60°， 则|PF1|=2c， 则由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|-2a=2c-2a，所以2c=2c-2a，解得e==. 14.(5分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2，B(0，b)的直线与双曲线右支在第一象限相交于点P，若=3，则双曲线C的渐近线方程为　　　　.  答案　y=±x 解析　设P(x0，y0)，x0>0，y0>0， 因为B(0，b)，F2(c，0)， 所以直线BF2的方程为+=1， 又=3， =×2c·b=bc， =×2c·y0=cy0， 则bc=3cy0，解得y0=， 将y0=代入+=1中，得x0=， 则P，所以-=1， 又a2+b2=c2，解得=， 故双曲线C的渐近线方程为y=±x. 15.(多选)设O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点P为双曲线上一点，则(　　) A.若|PF1|=3，则|PF2|=1 B.若△POF2的面积为，则∠F1PF2=60° C.若线段PF1的中点在y轴上，则|PF2|=3 D.△F1PF2内切圆的圆心到y轴的距离为1 答案　BCD 解析　渐近线方程为bx±ay=0， 由题意可得e==2，焦点(c，0)到渐近线的距离为=，结合c2=a2+b2，解得a=1，b=，c=2，则双曲线的方程为x2-=1， ||PF1|-|PF2||=|3-|PF2||=2，所以|PF2|=1或|PF2|=5，选项A错； 记∠F1PF2=θ，则=2=3， 设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由双曲线定义得|m-n|=2a， ① 在△F1PF2中，由余弦定理得m2+n2-2mncos θ=4c2，即(m-n)2+2mn-2mncos θ=4c2， ② 即mn==， 故=mnsin θ=··sin θ===3， 可得tan=，即有=30°，所以θ=60°，选项B对； 因为PF1的中点M在y轴上，所以|MF2|=|MF1|=|PF1|，故PF2⊥x轴，故|PF2|==3，选项C对； 取点P在双曲线的右支上，如图所示， |PF1|-|PF2|=|F1C|-|BF2|=|F1A|-|AF2|=2， 又因为|F1A|+|AF2|=4，解得|F1A|=3，|AF2|=1， 所以切点A是双曲线的右顶点，从而内切圆的圆心到y轴的距离为1，选项D对. 16.(12分)定义：以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线. (1)已知双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求C的共轭双曲线的方程；(4分) (2)已知双曲线C1和它的共轭双曲线C2的离心率分别为e1，e2. ①求证：+=1；(3分) ②求+的取值范围.(5分) (1)解　设双曲线C的焦距为2c，实轴长为2a，虚轴长为2b， 由题意，2c=16，=，解得a=6，c=8， 从而b2=c2-a2=28， 因为双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，所以C的方程为-=1， 从而它的共轭双曲线的方程为-=1. (2)不妨设双曲线C1的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 则C2的标准方程为-=1(a>0，b>0)，所以e1=，e2=， ①证明　+=+=1. ②解　+=+===， 因为a>0，b>0，所以0<≤1(当且仅当a=b时取等号)， 所以1<≤，即+的取值范围是(1，]. 学科网（北京）股份有限公司 $