3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

3.2.2　双曲线的简单几何性质  

第1课时　双曲线的简单几何性质

任务一　双曲线的几何性质

问题.类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的几何性质.

提示：1.范围

利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1，

于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，

所以x≥a 或x≤－a； y∈R.

2.对称性

－＝1(a＞0，b＞0)关于x轴、y轴和原点都对称.

x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心.

3.顶点

(1)双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的顶点 .

顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个.

(2)如图，线段A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长为2a，a叫作实半轴长；线段B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫作双曲线的虚半轴长.

(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.

方程为x2－y2＝m(m≠0).

4.渐近线

双曲线在第一象限内部分的方程为y＝，

它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方.

它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近.

(1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x.

(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图.

5.离心率

(1)定义：e＝.

(2)e的范围：e＞1.

(3)e的含义：因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1，另外，注意到＝＝＝，说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄.

求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.

解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1，

所以a＝3，b＝2，c＝.

因此顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)，

焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，

实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，

渐近线方程为y＝±x＝±x.

[变式探究]

若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.

解：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)，

由此可知，实半轴长a＝，