第3章 3.1.1 第1课时 椭圆的标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学椭圆的标准方程第1课时，核心知识点包括椭圆的定义、标准方程的推导及简单标准方程的求解。通过生活实例引入，经动手操作抽象定义，借助坐标系推导方程，再通过例题与训练巩固应用，构建完整学习支架。 该资料以哈雷彗星、橄榄球等生活实例引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过问题驱动引导学生抽象椭圆定义，结合详细推导过程与表格对比方程形式，发展数学思维与语言表达能力。课中助力教师引导探究，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

3.1.1　椭圆的标准方程 第1课时　椭圆的标准方程 学习目标　1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导.3.会求简单的椭圆的标准方程. 导语 哈雷彗星每隔76年绕太阳公转一圈，它的运行轨迹是椭圆形；橄榄球运动盛行于英国、美国、加拿大、澳大利亚等国家，球的形状是椭圆形；夏天的时候，吃一口西瓜，沁人心脾，西瓜也是椭圆形；听见音乐就会翩翩起舞的“跳舞草”，它那椭圆形的身躯是那么优美……其实生活中还有许许多多椭圆形的例子，你能再举一些例子吗？椭圆有着怎样的几何特征？它是否也像圆一样有自己的定义、自己的方程呢？ 一、椭圆的定义 问题　在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于|F1F2|的细绳的两端固定在F1，F2两点，如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示　椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 知识梳理 平面上到两个定点F1，F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距. 注意点： (1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值. (2)定值必须大于两定点的距离. (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段. (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在. 例1　(1)设F1，F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=10，则动点M的轨迹是(　　) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 答案　A 解析　∵|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|=6， 由椭圆定义知，动点M的轨迹为椭圆. (2)设定点F1(0，-2)，F2(0，2)，动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+(m>0)，则点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.线段 C.射线 D.椭圆或线段 答案　D 解析　因为m>0，所以m+≥2=4，当且仅当m=2时等号成立， 所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆或线段. 反思感悟　椭圆定义的双向运用 判断 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆 求值 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a 跟踪训练1　下列说法中正确的是(　　) A.到点M(-4，0)，N(4，0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B.到点M(0，-4)，N(0，4)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C.到点M(-4，0)，N(4，0)的距离之和等于11的点的轨迹是椭圆 D.到点M(0，-4)，N(0，4)的距离相等的点的轨迹是椭圆 答案　C 解析　由椭圆定义知，C正确. 二、椭圆的标准方程的推导 例2　如图所示，以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.其中|F1F2|=2c(c>0)，椭圆上一点P满足|PF1|+|PF2|=2a(a>0)，求椭圆的标准方程. 解　设F1(-c，0)，F2(c，0)，P(x，y)， 因为|PF1|+|PF2|=2a. 则+=2a， 即=2a-， 即a=a2-cx， 整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2). 由椭圆定义知2a>2c， 即a>c， 所以a2-c2>0. 设a2-c2=b2(b>0)， 则b2x2+a2y2=a2b2， 两边同时除以a2b2，得+=1(a>b>0). 即椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 反思感悟　求椭圆的标准方程时，合理地建立平面直角坐标系，然后利用椭圆的定义求解. 跟踪训练2　如图所示，以线段F1F2的垂直平分线为x轴，过焦点F1，F2的直线为y轴，建立平面直角坐标系，其他条件同例2，求椭圆的标准方程. 解　设F1(0，-c)，F2(0，c)，P(x，y)， 根据椭圆的定义得 +=2a. 整理得椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 三、求简单的椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2=a2-c2 注意点： (1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a(a>0). (2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标轴上. 例3　(课本例2)　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为(-3，0)和(3，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (2)焦点坐标为(0，-2)和(0，2)，且经过点(3，2). 解　(1)由于椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为+=1(a>b>0). 由椭圆的定义知2a=10，所以a=5. 又因为c=3，所以b2=a2-c2=25-9=16. 