专题2.5圆的方程（高效培优讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

第 1 页 共 36 页 专题 2.5 圆的方程 教学目标 1、理解并掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件求出圆的标准方程； 2、能在标准方程与一般方程之间转化，能根据圆的方程求出圆心、半径； 教学重难点 1、重点：圆的标准方程； 2、难点：圆的一般方程、两种方程的转化. 圆的标准方程：(� − �)2 + (� − �)2 = �2，其中圆心：C(�, b)，半径:r 【即学即练 1】(23-24 高二上·安徽马鞍山·阶段练习)已知圆的圆心在 ( 3, 4) ，半径为 5，则它的方程为( ) A．    2 23 4 5x y    B．    2 23 4 25x y    C． 2 2( 3) ( 4) 25x y    D．    2 23 4 5x y    【答案】C【难度】0.94【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】根据圆的标准方程得解. 【详解】因为圆心为 ( 3, 4) ，半径为 5， 所以圆的标准方程为 2 2( 3) ( 4) 25x y    ，故选：C 一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 圆心 C( − � 2 , − � 2 )，半径 r＝1 2 D2＋E2－4F 【即学即练 2-1】(24-25 高二上·云南曲靖·期中)若方程 2 2 0x y Dx Ey F     表示圆心为 (1, 2)，半径为 1 的圆，则D E F   . 【答案】 2 【难度】0.94【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】写出圆的标准方程整理成一般式，求出 , ,D E F的值即可. 【详解】易知圆心为 (1, 2)，半径为 1 的圆的方程为    2 21 2 1x y    ， 第 2 页 共 36 页 整理成一般式可得 2 2 2 4 4 0x y x y     ， 因此可得 2, 4, 4D E F     ，所以 2D E F    .故答案为： 2 【即学即练 2-2】(24-25 高二上·上海·期末)以  3,4C 为圆心，3 为半径的圆的一般方程是 . 【答案】 2 2 6 8 16 0x y x y     【难度】0.94 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】求得圆的标准方程化为一般式即可. 【详解】由题意可知圆的标准方程为 2 2( 3) ( 4) 9x y    ， 化圆的一般式得 2 2 6 8 16 0x y x y     .故答案为： 2 2 6 8 16 0x y x y     . 题型 01 已知圆心与半径求圆的方程 【典例 1-1】(24-25 高二下·四川成都·期末)圆心为点 ( 5,3)M  ，且过点 ( 8, 1)A   的圆的标准方程是 ． 【答案】 2 2( 5) ( 3) 25x y    【难度】0.94【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】由两点之间的距离公式，求出圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程. 【详解】因为 ( 5,3)M  ， ( 8, 1)A   ，所以圆半径    2 25 8 3 1 5MA       ， 所以圆的标准方程为 2 2( 5) ( 3) 25x y    .故答案为： 2 2( 5) ( 3) 25x y    . 【典例 1-2】(2025 高三·全国·专题练习)已知O为坐标原点，直线 1 :l y kx 与直线 2 : 2 4l y x  互相垂直且交 于点A，则以O为圆心，OA为半径的圆的方程为( ) A． 2 2 80 3 x y  B． 2 2 4 5 3 x y  C． 2 2 4 5 9 x y  D． 2 2 16 5 x y  【答案】D【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、已知直线垂直求参数 【分析】先利用垂直关系求参数 1 2 k   ，从而可得交点 8 4, 5 5 A     ，即可利用圆心和半径求得圆的标准方程. 【详解】由 1 2l l 可得： 1 2 k   ，由 1 2 2 4 y x y x        ， 解得： 8 5 4 5 x y        ，即可得 8 4, 5 5 A     ，则 2 2 2 8 4 16| | 5 5 5 OA               ， 即所求圆的方程为 2 2 16 5 x y  ．故选：D. 【典例 1-3】(22-23 高二上·湖南·期中)已知圆 C的圆心坐标为 (1,1)，且过坐标原点，则圆 C的方程为( ) A． 2 2( 1) ( 1) 2x y    B． 2 2( 1) ( 1) 2x y    C． 2 2( 1) ( 1) 2x y    D． 2 2 2x y  【答案】B【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 第 3 页 共 36 页 【分析】由圆 C过原点可得半径 | |r OC ，结合圆的标准方程即得解. 【详解】由题意，圆心 (1,1)C ，半径 2 2| | (1 0) (1 0) 2r OC      ， 故圆 C方程为 2 2( 1) ( 1) 2x y    .故选：B 【变式 1-1】(23-24 高二上·天津·期中)以点  1, 5C   为圆心，并与 x轴相切的圆的方程是( ) A． 2 2( 1) ( 5) 9x y    B． 2 2( 1) ( 5) 16x y    C． 2 2( 1) ( 5) 9x y    D． 2 2( 1) ( 5) 25x y    【答案】D【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题意确定圆的半径，即可求解. 【详解】由题意，圆心坐标为点  1, 5C   ，半径为5， 则圆的方程为 2 2( 1) ( 5) 25x y    ．故选：D． 【变式 1-2】(24-25 高二下·上海·阶段练习)圆心是  3,0 ,且过点  2, 2 的圆的方程为 . 【答案】  2 23 5x y   【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】求出圆的半径，即可得出所求圆的方程. 【详解】由题可得圆的半径为    2 23 2 0 2 5r      ， 又圆心为  3,0 ,所以圆的方程为  2 23 5x y   .故答案为：  2 23 5x y   . 【变式 1-3】(24-25 高二下·上海崇明·期末)以 (1, 2) 为圆心， 3为半径的圆的方程是 ． 