第3章 3.2.1 第2课时 双曲线的标准方程的综合问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦双曲线标准方程的综合应用，系统梳理定义深化（焦点三角形、最值问题）、方程灵活设法（共焦点、过定点）及实际应用（建筑、地震预警）等核心知识点，构建从双曲线基础方程到综合问题解决的学习支架。 该资料以实例驱动教学，如广州塔单叶双曲面、地震预警定位等问题，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过定义法、数形结合等方法归纳，提升数学思维中的推理与运算能力，课中例题解析辅助教师高效授课，课后分层对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　双曲线的标准方程的综合问题 学习目标　1.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.2.双曲线在实际生活中的应用. 一、双曲线定义的应用 例1　(1)已知A(-4，0)，B是圆(x-1)2+(y-4)2=1上的点，点P在双曲线-=1的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为(　　) A.9 B.2+6 C.10 D.12 答案　C 解析　设点C(1，4)，点B在圆上，则|PB|≥|PC|-r=|PC|-1， 由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点， 设A'为双曲线右焦点， 所以由双曲线定义知|PA|=|PA'|+2a=|PA'|+6， 所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|+6≥|PA'|+|PC|+6-1≥|A'C|+5=5+5=10.当且仅当A'，P，B，C四点共线时等号成立. (2)已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积. 解　由-=1得，a=3，b=4，c=5. 由双曲线的定义和余弦定理得 |PF1|-|PF2|=±6， |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°， 所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|=64， 所以=|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2=×64×=16. 反思感悟　双曲线定义的应用 (1)与双曲线有关的长度和最值问题可以通过相应的双曲线的定义去解决. (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用. 跟踪训练1　在△ABC中，A(-5，0)，B(5，0)，点C在双曲线-=1上，则等于(　　) A. B.± C.- D.± 答案　D 解析　在△ABC中，sin A=，sin B=，sin C==(其中R为△ABC外接圆的半径). ∴==. 又∵BC-AC=±8， ∴=±=±. 二、双曲线方程的设法 例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)与双曲线-=1有相同的焦点，且经过点(3，2)； (2)过点P，Q且焦点在坐标轴上. 解　(1)方法一　根据题意，设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， ∴c2=16+4=20，即a2+b2=20. ① ∵双曲线经过点(3，2)， ∴-=1. ② 由①②得a2=12，b2=8， ∴双曲线的标准方程为-=1. 方法二　设所求双曲线的方程为-=1(-4<λ<16). ∵双曲线过点(3，2)， ∴-=1， 解得λ=4或λ=-14(舍去). ∴双曲线的标准方程为-=1. (2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1，AB<0. ∵点P，Q在双曲线上， ∴ 解得 ∴双曲线的标准方程为-=1. 反思感悟　(1)双曲线过两定点，可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0)或mx2-ny2=1(mn>0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，实为一种好方法. (2)共焦点双曲线的设法 与双曲线-=1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为-=1(-a2<λ<b2)；与双曲线-=1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为-=1(-a2<λ<b2). 跟踪训练2　求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)经过点A(4，3)，且a=4； (2)经过点A，B(3，-2). 解　(1)若双曲线的焦点在y轴上， 则-=1，不成立， 可知双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为-=1(b>0)， 代入A(4，3)，即-=1， 解得b2=9， 所以双曲线的标准方程为-=1. (2)设双曲线的标准方程为mx2+ny2=1(mn<0)， 代入点A，B(3，-2)， 可得 解得 所以双曲线的标准方程为-=1. 三、双曲线在生活中的应用 例3　单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100 m，楼底的直径为50 m，楼顶直径为50 m，最细处距楼底300 m，则该地标建筑的高为(　　) A.350 m B.375 m C.400 m D.450 m 答案　C 解析　以最细处的中点为坐标原点，最细处所在直线为x轴，建立平面直角坐标系如图所示. 