第3章 3.2.1 第1课时 双曲线的标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦双曲线的标准方程这一核心知识点，通过类比椭圆定义（将“距离之和”改为“距离之差”）构建知识迁移，以拉链实验、问题引导（如不同2a与|F1F2|关系下的轨迹讨论）为学习支架，系统梳理定义、标准方程推导及应用过程。 资料以冷却塔截面等现实情境引入，培养数学眼光，通过类比椭圆推导强化数学思维，设置定义辨析、方程求解及参数问题等例题与练习，发展数学语言表达。课中实验与问题引导助于直观理解，课后小结与分层练习可辅助查漏补缺，巩固知识。

3.2.1　双曲线的标准方程 第1课时　双曲线的标准方程 学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 导语 前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实生活中很常见.如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？接下来我们来一起学习与双曲线相关的内容. 一、双曲线的定义 问题1　把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是什么曲线？ 提示　准备实验(可以找三名同学在教师指导下操作)，适当选取两定点F1，F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段(小于|F1F2|)，作为动点P到两定点F1和F2的距离之差，而后把它固定在F2处，这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画出一条曲线，同理可画出另一支.(如图)显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“平面上到两定点的距离之差|PF1|-|PF2|或|PF2|-|PF1|是同一个常数”这个条件. 问题2　在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于|F1F2|，如果截取的长度等于|F1F2|，其轨迹还是上述图形吗？ 提示　不是，是以F1，F2为端点的两条射线. 知识梳理 平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距. 注意点： (1)常数要小于两个定点的距离. (2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支. (3)当2a=|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在. (5)当2a=0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 例1　已知A(0，-5)，B(0，5)，|PA|-|PB|=2a，当a=3或5时，点P的轨迹为(　　) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 答案　D 解析　 当a=3时，2a=6，此时|AB|=10， ∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B). 当a=5时，2a=10，此时|AB|=10， ∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线. 反思感悟　判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件. 跟踪训练1　已知F1(3，3)，F2(-3，3)，动点P满足|PF1|-|PF2|=4，则P点的轨迹是(　　) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线 答案　B 解析　因为|PF1|-|PF2|=4，|F1F2|=6， 由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支. 二、双曲线的标准方程的推导 例2　类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 解　如图，以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 设双曲线的焦距为2c，c>0，此时双曲线的焦点分别为F1(-c，0)，F2 (c，0)， 设P(x，y)是双曲线上一点，则 ||PF1|-|PF2||=2a(a>0)， 因为|PF1|=， |PF2|=， 所以-=±2a， ① 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2-a2)·x2-a2y2=a2(c2-a2)，两边同除以a2(c2-a2)，得-=1. 由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2-a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2=c2-a2，其中b>0，代入上式，得-=1(a>0，b>0). 反思感悟　求双曲线的标准方程时，合理地建立平面直角坐标系，然后利用双曲线定义求解. 