【答案】 2 2( 1) ( 2) 3x y    【难度】0.94【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】根据给定条件，直接写出圆的方程即可. 【详解】依题意，所求圆的方程为 2 2( 1) ( 2) 3x y    .故答案为： 2 2( 1) ( 2) 3x y    【变式 1-4】(23-24 高一下·上海·期末)平面直角坐标系中，以  2,1 为圆心，且经过原点的圆的方程 为 . 【答案】    2 22 1 5x y    【难度】0.94 【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、点与圆的位置关系求参数 【分析】依题意设圆的方程为    2 2 22 1x y r    ，代入原点坐标求出 2r ，即可得解. 【详解】设圆的半径为  0r r  ，则圆的方程为    2 2 22 1x y r    ， 又圆过点  0,0 ，所以    2 22 0 2 0 1 5r      ， 所以圆的方程为    2 22 1 5x y    .故答案为：    2 22 1 5x y    【变式 1-5】(22-23 高二下·湖南邵阳·期中)圆心在 y轴，半径为 1 且过点 (1, 2)的圆的标准方程为： 【答案】  22 2 1x y   【难度】0.94【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】根据给定条件，求出圆心坐标即可得解. 【详解】依题意，设圆心为 (0, )b ，则 2 2(1 0) (2 ) 1b    ，解得 2b  ， 第 4 页 共 36 页 所以所求圆的标准方程是  22 2 1x y   .故答案为：  22 2 1x y   题型 02 已知圆上三点求圆的方程 【典例 2-1】(24-25 高二下·浙江温州·开学考试)过  2,0A ，  0,4B ，  2,4C 三点的圆的方程是( ) A． 2 2( 1) ( 2) 5x y    B． 2 2( 1) ( 2) 5x y    C． 2 2( 1) ( 2) 10x y    D． 2 2( 1) ( 2) 10x y    【答案】B【难度】0.85【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设出圆的一般方程，根据点在圆上求参数值，进而得到圆的标准方程. 【详解】设所求圆的一般方程为  2 2 2 20 4 0x y Dx Ey F D E F        ， 代入 A，B，C三点，得 4 2 0 16 4 0 4 16 2 4 0 D F E F D E F              ，解得 2 4 0 D E F        ， 所以圆的一般方程为 2 2 2 4 0x y x y    ，即 2 2( 1) ( 2) 5x y    .故选：B 【典例 2-2】(24-25 高二上·上海·期末)已知点  4, 2A   、  4,2B  、  2,2C  ，则∆ABC外接圆的方程是( ) A．  22 3 20x y   B．  2 23 5x y   C．  22 3 5x y   D．  2 23 20x y   【答案】B【难度】0.85【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设∆ABC外接圆的方程为    2 2 2x a y b r    ，将 ABCV 三个顶点代入圆的方程，求出 a、b、 2r 的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设∆ABC外接圆的方程为    2 2 2x a y b r    ， 由题意可得             2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 a b r a b r a b r                    ，解得 2 3 0 5 a b r       ， 因此，∆ABC外接圆的方程是  2 23 5x y   .故选：B. 【典例 2-3】(24-25 高三上·北京东城·期末)在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点．已知 圆经过      2, 2 , 2, 6 , 4, 2    三点，则该圆经过的整点共有( ) A．6 个 B．8 个 C．10 个 D．12 个 【答案】D【难度】0.85【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】先设出圆的一般方程，代入点的坐标得到圆的方程，从而得到圆经过的整点. 【详解】设该圆的方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ， 将      2, 2 , 2,6 , 4, 2    代入圆的方程可得： 2 2 8 0 2 6 40 0 4 2 20 0 D E F D E F D E F                ，解得 2 4 20 D E F         ， 第 5 页 共 36 页 故圆的方程为 2 2 2 4 20 0x y x y     ，整理得    2 21 2 25x y    ， 当 4x   时， 2y  ；当 3x   时， 1y   或 5； 当 2x   时， 2y   或 6；当 1x  时， = 3y  或 7； 当 4x  时， 2y   或 6；当 5x  时， 1y   或 5； 当 6x  时， 2y  ，所以该圆经过的整点共有 12 个.故选：D. 【变式 2-1】(24-25 高二上·海南·阶段练习)∆ABC的三个顶点的坐标分别为 ( )1,0A ，  3,0B ，  3,4C ，则∆ABC 的外接圆方程是( ) A．    2 22 2 20x y    B．    2 22 2 20x y    C．    2 22 2 5x y    D．    2 22 2 5x y    【答案】C【难度】0.85【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设出∆ABC的外接圆方程，将 ( )1,0A ，  3,0B ，  3,4C 代入即可求解. 【详解】设∆ABC的外接圆方程为    2 2 2x a y b r    ， 所以         2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 3 4 a b r a b r a b r              ，解得 2 2 5 a b r       ， 所以外接圆的方程为    2 22 2 5x y    .故选：C . 【变式 2-2】(24-25 高二下·四川广安·开学考试)过      0,0 , 0,8 , 6,0A B C 三点的圆的标准方程为 ． 