因此，所求椭圆的标准方程为+=1. (2)由于椭圆的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为+=1(a>b>0). 已知焦点坐标及椭圆上一点(3，2)， 由椭圆的定义可知2a=+=5+3=8， 解得a=4. 又因为c=2，所以b2=a2-c2=16-4=12. 因此，所求椭圆的标准方程为+=1. 例3　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(-4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是12； (2)焦点坐标分别为(0，-2)，(0，2)，经过点(4，3). 解　(1)因为椭圆的焦点在x轴上， 所以可设它的标准方程为 +=1(a>b>0). 因为2a=12， 所以a=6. 又因为c=4， 所以b2=a2-c2=62-42=20. 故所求椭圆的标准方程为+=1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以可设它的标准方程为 +=1(a>b>0). 方法一　由椭圆的定义知 2a=+ =6++6-=12， 解得a=6. 又c=2， 所以b==4. 所以椭圆的标准方程为+=1. 方法二　因为所求椭圆过点(4，3)， 所以+=1. 又c2=a2-b2=4， 可解得a2=36，b2=32， 所以椭圆的标准方程为+=1. 反思感悟　确定椭圆标准方程的方法 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式. (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解. 跟踪训练3　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点. 解　(1)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为+=1(a>b>0). 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以 解得 所以所求椭圆的标准方程为+x2=1. (2)由于椭圆的焦点在x轴上， 所以设它的标准方程为+=1(a>b>0)， 由椭圆的定义知c=2， 2a=+ =2， 所以a=， 所以b2=a2-c2=10-4=6， 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 1.知识清单： (1)椭圆的定义. (2)椭圆的标准方程的推导. (3)求简单的椭圆的标准方程. 2.方法归纳：待定系数法、解方程组法. 3.常见误区： (1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系. (2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程. 1.已知点A(-1，0)，B(1，0)，动点P(x，y)满足|PA|+|PB|=1，则动点P的轨迹是(　　) 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.椭圆 B.直线 C.线段 D.不存在 答案　D 解析　由题设知|PA|+|PB|=1<|AB|=2， 则动点P的轨迹不存在. 2.设P是椭圆+=1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于(　　) A.4 B.5 C.8 D.10 答案　D 3.已知椭圆的焦点为(-1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+x2=1 答案　A 解析　由题意知c=1，由点P(2，0)在椭圆上， 可得a=2，b2=3， ∴椭圆的方程为+=1. 4.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　) A.(0，+∞) B.(0，2) C.(1，+∞) D.(0，1) 答案　D 解析　∵方程x2+ky2=2，即+=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴>2，故0<k<1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.椭圆+=1的焦点坐标是(　　) A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 答案　C 解析　因为椭圆的焦点在y轴上， 且a2=169，b2=25，所以c2=a2-b2=144， 所以c=12，故焦点坐标为(0，±12). 2.已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4，0)，则m的值为(　　) A.9 B.4 C.3 D.2 答案　C 解析　由题意可知25-m2=16，解得m=3(负值舍去). 3.若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案　B 解析　根据椭圆的定义知，|PF1|+|PF2|=2a=2×5=10，因为|PF1|=3，所以|PF2|=7. 4.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，点(0，-3)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案　D 解析　由题意可得解得 故椭圆的方程为+=1. 5.(多选)椭圆+=1的焦距是2，则m的值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 答案　CD 解析　∵2c=2，∴c=1. 当椭圆的焦点在x轴上时，a2=m，b2=4，c2=m-4. ∴m-4=1，m=5. 当椭圆的焦点在y轴上时，a2=4，b2=m， ∴c2=4-m=1，∴m=3. 综上，m的值是3或5. 6.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(-3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|+|PB|=2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　) A.当a=2时，点P的轨迹不存在 B.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a=3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 答案　AC 解析　当a=2时，2a=4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确； 当a=4时，2a=8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|=6，B错误，C正确； 当a=3时，2a=6=|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误. 7.