跟踪训练2　设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，且双曲线上的动点P满足||PF1|-|PF2||=2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 解　-=1(a>0，b>0). 三、求双曲线的标准方程 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 -=1 (a>0，b>0) -=1 (a>0，b>0) 焦点 F1(-c，0)， F2(c，0) F1(0，-c)， F2(0，c) a，b，c的关系 b2=c2-a2 注意点： (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.记忆口诀：“焦点跟着正项走”. (2)a与b没有大小关系. (3)a，b，c的关系满足c2=a2+b2. 例3　(课本例1)　已知双曲线两个焦点分别为F1(-4，0)，F2(4，0)，双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于6，求该双曲线的标准方程. 解　由于双曲线的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为-=1(a>0，b>0). 由双曲线的定义知2a=6，所以a=3. 又因为c=4，所以b2=c2-a2=16-9=7. 因此，所求双曲线的标准方程为-=1. 例3　(课本例2)　已知双曲线两个焦点分别为F1(0，-2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，-2)，求该双曲线的标准方程. 解　由于双曲线的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为-=1(a>0，b>0). 已知焦点F1，F2及双曲线上一点P，由双曲线的定义可知 2a=|PF2|-|PF1|=-3=5-3=2，因此a=1. 又因为c=2，所以b2=c2-a2=4-1=3. 因此，所求双曲线的标准方程为y2-=1. 例3　根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)焦距为2，经过点(-5，2)，且焦点在x轴上； (2)焦点为(0，-6)，(0，6)，且过点A(-5，6). 解　(1)因为焦点在x轴上，且c=， 所以设双曲线的标准方程为-=1，0<a2<6， 又因为过点(-5，2)，所以-=1， 解得a2=5或a2=30(舍去)， 所以双曲线的标准方程为-y2=1. (2)方法一　由已知得c=6，且焦点在y轴上. 因为点A(-5，6)在双曲线上， 所以2a=-=13-5=8， 则a=4，b2=c2-a2=62-42=20. 所以所求双曲线的标准方程是-=1. 方法二　因为焦点在y轴上，所以双曲线方程可以设为-=1.由题意知 解得a2=16，b2=20. 所以所求双曲线的标准方程为-=1. 反思感悟　用待定系数法求双曲线方程的步骤 (1)根据条件确定焦点在哪个坐标轴上. (2)设方程-=1或-=1(a>0，b>0). (3)列出关于a，b的方程(组). (4)解方程(组)，得所求双曲线方程. 跟踪训练3　焦点在x轴上，经过点(4，-2)和点(2，2)的双曲线的标准方程为　　　　.  答案　-=1 解析　设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 将点(4，-2)和(2，2)代入方程得 解得 所以双曲线的标准方程为-=1. 四、根据双曲线的标准方程求参数值或范围 例4　(课本例3)　已知方程+=1. (1)若方程表示双曲线，求a的取值范围； (2)试说明(1)中的双曲线有共同的焦点. 解　(1) 方程表示双曲线，则(4+a)(5+a)<0.解得-5<a<-4. 因此，当-5<a<-4时，方程表示双曲线，且原方程可写为-=1. (2)由(1)可知，双曲线的焦点在y轴上，且c2=5+a+(-4-a)=1. 所以，方程表示的双曲线的焦点坐标为(0，1)，(0，-1)，显然与方程中的a无关，因此(1)中的双曲线有共同的焦点. 例4　给出曲线方程+=1. (1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围； (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围. 解　(1)若方程表示双曲线，则有(4+k)(1-k)<0， 即(k+4)(k-1)>0， 解得k<-4或k>1， 因此实数k的取值范围是(-∞，-4)∪(1，+∞). (2)若方程表示焦点在y轴上的双曲线， 则有 解得k<-4， 因此实数k的取值范围是(-∞，-4). 反思感悟　方程表示双曲线的条件 (1)对于方程+=1，当mn<0时表示双曲线，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线. (2)对于方程-=1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线. 跟踪训练4　(多选)已知曲线C：x2+(1-m2)y2=1(其中m为常数)，则曲线C可能为(　　) A.平行于x轴的两条直线 B.