【答案】    2 23 4 25x y    【难度】0.85 【知识点】求圆的一般方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解. 【详解】设圆的方程为  2 2 2 20 4 0x y Dx Ey F D E F        ， 代入三点      0,0 , 0,8 , 6,0A B C ，有 0 64 8 0 36 6 0 F E F D F          ；解得 6, 8, 0D E F     ， 故圆的方程为 2 2 6 8 0x y x y    ， 故圆的标准方程为 2 2( 3) ( 4) 25x y    .故答案为： 2 2( 3) ( 4) 25x y    【变式 2-3】(24-25 高二上·广东潮州·阶段练习)在平面直角坐标系 xOy中，直线 1 2 4 x y   与 x轴， y轴相交 于A， B两点，则经过O，A， B三点的圆的标准方程是 . 【答案】 2 2( 1) ( 2) 5x y    【难度】0.85【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题． 先求出A、 B的坐标，可得圆心为直角三角形 AOB的斜边 AB的中点，半径为 AB的一半，由此可解． 第 6 页 共 36 页 【详解】在平面直角坐标系 xOy中，直线 1 2 4 x y   与 x轴， y轴相交于A，B两点，  2,0A ，  0, 4B  ， 则经过O，A， B三点的圆的圆心为直角三角形 AOB的斜边 AB的中点  1, 2C  ， 半径为 AB的一半，即 5 2 AB r   ， 则经过O，A， B三点的圆的标准方程是 2 2( 1) ( 2) 5x y    ． 故答案为： 2 2( 1) ( 2) 5x y    ． 【变式 2-4】(24-25 高二上·四川·期中)已知圆 P过      1,1 , 7, 3 , 5, 7   三点，则圆 P的面积为 ． 【答案】 25π【难度】0.85【知识点】求圆的一般方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设圆的一般方程，将三点的坐标代入方程，利用待定系数法求解圆的方程，结合圆的面积公式计 算即可求解. 【详解】设圆 P的方程为 2 2 2 20( 4 0)x y Dx Ey F D E F        ， 代入      1,1 , 7, 3 , 5, 7   三点坐标可得 1 1 0 49 9 7 3 0 25 49 5 7 0 D E F D E F D E F                  ，解得 4 6 12 D E F        ， 所以圆 P的方程为 2 2 4 6 12 0x y x y     ，其标准方程为 2 2( 2) ( 3) 25x y    ，半径 5r  ， 故其面积 2π 25πS r  ．故答案为： 25π 【变式 2-5】(2025·河北秦皇岛·模拟预测)平面几何中有一个著名的定理：∆ABC的三条高线的垂足、三边中 点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为∆ABC的九点圆或欧拉圆，若  2,1A  、  4,1B ，∆ABC 的垂心为  3,3G ，则∆ABC的九点圆的标准方程为( ) A．   2 2 17 1452 8 64 x y        B．   2 2 17 1452 8 64 x y        C．   2 2 17 1452 8 64 x y        D．   2 2 17 1452 8 64 x y        【答案】C【难度】0.65【知识点】求圆的一般方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】根据中点坐标公式求出D、 E、 F 坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可. 【详解】由  2,1A  ，  4,1B ，  3,3G ，可得 AB中点为  1,1D ，AG中点为 1 , 2 2 E      ，BG中点为 7 ,2 2 F      ， 设∆ABC的九点圆方程为 2 2 0x y mx ny t     ， 代入D、 E、 F 三点坐标，可得 1 1 0 1 14 2 0 4 2 49 74 2 0 4 2 m n t m n t m n t                      ， 解得 4m   ， 17 4 n   ， 25 4 t  ，即 2 2 17 254 0 4 4 x y x y     ， 第 7 页 共 36 页 化简可得圆的标准方程为   2 2 17 1452 8 64 x y        ．故选：C. 【变式 2-6】(2024·江西九江·二模)欧拉于 1765 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形 的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知  0,2A ，  4,2B ，  , 1C a  ，且∆ABC为圆 2 2 0x y Ex Fy    内接三角形，则 ABCV 的欧拉线方程为 . 【答案】 1y  / 1 0y   【难度】0.85 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出 E、F ，从而得到圆心坐标即∆ABC的外心坐标，再确定 ∆ABC的重心坐标，即可得解. 【详解】依题意 2 2 2 2 2 0 4 2 4 2 0 F E F         ，解得 4 2 E F      ， 所以圆 2 2 4 2 0x y x y    ，即    2 22 1 5x y    ，故圆心坐标为  2,1 ， 即∆ABC的外心坐标为  2,1 ，又∆ABC的重心坐标为 4 ,1 3 a       ， 又点  2,1 、 4 ,1 3 a       均在直线 1y  上，所以∆ABC的欧拉线方程为 1y  .故答案为： 1y  题型 03 已知直径求圆的方程 当已知直径两端点坐标时，常规方法是求出圆心、半径。除了这一方法，还可以直接套直径式方程： 若 A(x1, y1), B(x2, y2)，以线段 AB为直径的圆的方程是(x − x1)(x − x2) + (y − y1)(y − y2) = 0. 【典例 3-1】(25-26 高二上·全国·课后作业)圆    2 21 2 4x y    关于直线 1 0ax y   对称，则 a  ． 【答案】3【难度】0.85【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的对称性的应用 【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可． 【详解】由题意得直线 1 0ax y   过圆心  1,2 ，代入直线方程有 2 1 0a    ， 解得 3a  ，故答案为：3． 