(5分)已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离之和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为　　　　　　.  答案　+x2=1 解析　由已知可得2a=8，2c=2， 所以a=4，c=，所以b2=a2-c2=16-15=1. 又椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的标准方程为+x2=1. 8.(5分)若椭圆3x2-ty2=6的一个焦点为F(0，2)，则实数t=　　　　　　.  答案　-1 解析　椭圆3x2-ty2=6的标准方程为+=1，因为其一个焦点为F(0，2)， 所以a2=-，b2=2，所以--2=4， 解得t=-1. 9.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；(5分) (2)c∶a=5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.(5分) 解　(1)由焦距是4可得c=2， 且焦点坐标为(0，-2)，(0，2). 由椭圆的定义知， 2a=+=8， 所以a=4，所以b2=a2-c2=16-4=12. 又焦点在y轴上， 所以椭圆的标准方程为+=1. (2)由题意知，2a=26，即a=13， 又c∶a=5∶13，所以c=5， 所以b2=a2-c2=132-52=144， 因为焦点所在的坐标轴不确定， 所以椭圆的标准方程为 +=1或+=1. 10.(10分)已知圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x-1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程. 解　由已知得圆M的圆心为M(-1，0)，半径r1=1； 圆N的圆心为N(1，0)，半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R. 动圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4>|MN|. 由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(-2，0)除外)， 其方程为+=1(x≠-2). 11.椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为(　　) A.8 B.2 C.4 D. 答案　C 解析　由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a=10，又|MF1|=2，所以|MF2|=8，由于N为MF1的中点，所以ON为△F1MF2的中位线，所以|ON|=|MF2|=4. 12.(多选)已知曲线C：+=1，则(　　) A.当m=8时，C是圆 B.当m=10时，C是焦距为4的椭圆 C.当C是焦点在x轴上的椭圆时，5<m<8 D.当C是焦点在y轴上的椭圆时，8<m<11 答案　AB 解析　对于选项A，当m=8时，曲线C为x2+y2=3，此时曲线表示圆，所以选项A正确； 对于选项B，当m=10时，曲线C为+y2=1，此时曲线为椭圆且椭圆C的焦距为2=4，所以选项B正确； 对于选项C，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 解得8<m<11，所以选项C错误； 对于选项D，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 解得5<m<8，所以选项D错误. 13.椭圆+=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　) A.± B.± C.± D.± 答案　D 解析　∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(O为坐标原点，F2为椭圆的另一个焦点)， ∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3， ∵点P在椭圆上，∴+=1， 即y2=，∴y=±. ∴点M的纵坐标为±. 14.(5分)已知椭圆C：+=1，点M与椭圆C的焦点不重合.若点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=　　　　　　.  答案　12 解析　如图，取MN的中点G，G在椭圆C上， 因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B， 故有|GF1|=|AN|，|GF2|=|BN|， 所以|AN|+|BN|=2(|GF1|+|GF2|)=4a=12. 15.设P是椭圆+=1上一点，M，N分别是圆A：(x+4)2+y2=1和圆B：(x-4)2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为(　　) A.9，12 B.8，11 C.8，12 D.10，12 答案　C 解析　如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知|PA|+|PB|=2a=10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，设r为两圆的半径，此时|PM|+|PN|最小，最小值为|PA|+|PB|-2r=8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M'，N'两点，此时|PM|+|PN|最大，最大值为|PA|+|PB|+2r=12，即|PM|+|PN|的最小值和最大值分别为8，12. 16.(12分)某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示. (1)求曲线C的标准方程；(5分) (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)？(7分) 解　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c=4，则c=2，a=4，故b=2， ∴曲线C的标准方程为+=1. (2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群距A，B两岛的距离分别为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|=3， 得=3， ∴解得或 ∴点P的坐标为(2，3)或(2，-3). 学科网（北京）股份有限公司 $