第2章 习题课 对称问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本高中数学讲义聚焦对称问题核心知识点，系统梳理点点对称（中点坐标公式）、点线对称（垂直平分性质）、线线对称（交点与对称点法）等基本原理，结合特殊对称结论，通过例题与跟踪训练构建从原理到反射问题、最值问题应用的学习支架。 资料以分类讲解与问题应用为特色，通过光反射路径分析（例2）、距离和差最值求解（例3）等实例，培养学生几何直观的数学眼光与逻辑推理的数学思维，课中辅助教师高效授课，课后通过课时对点练帮助学生巩固方法，查漏补缺。

习题课　对称问题 学习目标　1.学会解决点点、点线、线线对称问题.2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题. 1.点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P(x1，y1)关于点Q(x0，y0)的对称点为P'(x2，y2)，则根据中点坐标公式，有可得对称点P'(x2，y2)的坐标为(2x0-x1，2y0-y1). 2.点关于直线对称 点P(x1，y1)关于直线l：Ax+By+C=0对称的点为P'(x2，y2)，连接PP'，交l于M点，则l垂直平分PP'，所以PP'⊥l，且M为PP'的中点，又因为M在直线l上，故可得解出(x2，y2)即可. 3.直线关于点对称 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式求出直线方程. 4.直线关于直线对称 求直线l1：ax+by+c=0关于直线l2：dx+ey+f=0(两直线不平行)的对称直线l3. 第一步：联立l1，l2的方程，算出交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任找一点(非交点)Q(x1，y1)，利用点关于直线l2对称算出对称点Q'(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程. 5.常见的一些特殊的对称 点(x，y)关于x轴的对称点为(x，-y)，关于y轴的对称点为(-x，y). 点(x，y)关于直线y=x的对称点为(y，x)，关于直线y=-x的对称点为(-y，-x). 点(x，y)关于直线x=a的对称点为(2a-x，y)，关于直线y=b的对称点为(x，2b-y). 点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a-x，2b-y). 点(x，y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y，k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y，x-k). 一、几类常见的对称问题 例1　已知直线l：y=3x+3，求： (1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标； (2)直线y=x-2关于l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程. 解　(1)设点P关于直线l的对称点为P'(x'，y')，则线段PP'的中点在直线l上，且直线PP'垂直于直线l， 即 解得 所以点P'的坐标为(-2，7). (2)解方程组得 则点在所求直线上. 在直线y=x-2上任取一点M(2，0)， 设点M关于直线l的对称点为M'(x0，y0)， 则 解得 则点M'也在所求直线上. 由两点式得直线方程为=， 化简得7x+y+22=0，即为所求直线方程. (3)在直线l上取两点E(0，3)，F(-1，0)， 则E，F关于点A(3，2)的对称点分别为E'(6，1)，F'(7，4). 因为点E'，F'在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为=， 即3x-y-17=0. 反思感悟　对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式. 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P'(2a-x，2b-y). (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求. 设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”. 设P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 跟踪训练1　已知P(-1，2)，M(1，3)，直线l：y=2x+1. (1)求点P关于直线l的对称点R的坐标； (2)求直线PM关于直线l对称的直线方程. 解　(1)设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)， 则有 解得则R. (2)因为M(1，3)的坐标满足直线l的方程， 点P关于直线l的对称点为R， 则直线MR即为所求的直线，由两点式得所求直线方程为11x+2y-17=0. 二、光的反射问题 例2　一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x+6y=25反射后通过点P(-4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程. 解　如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段OA的中点在l上得 解得∴A的坐标为(4，3). 即反射光线的反向延长线过A(4，3)， 又由反射光线过P(-4，3)，A，P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y=3. 联立解得 即交点Q， 由于反射光线为射线， 故反射光线的方程为y=3. 由光的性质可知， 光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|， 由A(4，3)，P(-4，3)知，|AP|=4-(-4)=8， 即光线从O点到达P点所走过的路程为8. 反思感悟　根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解. 跟踪训练2　如图所示，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(　　) A.2 B.6 C.3 D.2 答案　A 解析　由题意知，AB所在直线的方程为x+y-4=0.