【典例 3-2】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知直线 1 : 2 8 0l x y   ，直线 2 : 2 0l x y   ，设直线 1l 与 2l 的 交点为A，点 P的坐标为 (2,0)，则以 AP为直径的圆的方程为 ． 【答案】 2 2( 2) ( 2) 4x y    【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、由圆心(或半径)求圆的方程、求平面两点间的距离 【分析】联立直线得到点A的坐标，根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，即 可写出圆的方程. 【详解】联立 2 8 0 2 0 x y x y        ，得 2 4 x y    ， (2, 4)A ，又 (2,0)P ， 所以由中点坐标公式得 AP的中点坐标为 (2, 2)，即圆心坐标为 (2, 2)， 由两点间距离公式得半径 2 2(2 2) (2 0) 2r      ， 第 8 页 共 36 页 所以圆的方程为 2 2( 2) ( 2) 4x y    ．故答案为： 2 2( 2) ( 2) 4x y    . 【典例 3-3】(2025 高三·全国·专题练习)曲线C与曲线 2 2 3 5 1x y x y    关于直线 3y x  对称，则曲线C的 方程为 ． 【答案】 2 2 11 9 41 0x y x y     【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、由标准方程确定圆心和半径 【分析】首先得到曲线C上任意点  ,x y 关于直线 3y x  的对称点为  3,3y x  ，然后将  3,3y x  代 入 2 2 3 5 1x y x y    ，并化简即可得解. 【详解】注意到  ,x y (设该点不在直线 3y x  上)与  3,3y x  的中点 3 3, 2 2 x y x y         坐标，满足 3 3 3 2 2 x y x y      ， 且  ,x y 与  3,3y x  的连线斜率为 3 13 x y y x       ，满足 1 1 1    ， 所求曲线C上任意点  ,x y 关于直线 3y x  的对称点为  3,3y x  ， 则有    2 2( 3) (3 ) 3 3 5 3 1y x y x        ， 所以 2 2 11 9 41 0x y x y     ．故答案为： 2 2 11 9 41 0x y x y     . 【典例 3-4】(2025·北京海淀·一模)已知直线 y ax b  经过圆 2 2 2 0x y x   的圆心，则 2a b 的最小值为( ) A． 1 B． 1 4  C．0 D．1 【答案】B【难度】0.85【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、求二次函数的值域或最值 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，从而得出圆心坐标，将其代入直线 y ax b  中得出b a ，从而将 目标转化为求二次函数的最小值. 【详解】 2 2 2 0x y x   可化为  2 21 1x y   ，故圆心为  1,0 ， 因直线 y ax b  经过圆心，则b a ， 则 2 2y a b a a    ，此二次函数开口朝上，对称轴方程为 1 2 a   ， 故其最小值为 21 1 1 2 2 4         .故选：B 【变式 3-1】(24-25 高二下·河南南阳·期末)已知点  2,6A  ，  6,0B ，则以 AB为直径的圆的方程为( ) A．    2 22 3 25x y    B．    2 22 3 25x y    C．    2 22 3 1000x y    D．    2 22 3 100x y    【答案】B【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、求平面两点间的距离 【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程. 【详解】根据题意，以 AB为直径的圆的圆心为 AB中点  2,3C ，半径为    2 21 1 6 2 0 6 5 2 2 r AB      ， 第 9 页 共 36 页 所以圆的方程为    2 22 3 25x y    .故选：B. 【变式 3-2】(24-25 高二上·北京怀柔·期末)若直线 0x y a   是圆 2 2 2 6 1 0x y x y     的一条对称轴，则 a值为( ) A． 2 B．2 C． 4 D．4 【答案】A【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，根据圆心在直线上求出参数的值. 【详解】圆 2 2 2 6 1 0x y x y     ，即    2 21 3 9x y    ， 所以圆心坐标为  1, 3 ，依题意直线 0x y a   过点  1, 3 ， 所以1 3 0a   ，解得 2a   .故选：A 【变式 3-3】(24-25 高二上·重庆长寿·期末)圆 2 2 2 4 6 0x y mx my     关于直线 8 0mx y   对称，则实数 m  ( ) A． 2 B．4 C． 2 或 4 D．2 或 4 【答案】C【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先得出圆的圆心，再根据圆关于直线对称得出圆心在直线上计算求参. 【详解】圆 2 2 2 4 6 0x y mx my     的圆心为  , 2m m  ，且 2 24 16 24 0m m   ，即 2 6 5 m  ， 因为圆关于直线 8 0mx y   对称，所以圆心在直线上，则 2 2 8 0m m    ， 化简得   4 2 0m m   ，所以 4m  或 2m   ，满足 2 6 5 m  .故选：C. 【变式 3-4】(24-25 高二下·上海浦东新·期中)已知圆C与圆 2 2: 4 2 3 0D x y x y     关于 x轴对称．则圆C的 标准方程为 ． 【答案】    2 22 1 2x y    【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、求点关于直线的对称点、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程. 【详解】圆 2 2: 4 2 3 0D x y x y     化成标准方程为：    2 22 1 2x y    ， 所以圆心  2,1D ，半径 2r  ， 而圆C与圆D关于 x轴对称，即圆心  2,1D 与圆心C关于 x轴对称，而两圆半径相等， 即圆心  2, 1C  ，半径 2r  ， 所以圆C的标准方程为：    2 22 1 2x y    .