由题意可得A(50，0)，C(25，-300)， 设B(25，y0)(y0>0)， 双曲线的方程是-=1(a>0，b>0)， 则解得 所以双曲线的方程是-=1， 将点B(25，y0)代入，得-=1， 解得y0=100， 所以该地标建筑的高为300+100=400(m). 反思感悟　利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系. (2)求出双曲线的标准方程. (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). 跟踪训练3　地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为(　　) A.8 km B.6 km C.4 km D.2 km 答案　A 解析　设震中为P，依题意有|PB|-|PA|=6<|AB|=10，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支，因为|PA|+|PB|≥|AB|=10，当且仅当A，P，B三点共线时取等号， 所以|PB|-6+|PB|≥10，所以|PB|≥8， 所以震中到地震台B站的距离至少为8 km. 1.知识清单： (1)双曲线定义的应用. (2)双曲线方程的设法. (3)双曲线在生活中的应用. 2.方法归纳：转化法、定义法、数形结合. 3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错. 1.如图，双曲线C：-=1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|-|P1F1|的值是(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 答案　C 解析　如图所示，设双曲线的右焦点为F2，连接P2F2，因为双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，根据双曲线的对称性，可得|P1F1|=|P2F2|，所以|P2F1|-|P1F1|=|P2F1|-|P2F2|=2×3=6. 2.过点(3，2)且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的双曲线方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案　C 解析　方法一　设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)， 椭圆3x2+8y2=24的焦点坐标为(±，0)， 可得c=， 则双曲线中c=，即双曲线方程为-=1(0<a2<5)，由双曲线过点(3，2)，可得-=1， 解得a2=3，b2=2，故所求双曲线方程为-=1. 方法二　设所求双曲线方程为+=1(-8<λ<-3)， ∵双曲线过点(3，2)， ∴+=1， 解得λ=-5或λ=7(舍去)， ∴双曲线方程为-=1. 3.已知F1，F2分别为双曲线C：-=1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=　　　　.  答案　 解析　由题意可得， 解得|PF1|=4，|PF2|=2， 因为|F1F2|=2=4， 所以cos∠F1PF2= ==. 4.已知F是双曲线-=1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为　　　.  答案　9 解析　由双曲线-=1，得a=2，b=2，c=4，作出图象如图所示， 设双曲线的右焦点为M， 则M(4，0)，由双曲线的定义可得|PF|-|PM|=4， 则|PF|=4+|PM|， 所以|PF|+|PA|=|PM|+|PA|+4≥|AM|+4=+4=9， 当且仅当A，P，M三点共线时，等号成立. 因此，|PF|+|PA|的最小值为9. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.与椭圆+=1共焦点，且过点(-2，)的双曲线方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案　B 解析　方法一　由题意得椭圆的焦点为(0，3)，(0，-3)， 所以双曲线的焦点为(0，3)，(0，-3)， 设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)， 所以解得 所以双曲线的方程为-=1. 方法二　设双曲线的方程为+=1(-25<λ<-16)， 又因为双曲线过点(-2，)， 可得+=1， 解得λ=-7(舍去)或λ=-20. 所以双曲线的方程为-=1. 2.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是(　　) A.双曲线的一支 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线 答案　B 解析　由已知可得||PA|-|PB||=2k<4k=|AB|， 根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上， 则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线. 3.已知F1，F2分别是双曲线C：x2-=1的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，且|MF1|+|MF2|=6，则∠MF1F2等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　A 解析　由题意可得|F1F2|=2×=2， 由双曲线的定义得|MF1|-|MF2|=2， 而|MF1|+|MF2|=6， 解得|MF1|=4，|MF2|=2， 由余弦定理得 cos∠MF1F2= ==， 所以∠MF1F2=30°. 