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(-2，0)，则光线所经过的路程为|CD|=2. 三、利用对称解决有关最值问题 例3　在直线l：x-y-1=0上求两点P，Q.使得： (1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差的绝对值最大； (2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小. 解　(1)如图，设点B关于l的对称点B'的坐标为(a，b)，连接BB'，则kBB'·kl=-1，即×1=-1， ∴a+b-4=0， ① ∵BB'的中点在直线l上， ∴--1=0，即a-b-6=0. ② 由①②得 ∴点B'的坐标为(5，-1). 于是AB'所在直线的方程为=， 即2x+y-9=0. 易知||PB|-|PA||=||PB'|-|PA||，当且仅当P，B'，A三点共线时，||PB'|-|PA||最大. ∴联立直线AB'与l的方程， 解得x=，y=， 即直线AB'与l的交点坐标为. 故点P的坐标为. (2)如图，设点C关于l的对称点为C'，可求得C'的坐标为(1，2)， ∴AC'所在直线的方程为x+3y-7=0. 易知|QA|+|QC|=|QA|+|QC'|，当且仅当Q，A，C'三点共线时，|QA|+|QC'|最小. ∴联立直线AC'与l的方程，解得x=，y=， 即直线AC'与l的交点坐标为. 故点Q的坐标为. 反思感悟　利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A'，得直线A'B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解. 跟踪训练3　已知两点A(1，3)，B(4，5)，动点M在直线y=x上运动，则|MA|+|MB|的最小值为　　　　.  答案　 解析　根据题意画出图象，如图， 设点A关于直线y=x的对称点为A'(x，y)， 所以 解得即A'(3，1)， 连接A'B，则|A'B|即为|MA|+|MB|的最小值，|A'B|==. 1.知识清单： (1)关于点点、点线、线线的对称问题. (2)反射问题. (3)利用对称解决有关最值问题. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆. 1.点(3，9)关于直线x+3y-10=0的对称点的坐标是(　　) A.(-1，-3) B.(17，-9) C.(-1，3) D.(-17，9) 答案　A 解析　设点(3，9)关于直线x+3y-10=0的对称点的坐标为(a，b)， 则由 解得 所以该点的坐标为(-1，-3). 2.若点P(3，4)和点Q(a，b)关于直线x-y-1=0对称，则(　　) A.a=1，b=-2 B.a=2，b=-1 C.a=4，b=3 D.a=5，b=2 答案　D 解析　由解得 3.直线x-2y+1=0 关于直线x=1对称的直线方程是(　　) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 答案　D 解析　在直线 x-2y+1=0上任取两点，不妨取点(1，1)，，这两点关于直线x=1对称的点分别为 (1，1)，，两对称点所在直线的方程为 y-1=-(x-1)，即 x+2y-3=0. 4.在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，定点M(3，4)，则|MA|+|AB|+|BM|的最小值是(　　) A.10 B.11 C.12 D.13 答案　A 解析　如图，设点M(3，4)关于y轴的对称点为P(-3，4)，关于x轴的对称点为Q(3，-4)， 则|MB|=|PB|，|MA|=|AQ|. 当A与B重合于坐标原点O时， |MA|+|AB|+|BM|=|PO|+|OQ|=|PQ| ==10； 当A与B不重合时，|MA|+|AB|+|BM|=|AQ|+|AB|+|PB|>|PQ|=10. 综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|+|AB|+|BM|取得最小值，最小值为10. 课时对点练　 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(-2，-3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A.4 B. C. D. 答案　D 解析　根据中点坐标公式得 解得所以点P的坐标为(4，1)，则点P(x，y)到原点的距离d==. 2.点P(a，b)关于直线l：x+y+1=0的对称点仍在l上，则a+b等于(　　) A.-1 B.1 C.2 D.0 答案　A 解析　∵点P(a，b)关于直线l：x+y+1=0对称的点仍在l上，∴点P(a，b)在直线l上， ∴a+b+1=0，即a+b=-1. 3.已知直线l：ax+by+c=0与直线l'关于直线x+y=0对称，则l'的方程为(　　) A.bx+ay-c=0 B.bx-ay+c=0 C.bx+ay+c=0 D.bx-ay-c=0 答案　A 4.直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线方程是(　　) A.2x+3y+7=0 B.3x-2y+2=0 C.2x+3y+8=0 D.3x-2y-12=0 答案　C 解析　∵直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线斜率不变， ∴设对称后的直线l'的方程为2x+3y+c=0， 又点(1，-1)到两直线的距离相等， ∴=， 化简得|c-1|=7， 解得c=-6或c=8， ∴l'的方程为2x+3y-6=0(舍)或 2x+3y+8=0，即直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线方程是2x+3y+8=0. 5.光线从点A(-3，5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的路程为(　　) A.5 B.2 C.5 D.10 答案　C 解析　点A(-3，5)关于x轴的对称点A'(-3，-5)，则光线从A到B的路程即|A'B|的长， |A'B|==5， 即光线从A到B的路程为5. 6.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离.