故答案为：    2 22 1 2x y    【变式 3-5】(24-25 高二下·天津·阶段练习)圆 2 2 2 4 6 0x y mx my     关于直线 3 0mx y   对称，则实数 m的值 ． 【答案】3【难度】0.65【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径、由 直线与圆的位置关系求参数 第 10 页 共 36 页 【分析】根据圆的方程写出圆心坐标且有 25 6 0m   ，由圆关于直线对称，即圆心在直线上列方程求参数值 即可. 【详解】由圆的标准方程为 2 2 2( ) ( 2 ) 5 6 0x m y m m      ，则圆心为 ( , 2 )m m  ， 圆关于直线对称，则 ( ) ( 2 ) 3 0m m m      ，即 2 2 3 0m m    1m   或 3m  ， 显然 1m   时 25 6 0m   ，不合要求， 3m  满足 25 6 0m   ，所以 3m  .故答案为：3 【变式 3-6】(23-24 高二上·河北石家庄·期中)过点    1,1 , 3, 3A B  ，半径最小的圆的方程为( ) A． 2 2( 1) ( 1) 8x y    B． 2 2( 1) ( 1) 8x y    C． 2 2( 1) ( 1) 32x y    D． 2 2( 1) ( 1) 32x y    【答案】A【难度】0.85【知识点】求平面两点间的距离、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】半径最小的圆即以 AB为直径的圆. 【详解】过点    1,1 , 3, 3A B  ，半径最小的圆,即以 AB为直径， 则圆心为 AB中点 (1, 1)M  ，半径为 2 2( 1 3) (1 3) 16 16 2 2 2 2 r         ， 则圆方程为： 2 2( 1) ( 1) 8x y    .故选：A 题型 04 圆与对称性 【典例 4-1】(2025 高三·全国·专题练习)圆C与圆 2 2( 1) 1x y   关于直线 2y x  对称，则圆C的方程 为 ． 【答案】    2 22 1 1x y    / 2 2 4 2 4 0x y x y     【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】先求出圆心  1,0 关于直线 2y x  的对称点，从而求出对称圆的方程. 【详解】圆 2 2( 1) 1x y   的圆心为  1,0 ，半径为1， 设  1,0 关于直线 2y x  的对称点为  ,m n ， 则 12 2 2 1 1 n m n m         ，解得 2 1 m n    ，故圆心  1,0 关于直线 2y x  的对称点为  2,1 ， 则对称圆的方程为 2 2( 2) ( 1) 1x y    ．故答案为： 2 2( 2) ( 1) 1x y    【典例 4-2】(24-25 高二上·云南红河·期末)已知圆 2 2: 2 4 4 0M x x y y     与圆 2 2: 6 8 24 0N x x y y     关于直线 l对称，则 l的方程为( ) A． 2 5 0x y   B． 2 5 0x y   C． 2 5 0x y   D． 2 5 0x y   【答案】D【难度】0.65 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】根据已知圆的方程确定圆心，进而得到线段MN的中点坐标及 l的斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】圆M 的标准方程为： 2 2( 1) ( 2) 1x y    ，圆心  1, 2M   . 第 11 页 共 36 页 圆N的标准方程为： 2 2( 3) ( 4) 1x y    ，圆心  3, 4N  . 所以线段MN的中点为  1, 3 ， 由题意， l为线段MN的垂直平分线，且 1 2MN k   ，所以 2lk  ， 所以 l的方程为 3 2( 1)y x   ，则 2 5 0x y   .故选：D 【典例 4-3】(24-25 高二下·甘肃兰州·期末)若圆 2 2: 2 3 0C x y y    关于直线 l对称，则直线 l一定过点( ) A．  0,1 B．  1,0 C．  1,2 D．  1,2 【答案】A【难度】0.94【知识点】圆的对称性的应用、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】由圆的对称轴过圆心，可求得结论. 【详解】把圆 2 2: 2 3 0C x y y    的方程化为标准方程为  22 1 4x y   ， 所以圆C的圆心C的坐标为  0,1 ， 因为圆 2 2: 2 3 0C x y y    关于直线 l对称，则直线 l一定过圆心  0,1C .故选：A. 【变式 4-1】(24-25 高二下·安徽铜陵·阶段练习)已知圆 2 2: 2 8 8 0C x y x y     关于直线 2 0mx y   对称， 则实数m  ( ) A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C【难度】0.85【知识点】圆的对称性的应用、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可. 【详解】由    2 22 2: 2 8 8 0 1 4 25C x y x y x y          ，即  1, 4C  ， 由题意可知圆心在直线 2 0mx y   上，代入得 6m  .故选：C 【变式 4-2】(24-25 高二上·陕西榆林·期末)若直线 2 1 0x y   是圆  2 2 1x a y   的一条对称轴，则a  ( )． A． 1 2  B．0 C． 12 D．1 【答案】C【难度】0.94【知识点】圆的对称性的应用 【分析】根据直线是圆的对称轴可知，直线过圆心，进而可求出结果. 【详解】圆  2 2 1x a y   的圆心坐标为  ,0a ， 因为直线 2 1 0x y   是圆  2 2 1x a y   的一条对称轴， 所以直线 2 1 0x y   过点  ,0a ，所以 2 0 1 0a    ，解得 1 2 a  ．故选：C． 【变式 4-3】(23-24 高二上·广西玉林·期末)若直线 l在 x轴､ y轴上的截距相等，且直线 l将圆 2 2 2 4 0x y x y    的周长平分，则直线 l的方程为( ) A． 1 0x y   B． 1 0x y   C． 1 0x y   或 2 0x y  D． 1 0x y   或 2 0x y  【答案】C【难度】0.65【知识点】圆的对称性的应用、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】设出直线方程，将圆心代入直线，求解即可. 