单位圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的椭圆 答案　BC 解析　对于A，当1-m2=0，即m=±1时，x=±1，表示平行于y轴的两条直线，故A错误； 对于B，当m=0时，x2+y2=1，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，故B正确； 对于C，当1-m2<0，即m<-1或m>1时，曲线C：x2-=1表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当1-m2>0，且m≠0时，则0<1-m2<1，所以>1， 因此曲线C：x2+=1表示焦点在y轴上的椭圆，故D错误. 1.知识清单： (1)双曲线的定义. (2)双曲线的标准方程的推导过程. (3)求双曲线的标准方程. (4)根据双曲线的标准方程求参数值或范围. 2.方法归纳：待定系数法、分类讨论. 3.常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件. 1.已知点P(x，y)的坐标满足-=±，则动点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.双曲线的一支 答案　B 解析　 设A(1，0)，B(-1，0)， 则由已知得||PA|-|PB||=，即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数，又|AB|=2，且<2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线. 2.若方程-=1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A.-2<m<2 B.m>0 C.m≥0 D.|m|≥2 答案　A 解析　∵已知方程表示双曲线， ∴(2+m)(2-m)>0.∴-2<m<2. 3.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则a的值为(　　) A.1 B.1或-2 C.1或 D. 答案　A 解析　由题意知解得a=1. 4.以椭圆+=1的焦点为焦点，且过点的双曲线的标准方程为　　　　　　.  答案　-=1 解析　由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上. 设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0). 根据题意得 解得或(不符合题意，舍去)， 所以双曲线的标准方程为-=1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.已知定点F1(-2，0)，F2(2，0)，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　) A.|PF1|-|PF2|=±3 B.|PF1|-|PF2|=±4 C.|PF1|-|PF2|=±5 D.|PF1|2-|PF2|2=±4 答案　A 解析　当|PF1|-|PF2|=±3时， ||PF1|-|PF2||=3<|F1F2|=4， 满足双曲线的定义， 所以选项A中P点的轨迹是双曲线. 2.已知双曲线-=1(a>0)的一个焦点为(5，0)，则a的值为(　　) A.9 B.6 C.5 D.3 答案　D 解析　根据题意，双曲线-=1(a>0)的一个焦点为(5，0)，即c=5， 则有a2+16=25，解得a=3. 3.若双曲线C的两焦点分别为(-6，0)，(6，0)，且经过点(-5，2)，则双曲线的标准方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案　B 解析　由题意得2a=|- |=4， 所以a=2， 又c=6， 所以b2=c2-a2=36-20=16. 所以双曲线的标准方程为-=1. 4.若双曲线方程为x2-2y2=1，则它的右焦点坐标为(　　) A. B. C. D.(，0) 答案　B 解析　将双曲线方程化为标准方程为x2-=1， ∴a2=1，b2=，∴c2=a2+b2=， ∴c=，故右焦点坐标为. 5.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 答案　A 解析　设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2， 由两圆外切的充要条件，得 |MO1|=r+1，|MO2|=r+2. ∴|MO2|-|MO1|=1， 又|O1O2|=4， ∴动圆圆心M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1). 6.(多选)若方程+=1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是(　　) A.若1<t<5，则C为椭圆 B.若t<1，则C为双曲线 C.若C为双曲线，则焦距为4 D.若C为焦点在y轴上的椭圆，则3<t<5 答案　BD 解析　对于A，当t=3时，表示圆，A错误； 对于B，当t<1时，5-t>0，t-1<0，表示双曲线，B正确； 对于C，当t=0时，表示双曲线，但焦距不为4，C错误； 对于D，若C为焦点在y轴上的椭圆，则t-1>5-t>0，解得3<t<5，D正确. 7.(5分)若双曲线以椭圆+=1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为　　　　　　　　　.  答案　-=1 解析　椭圆+=1的焦点在x轴上，且a=4，b=3，c=，所以焦点为(±，0)，左、右顶点为(±4，0).于是双曲线经过点(±，0)，焦点为(±4，0)，则a'=，c'=4，所以b'2=9，所以双曲线的标准方程为-=1. 8.