结合上述观点，可得f(x)=+的最小值为(　　) A.2 B.5 C.4 D.8 答案　B 解析　∵f(x)=+ =+， ∴f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(-2，4)与B(-1，3)的距离之和， 设点A(-2，4)关于x轴的对称点为A'， 则A'(-2，-4).要求f(x)的最小值，即求|MA|+|MB|的最小值， ∴|MA|+|MB|≥|A'B|==5，当且仅当A'，M，B三点共线时等号成立， 即f(x)的最小值为5. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.一束光线自点(2，3)射入，经y轴反射后过点(3，0)，则下列点在反射光线所在直线上的是(　　) A.(-9，8) B.(3，1) C.(-7，6) D.(-12，9) 答案　CD 解析　点(2，3)关于y轴的对称点为点(-2，3)，则反射光线所在直线经过点(-2，3)和点(3，0)， 所以反射光线所在的直线方程为=，即3x+5y-9=0. 对于A，当x=-9时，y=≠8，所以A错误； 对于B，当x=3时，y=0≠1，所以B错误； 对于C，当x=-7时，y=6，所以C正确； 对于D，当x=-12时，y=9，所以D正确. 8.已知直线l：x-y+1=0，点M(1，3)，N(-1，1)，点P(x，y)为直线l上任意一点，则下列说法正确的是(　　) A.点M关于直线l的对称点坐标为(2，2) B.点N关于直线l的对称点坐标为(0，-1) C.|PM|+|PN|的最小值为 D.当|PM|+|PN|取最小值时，点P的坐标为 答案　ACD 解析　对于A，如图，作M关于直线l：x-y+1=0的对称点为M'，设M'(a，b)， 则有 解得则M'(2，2)，故A正确； 对于B，同A的方法，可求得点N关于直线l的对称点坐标为(0，0)，故B不正确； 对于C，|PM|+|PN|的最小值为|M'N|==，故C正确； 对于D，由两点式方程可知，直线M'N的方程为x-3y+4=0，与x-y+1=0联立解得点P的坐标为，故D正确. 9.已知直线l1：x+y=0，l2：2x-3y-6=0，则下列说法正确的是(　　) A.直线l1与l2相交于点 B.直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积为 C.直线l2关于原点O对称的直线方程为2x-3y+6=0 D.直线l2关于直线l1对称的直线方程为3x-2y+6=0 答案　AC 解析　由 解得x=，y=-， 所以交点坐标为，A选项正确； 直线l2：2x-3y-6=0与x轴的交点为(3，0)，与y轴的交点为(0，-2)，直线l1过原点，由图可知，直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积为×3×=，所以B选项错误； 由上述分析可知，直线l2关于原点O对称的直线过点(-3，0)，(0，2)，所以直线l2关于原点O对称的直线方程为y-2=(x-0)，即2x-3y+6=0，所以C选项正确； 点(3，0)关于直线x+y=0的对称点是(0，-3)， 点(0，-2)关于直线x+y=0的对称点是(2，0)， 所以直线l2关于直线l1对称的直线方程为+=1， 即3x-2y-6=0，所以D选项错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点A(-2，3)无旋转射入，经过x轴(桌边)上的点P反弹后，经过点B(5，7)，则点P的坐标为　　　　　　.  答案　 解析　设P(x，0)，A点关于x轴对称的点为A'(-2，-3)， 则kA'P==，kA'B==， 由题意知A'，B，P三点共线， 则kA'P=kA'B，即=，解得x=， 故点P的坐标为. 11.已知入射光线经过点M(-3，4)，被直线l：x-y+3=0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　　.  答案　6x-y-6=0 解析　设点M(-3，4)关于直线l：x-y+3=0的对称点为M'(a，b)， 则反射光线所在直线过点M'， 所以解得 即M'(1，0)，又反射光线经过点N(2，6)， 所以所求直线的方程为=， 即6x-y-6=0. 12.如图，光线从P(a，0)(a>0)出发，经过直线l：x-2y=0反射到Q(b，0)，该光线又在Q点被x轴反射，若反射光线恰与直线l平行，且b≥22，则实数a的最小值是　　　　.  答案　10 解析　设点P关于直线l的对称点为P'(x0，y0)， 则解得 即P'， 因为在Q点被x轴反射后的反射光线恰与直线l平行， 所以kP'Q=-，即=-， 化简得a=b， 因为b≥22，所以a=b≥×22=10， 即实数a的最小值是10. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知点M(3，5)，在直线l：x-2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小. 解　由点M(3，5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5，1).同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(-3，5).由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y-7=0. 解方程组得交点P.令x=0，得直线M1M2与y轴的交点Q.所以当P和Q的坐标分别为，时，△MPQ的周长最小. 14.(14分)已知直线l：x-y+3=0，一束光线从点A(1，2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. (1)试判断由此得到的△ABC的个数；(9分) (2)求直线BC的方程.(5分) 解　(1)如图，设B(m，0)，点A关于x轴的对称点为A'(1，-2)，点B关于直线x-y+3=0的对称点为B'(-3，m+3). 易知点C在直线A'B上， 且直线A'B的方程为y=(x-m). 由得x=. 又点C在直线AB'上，且直线AB'的方程为y-2=(x-1)， 由得x=. 所以=，即3m2+8m-3=0， 解得m=或m=-3. 当m=时，符合题意； 当m=-3时，点B在直线x-y+3=0上，不能构成三角形.综上，符合题意的△ABC只有1个. (2)由(1)得m=， 则直线A'B的方程为3x+y-1=0， 即直线BC的方程为3x+y-1=0. 学科网（北京）股份有限公司 $