第 12 页 共 36 页 【详解】由已知圆 2 2( 1) ( 2) 5x y    ，直线 l将圆平分，则直线 l经过圆心  1, 2 ， 直线方程为 y kx ，或  1 0x y a a a    ，将点  1, 2 代入上式，解得 2, 1k a    直线 l的方程为 2 0x y  或 1 0x y   .故选：C. 【变式 4-4】(23-24 高二上·河南周口·期末)若曲线    2 21 2 4x y    上相异两点 P、Q关于直线 2 0kx y   对称，则 k的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D【难度】0.94【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的对称性的应用 【分析】根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解. 【详解】若曲线    2 21 2 4x y    上相异两点 P、Q关于直线 2 0kx y   对称， 则圆心  1,2 在直线 2 0kx y   上，故代入解得 4k  ，故选：D． 【变式 4-5】(23-24 高二上·陕西西安·阶段练习)若直线 1 0x y   是圆 2 2( ) ( 1) 1x m y    的一条对称轴， 则m  ( ) A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A【难度】0.94【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的对称性的应用 【分析】根据直线经过圆心即可求解. 【详解】由题意可得，直线 1 0x y   过圆心  ,1m ，则 1 1 0m    ，解得 0m  .故选：A 【变式 4-6】(21-22 高二上·全国·课后作业)已知圆C与圆 2 2 2 0x y y   关于直线 2 0x y   对称，则圆C的 方程是( ) A．  2 21 1x y   B．    2 23 2 1x y    C．    2 23 2 1x y    D．    2 22 3 1x y    【答案】B【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心(或半径)求圆的方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】设所求圆的圆心  ,C a b ，根据点关于直线的对称得到关于 ,a b的方程，解出即可. 【详解】将圆 2 2 2 0x y y   化成标准形式得  22 1 1x y   ， 所以已知圆的圆心为  0,1 ，半径 1r  ， 因为圆C与圆 2 2 2 0x y y   关于直线 2 0x y   对称， 所以圆C的圆心C与点  0,1 关于直线 2 0x y   对称，半径也为 1， 设  ,C a b 可得 1 1 0 0 1 2 0 2 2 b a a b            ，解得 3 2 a b     ， 所以  3, 2C  ，圆C的方程是    2 23 2 1x y    ，故选：B 第 13 页 共 36 页 【变式 4-7】(2025 高三·全国·专题练习)曲线C与曲线 2 2 3 5 1x y x y    关于直线 y x  对称，则曲线C的 方程为 ． 【答案】 2 2 3 1 05xx y y    【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点、求圆的一般方程 【分析】在曲线C上任取一点  ,P x y ，求出点 P关于直线 y x  的对称点Q的坐标，将点Q的坐标代入曲 线 2 2 3 5 1x y x y    的方程，化简可得出曲线C的方程. 【详解】在曲线C上任取一点  ,P x y ，则点 P关于直线 y x  的对称点为  ,Q y x  ， 因为点Q在曲线 2 2 3 5 1x y x y    上，则有        2 2 3 5 1y x y x          ， 即为 2 2 15 3x y x y   .故曲线C的方程为 2 2 3 1 05xx y y    .故答案为： 2 2 3 1 05xx y y    . 【变式 4-8】(24-25 高二上·四川南充·期中)已知圆C的圆心在直线 5y x   上，且圆C过点  2,6 、  5,3 ， 若圆C与圆C关于直线 2 2 0x y   对称，则圆C的标准方程为 ． 【答案】 2 22 9 9 5 5 x y              【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心(或半径)求圆的方程、求圆的一般方程 【分析】设圆的一般方程 2 2 0x y Dx Ey F     ，结合已知列方程求解 , ,D E F的值，再转化为圆的标准方 程即可，由于圆C与圆C关于直线 2 2 0x y   对称，根据点关于直线对称坐标特点求得C的坐标，则得 圆心C，由对称可知半径不变，故可得圆C的标准方程． 【详解】设圆C的方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ， 已知圆C的圆心在直线 5y x   上，且圆C过点  2,6 、  5,3 ， 则 40 2 6 0 34 5 3 0 5 2 2 D E F D E F E D                 ，解得 4 6 4 D E F        ，即圆C的方程为 2 2 4 6 4 0x y x y     ， 所以，圆C的标准方程为    2 22 3 9x y    ．圆 C的圆心  2,3C ，半径 3r  ， 设圆C的圆心坐标为  0 0,C x y ，因为圆C与圆C关于直线 2 2 0x y   对称， 则有 0 0 0 0 3 2 2 2 32 2 0 2 2 y x x y           ，解得 0 0 2 5 9 5 x y         ，即 2 9, 5 5 C        ． 所以，圆C的标准方程为 2 22 9 9 5 5 x y              ． 【变式 4-9】(23-24 高二上·宁夏银川·期末)若圆 2 2 2 2 0x y ax by    ( 0a  ， 0b  )被直线 1x y  平分，则 ab的最大值为 . 【答案】 1 4 /0.25【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值、圆的对称性的应用、由圆的一般方程确定圆心和半径 第 14 页 共 36 页 【分析】先求出圆心，再将圆心代入直线方程，再利用基本不等式求最值. 【详解】圆 2 2 2 2 0x y ax by    ，即    2 2 2 2x a y b a b     ，圆心为  ,a b ，半径为 2 2a b ， 因为圆 2 2 2 2 0x y ax by    ( 0a  ， 0b  )被直线 1x y  平分，则直线过圆心，即 1a b  ， 所以 2 1 2 4 a bab       ，当且仅当 1 2 a b  时等号成立.故答案为： 14 . 