4.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(-，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是(　　) A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 答案　B 解析　由已知条件，得焦点在x轴上，设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)， 则a2+b2=5. ① ∵线段PF1的中点的坐标为(0，2)， ∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程， 得-=1. ② 由①②解得a2=1，b2=4， ∴双曲线的方程为x2-=1. 5.已知双曲线的两个焦点为F1(-，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·=0，||·||=2，则该双曲线的方程是(　　) A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 答案　A 解析　∵·=0， ∴⊥，即MF1⊥MF2， ∴|MF1|2+|MF2|2=40. 则(|MF1|-|MF2|)2=|MF1|2-2|MF1|·|MF2|+|MF2|2=40-2×2=36. ∴||MF1|-|MF2||=6=2a，即a=3. ∵c=，∴b2=c2-a2=1. ∴该双曲线的方程是-y2=1. 6.已知点P在双曲线C1：-=1的右支上，点Q在圆C2：(x+5)2+y2=1上，点R在圆C3：(x-5)2+y2=1上，则|PQ|-|PR|的最大值是(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 答案　C 解析　双曲线-=1的两个焦点分别是F1(-5，0)与F2(5，0)，且|PF1|-|PF2|=8， 而这两个焦点恰好是圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心， 且两圆的半径分别是r2=1，r3=1， 所以|PQ|max=|PF1|+1，|PR|min=|PF2|-1， 所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10. 7.(5分)经过点P(-3，2)和Q(-6，-7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是　　　　　　.  答案　-=1 解析　设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0)， 则解得 故双曲线的标准方程为-=1. 8.(5分)已知双曲线的两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(-，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的标准方程为　　　　　　　　　.  答案　-y2=1 解析　由 得(|PF1|-|PF2|)2=16，即2a=4，解得a=2， 又c=，所以b=1， 故双曲线的标准方程为-y2=1. 9.(10分)设F1，F2分别是双曲线-=1的左、右焦点. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(5分) (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|=32，试求△F1PF2的面积.(5分) 解　(1)由双曲线-=1， 得a=3，b=4，c=5， 设点M到另一个焦点的距离为m， 由双曲线定义可知|m-16|=2a=6， 解得m=10或m=22， 即点M到另一个焦点的距离为10或22. (2)因为P是双曲线左支上的点， 所以|PF2|-|PF1|=2a=6， 则|PF2|2-2|PF1|·|PF2|+|PF1|2=36， 代入|PF1|·|PF2|=32， 可得|PF1|2+|PF2|2=36+2×32=100， 即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100， 所以△F1PF2为直角三角形， 所以=|PF1|·|PF2|=×32=16. 10.(11分)已知F1，F2是双曲线的两个焦点，且|F1F2|=10，过F2的直线交双曲线的一支于A，B两点，当|AB|=5，△AF1B的周长等于26时，求此双曲线的标准方程. 解　当双曲线的焦点在x轴上时， 设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点， 因为△AF1B的周长等于26， 所以有|AF1|+|AB|+|BF1|=26， ① 由双曲线的定义可知|AF1|-|AF2|=2a， |BF1|-|BF2|=2a，两式相加得， |AF1|-|AF2|+|BF1|-|BF2|=4a， 即|AF1|-|AB|+|BF1|=4a， ② 而|AB|=5， 因此由①-②可得5-(-5)=26-4a，解得a=4， 因为|F1F2|=10，所以c=5， 于是b===3， 所以双曲线的标准方程为-=1； 当双曲线的焦点在y轴上时， 同理可得双曲线的标准方程为-=1， 综上所述，双曲线的标准方程为-=1或-=1. 11.(多选)双曲线C：-=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上.若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为(　　) A. B. C.4 D.2 答案　AC 解析　由双曲线C：-=1可得c===4. 