(5分)已知双曲线-=1的一个焦点到原点的距离为3，那么m=　　　　　　.  答案　7或-2 解析　当焦点在x轴上时，m>5，a2=m， b2=m-5， 则c2=a2+b2=m+m-5=9， 解得m=7； 当焦点在y轴上时，m<0，a2=5-m，b2=-m， 则c2=a2+b2=5-m+(-m)=9， 解得m=-2. 综上，m=7或m=-2. 9.(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，a=2，经过点A(-5，2)；(5分) (2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点(0，4).(5分) 解　(1)∵a=2，且双曲线的焦点在x轴上， ∴可设双曲线的标准方程为-=1(b>0)， 将点A代入双曲线的方程得-=1， 解得b2=16， ∴双曲线的标准方程为-=1. (2)∵双曲线焦点在y轴上， ∴设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 由其焦距为10，得2c=10，c=5， 又该双曲线过点(0，4)，则a=4， ∴b2=c2-a2=25-16=9， ∴双曲线的标准方程为-=1. 10.(11分)已知方程kx2+y2=4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型. 解　①当k=0时，y=±2，表示两条与x轴平行的直线. ②当k=1时，方程为x2+y2=4，表示圆心在原点，半径为2的圆. ③当k<0时，方程为-=1，表示焦点在y轴上的双曲线. ④当0<k<1时，方程为+=1，表示焦点在x轴上的椭圆. ⑤当k>1时，方程为+=1，表示焦点在y轴上的椭圆. 11.(多选)过点(1，1)，且=的双曲线的标准方程可以是(　　) A.-y2=1 B.-x2=1 C.x2-=1 D.y2-=1 答案　AB 解析　由于=，∴b2=2a2. 当焦点在x轴上时， 设双曲线的方程为-=1， 代入点(1，1)，得a2=， 此时双曲线的标准方程为-y2=1. 同理求得当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为-x2=1. 12.已知双曲线-=1(m>0，n>0)和椭圆+=1有相同的焦点，则+的最小值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.9 答案　D 解析　椭圆+=1是焦点在x轴上的椭圆，且c2=5-4=1. 因为双曲线-=1(m>0，n>0)和椭圆+=1有相同的焦点， 所以m+n=1(m>0，n>0)， 所以+=(m+n)=5++≥5+2=9. 当且仅当=，即m=，n=时取等号. 所以+的最小值为9. 13.(5分)设集合A=｛m||m-2|<3｝，B=，则A∩B=　　　.  答案　(-1，3) 解析　A=｛m||m-2|<3｝=｛m|-1<m<5｝， 若+=1表示双曲线，则(m+2)(m-3)<0，解得-2<m<3， 所以B=｛m|-2<m<3｝，所以A∩B=｛m|-1<m<3｝. 14.(5分)已知F1，F2是双曲线-=1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值为　　　　　　.  答案　16 解析　在双曲线-=1中，2a=8， 由双曲线定义， 得|PF2|-|PF1|=8，|QF2|-|QF1|=8， 所以|PF2|+|QF2|-|PQ|=(|PF2|-|PF1|)+(|QF2|-|QF1|)=16. 15.(5分)已知二次曲线Ck的方程为+=1，当m，n为正整数，且m<n时，存在两条曲线Cm，Cn，其交点P与点F1(-，0)，F2(，0)满足·=0，则m+n=　　　　　.  答案　8 解析　由题意可知，满足+=1且m，n为正整数的曲线如下： C1：+=1，C2：+=1，C3：+y2=1为椭圆， C5：-y2=1，C6：-=1，C7：-=1，C8：x2-=1为双曲线， 结合图形的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点， 故m∈，n∈. 因为·=0，所以PF1⊥PF2， 设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则根据椭圆、双曲线的定义及PF1⊥PF2可得 ①2+②2可得+=36-2(m+n)代入③， 解得m+n=8， 所以存在这样的Cm，Cn， 且或或 16.(12分)已知△OFQ的面积为2，且·=m，其中O为坐标原点. (1)设<m<4，求与的夹角θ的正切值的取值范围；(5分) (2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||=c，m=c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程.(7分) 解　(1)因为 所以tan θ=， 又<m<4，所以1<tan θ<4， 即tan θ的取值范围为(1，4). (2)设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，Q(x1，y1)，则=(x1-c，y1)， 所以S△OFQ=||·|y1|=2， 则y1=±，又·=m， 即(c，0)·(x1-c，y1)=c2， 解得x1=， 所以||== ≥==2， 当且仅当=， 即c=4时等号成立，此时||最小， Q的坐标为(，)或(，-). 因此解得 所以双曲线的标准方程为-=1. 学科网（北京）股份有限公司 $