题型 05 由其它条件求圆的方程 【典例 5-1】(2025 高三·全国·专题练习)圆心在直线 2 3x y  上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程 是 ． 【答案】 2 2( 3) ( 3) 9x y    或 2 2( 1) ( 1) 1x y    【难度】0.94 【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】设圆心坐标为  ,a b ，半径为 r，由题意可得 2 3a b a b r      ，求解即可. 【详解】设圆心坐标为  ,a b ，半径为 r，则 2 3a b a b r      ，解得 3 3 3 a b r      或 1 1 1 a b r       . 所以圆的标准方程为    2 23 3 9x y    或    2 21 1 1x y    . 故答案为：    2 23 3 9x y    或    2 21 1 1x y    . 【典例 5-2】(2025 高二·全国·专题练习)过点 ( 4,0)A  ， (6, 1)B  且半径最小的圆的方程为 ． 【答案】 2 2 2 24 0    x y x y (或 2 2 1 101( 1) 2 4         x y )【难度】0.85 【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】解法一：先判断半径最小的情况，然后根据直径式方程写出圆的方程； 解法二：先确定圆心坐标和半径长，然后根据圆的方程直接写出即可. 【详解】解法一：根据题意，以点A， B为直径的两个端点的圆的半径最小， 则由直径式方程可得     4 6 1 0x x y y     ，即 2 2 2 24 0    x y x y ． 解法二：以点A， B为直径的两个端点的圆的半径最小，则线段 AB的中点 11, 2      即圆心， 2 2| | ( 4 6) (0 1) 101     AB 即直径，所以半径为 101 2 ，所以圆的方程为 2 2 1 101( 1) 2 4 x y        ． 故答案为： 2 2 2 24 0    x y x y (或 2 2 1 101( 1) 2 4 x y        ) 【典例 5-3】(25-26 高二上·全国·课后作业)已知圆C经过  5,2A ，  1,2B  两点，圆心在 x轴上，则圆C的 标准方程是 ． 【答案】  2 22 13x y   【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】利用两点距离公式，即可求解圆心和半径得解，或者利用圆的几何性质，根据弦的垂直平分线经 第 15 页 共 36 页 过圆心可得圆心，即可由两点距离求解半径得解. 【详解】方法一：圆心在 x轴上，设圆心坐标为  ,0a ，半径为 r， 则        2 2 2 22 5 0 2 1 0 2r a a        ，解得 2 2 13 a r    ， 所以圆C的标准方程为  2 22 13x y   ． 方法二：弦 AB的中点为  2,2M ，且直线 AB平行于 x轴， 则弦 AB的垂直平分线为直线 : 2MC x  ，即圆心  2,0C ． 所以半径    2 25 2 2 0 13AC      ， 则圆C的标准方程为  2 22 13x y   ．故答案为：  2 22 13x y   【变式 5-1】(23-24 高二上·四川乐山·期末)已知圆C的圆心在 x轴上且经过    1,1 , 2, 2A B  两点，则圆C的 标准方程是( ) A． 2 2( 3) 5x y   B． 2 2( 3) 17x y   C． 2 2( 3) 17x y   D． 2 2( 1) 5x y   【答案】A【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设圆C的标准方程是 2 2 2( )x a y r   ，将    1,1 , 2, 2A B  代入求解即可. 【详解】解：由题意设圆C的标准方程是 2 2 2( )x a y r   ， 因为圆C经过    1,1 , 2, 2A B  两点， 所以     2 2 2 2 1 1 2 4 a r a r         ，解得 2 3 5 a r    ，所以圆C的标准方程是 2 2( 3) 5x y   ，故选：A 【变式 5-2】(2024·辽宁大连·一模)过点  1,1 和  1,3 ，且圆心在 x轴上的圆的方程为( ) A． 2 2 4x y  B．  2 22 8x y   C．  2 21 5x y   D．  2 22 10x y   【答案】D【难度】0.85【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】借助待定系数法计算即可得. 【详解】令该圆圆心为  ,0a ，半径为 r，则该圆方程为  2 2 2x a y r   ， 则有     2 2 2 2 1 1 1 9 a r a r          ，解得 2 10 a r    ，故该圆方程为  2 22 10x y   .故选：D. 【变式 5-3】(23-24 高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知圆 C经过点  1,1 和点  1,3B ，且圆心在 y轴上， 则圆 C的方程为( ) A．  2 22 2x y   B．  2 22 10x y   C．  22 2 2x y   D．  22 2 10x y   【答案】C【难度】0.85【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、求圆的一般方程 【分析】先利用待定系数法求得圆 C的一般方程，进而得到圆 C的标准方程. 第 16 页 共 36 页 【详解】设圆 C的方程为 2 2 + =0x y Dx Ey F   ，则圆心 , 2 2 D E      ， 则有 1 1 0 0 2 1 9 3 0 D E F D D E F              ，解之得 0 4 2 D E F       , 则有圆 C的方程为 2 2 4 +2=0x y y  ，即  22 2 2x y   ；故选：C 【变式 5-4】(2025·河南·模拟预测)已知圆C的圆心在直线 3 8 0x y   上，且圆C经过点  6,0 ， 0, 2 ，则 圆C的方程是 . 【答案】 2 2( 2) ( 2) 20x y    【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】先根据中点坐标公式和斜率公式求出两点的中点和斜率，进而得到垂直平分线的斜率和方程，再 联立相关直线方程求出圆心坐标，最后根据圆心和圆上一点求出半径，从而确定圆的方程. 