不妨设点P在双曲线C的左支上，根据双曲线的对称性只需考虑PF1⊥F1F2或PF1⊥PF2. 当PF1⊥F1F2时，将x=-4代入-=1可得y=±，所以△PF1F2的面积为=； 当PF1⊥PF2时，由双曲线的定义可知， =2a=4， 由勾股定理可得+==(2c)2=64. 因为+=+2=64， 所以=8，此时△PF1F2的面积为=4. 综上所述，△PF1F2的面积为4或. 12.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，-6)，若动点P位于y轴右侧，且到两定点F1(-3，0)，F2(3，0)的距离之差为定值4，则△APF1周长的最小值为(　　) A.3+4 B.3+6 C.4+4 D.4+6 答案　D 解析　由动点P到两定点F1(-3，0)，F2(3，0)的距离之差为定值4， 结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以F1(-3，0)，F2(3，0)为焦点的双曲线的右支， 易得c=3，2a=4，由c2=a2+b2得b2=5，则动点P的轨迹方程为-=1(x≥2)， 如图. 又|PF1|-|PF2|=4，则|PF1|=|PF2|+4，且|AF1|=|AF2|==3， 故△APF1的周长为|PA|+|AF1|+|PF1|=|PA|+|PF2|+4+|AF1|=|PA|+|PF2|+4+3≥|AF2|+4+3=4+6， 当且仅当P，A，F2三点共线且P点位于A，F2之间时，等号成立，故△APF1周长的最小值为4+6. 13.(5分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线左支上一点，M是线段F1F2上的一点，过点F1作PM的垂线，垂足为N，若|ON|=4(O为坐标原点)，且=，则a=　　　　　　.  答案　4 解析　由==，则sin∠MPF1=sin∠MPF2， 所以在△PF1F2中，∠MPF1=∠MPF2，即PM为角平分线， 由F1N⊥PM，延长F1N交PF2于点A，如图所示，故PN为F1A的垂直平分线， 则|F1N|=|NA|，即N为F1A的中点， 且|PF1|=|PA|， 又O为F1F2的中点，故在△F1AF2中，ON为中位线，故|AF2|=2|ON|=8， 而|PF2|-|PF1|=|PF2|-|PA|=|AF2|=2a，故a=4. 14.(5分)如图为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细工制作技艺的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为　　　　　.  答案　2π 解析　由该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为， 且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设M，N(m>0)， 代入双曲线方程可得-=1，-=1， 即-=，-=1， 作差可得=， 解得a=， 所以杯身最细处的周长为2π. 15.(多选)已知F1，F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点，M是左支上一点，且在x轴的上方，过F2作∠F1MF2平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点，则下列说法正确的是(　　) A.若∠MF1F2=，则直线MN的斜率为- B.若∠MF1F2=，则·=2 C.若∠MF1F2=α，则|ON|=1 D.若∠MF1F2=α，则|ON|=cos α 答案　AC 解析　由题意得a=1，b=，c=，M在第二象限， 当∠MF1F2=时，MF1⊥F1F2，又F1(-，0)，F2(，0)，故M(-，2)， |F1F2|=2c=2，|MF2|==4，故∠F1MF2=，∠MF2F1=， 由于NM是∠F1MF2的平分线，所以∠NMF2=，设MN与x轴交于点G，进而可得∠MGF2=，故斜率为-，故A正确； 由于⊥，所以·=||2==4，故B错误； 延长F2N，MF1交于点H，连接ON， 由于NM是∠F1MF2的平分线，⊥，所以△MNH≌△MNF2， 故N是HF2的中点，|HM|=|F2M|， 由双曲线定义可得|F2M|-|F1M|=2a⇒|HM|-|F1M|=2a⇒|HF1|=2a， 又O是F1F2的中点，|ON|=|HF1|=a=1，故C正确，D错误. 16.(12分)在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如图中的点A，B，C，且|OA|=|OB|=|OC|=3，假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 秒(注：v0为信号传播速度)，C处舰艇保持静默. (1)建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程；(6分) (2)在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的距离最小是多少？(6分) 解　(1)如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设敌舰艇的位置为P(x，y)， 由题意可知|PB|-|PA|=v0·=4. 由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a=4， 即a=2，c=3， 所以b=. 所以敌舰艇的轨迹方程为-=1(x≤-2). (2)设方程-=1(x≤-2)上一点M(x0，y0)， 由题意知-=1(x0≤-2)，即=4+，又C(0，3)， 所以|MC|====(y0∈R)， 所以当y0=时，|MC|min=2， 即无人机飞行的距离最小是2. 学科网（北京）股份有限公司 $