【详解】点  6,0 和点  0, 2 的中点为  3, 1 ，点  6,0 和点  0, 2 的斜率为  0 2 1 6 0 3     ， 则点  6,0 和点  0, 2 的垂直平分线的斜率为 3 ， 可得点  6,0 和点  0, 2 的垂直平分线的方程为3 8 0x y   设圆心为  ,x y ，由题意联立方程： 3 8 3 8 x y x y      解得 2x  ， 2y  ，半径 2 2(6 2) (0 2) 2 5r      ，圆方程为 2 2( 2) ( 2) 20x y    . 故答案为： 2 2( 2) ( 2) 20x y    . 题型 06 已知圆的方程求圆心、半径 【典例 6-1】(2025·山西晋中·三模)已知圆 C的一般方程为 2 2 6 4 12 0x y x y     ，则圆 C的圆心坐标为( ) A．  3,2 B．  3,2 C．  3, 2 D．  3, 2  【答案】C【难度】0.85【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】由一般方程得到标准方程即可求解. 【详解】由 2 2 6 4 12 0x y x y     ，得    2 23 2 1x y    ， 可知圆 C的圆心坐标为  3, 2 ．故选：C 【典例 6-2】(24-25 高二上·浙江杭州·期末)已知 2 2 1: 2 2 0 2 C x y x y     ，则该圆的圆心坐标和半径分 别为( ) A． 1 2( , ) 2 2  ，1 B． 2( 1, ) 2  ，1 C． 1 2( , ) 2 2  ， 2 2 D． 2( 1, ) 2  ， 2 2 【答案】B【难度】0.85【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】配方得到圆的标准方程，得到圆心和半径. 【详解】   2 22 2 1 2: 2 2 0 11 2 2 C x y x y x y                 ， 第 17 页 共 36 页 故圆心为 2( 1, ) 2  ，半径为 1.故选：B 【典例 6-3】(24-25 高二下·安徽宿州·期中)已知圆 2 2 4x y  与圆 2 2 4 4 4 0x y x y     ，则两圆圆心所在直 线的方程为( ) A． y x  或 2y x  B． 2y x   C． y x  D． 2y x  【答案】C【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】求两圆的圆心，再求直线方程. 【详解】圆 2 2 4x y  的圆心为 (0,0)，圆 2 2 4 4 4 0x y x y     可化为 2 2( 2) ( 2) 4x y    ， 所以圆心为 ( 2,2) ，圆心所在直线的斜率为 2 1 2    ，所以两圆圆心所在直线的方程为 y x  .故选：C 【典例 6-4】(24-25 高二上·安徽·期末)已知圆 2 2: 2 2 4 0C x y x y     ，则圆C的圆心到坐标原点的距离为 ( ) A．1 B． 2 C． 6 D． 2 2 【答案】B【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】首先转化为圆的标准方程，求圆心，再求两点间距离. 【详解】根据题意，圆 2 2: 2 2 4 0C x y x y     可化为    2 21 1 6x y    ， 所以圆C的圆心为  1, 1 ，所以圆心到坐标原点的距离为    2 21 0 1 0 2     ．故选：B 【变式 6-1】(24-25 高二上·广东湛江·期末)圆 2 2 2 4 3 0x y x y     的圆心到直线 1 0x y   的距离为( ) A．2 B． 2 2 C．1 D． 2 【答案】D【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式计算得解. 【详解】圆 2 2 2 4 3 0x y x y     的圆心坐标为 ( 1, 2) ， 所以所求距离为 2 2 | 1 2 1| 2 1 1      .故选：D 【变式 6-2】(24-25 高二上·甘肃庆阳·期末)圆 2 2 2 8 13 0    x y x y 的圆心到直线 1 0x y   的距离为( ) A．2 B． 2 2 C． 9 2 2 D．11 2 2 【答案】B【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【分析】先求出圆心坐标，再求点到线的距离. 【详解】圆 2 2 2 8 13 0    x y x y 圆心坐标为  1,4 ， 点  1,4 到直线 1 0x y   的距离 2 2 1 4 1 4 2 2 21 1 d       .故选：B 【变式 6-3】(19-20 高二下·北京延庆·期中)圆 2 2 2 4 3 0x y x y     的圆心到直线 0x y  的距离为( ) 第 18 页 共 36 页 A．2 B． 2 2 C．1 D． 2 【答案】B【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【分析】求出圆心结合点到直线距离公式即可得解. 【详解】圆 2 2 2 4 3 0x y x y     即    2 21 2 2x y    ， 所以圆心坐标为  1,2Q  ，所以圆心到直线 0x y  的距离为 1 2 2 22 d     .故选：B. 【变式 6-4】(24-25 高二上·江西·阶段练习)已知圆 2 2 24 2 3 1 0x y x ay a a       的圆心在第二象限，则实 数 a的取值范围为( ) A． 31, 2      B．  1,0 C． 30, 2       D． 3 ,1 2      【答案】C【难度】0.65【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】由方程表示圆得 2 2 4 0D E F   ，结合圆心在第二象限可得到结果. 【详解】由方程 2 2 24 2 3 1 0x y x ay a a       表示圆得，    22 24 2 4 3 1 0a a a      ， 整理得， 22 3 0a a   ，解得 31 2 a   . 由题意得，圆心坐标为  2,a ，由圆心在第二象限得 0a  ， 所以实数 a的取值范围为 30, 2       .故选：C. 【变式 6-5】(24-25 高二上·广东佛山·期中)若圆 2 2 4 2 1 0x y ax y     的圆心到两坐标轴的距离相等，则 a  ( ) A． 1 B．1 C． 1 2  D． 12 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知点到直线距离求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般 方程与标准方程之间的互化 【分析】先求出圆的圆心，再结合题意即可得解. 【详解】圆 2 2 4 2 1 0x y ax y     化为标准方程为    2 2 22 1 4 2x a y a     ， 则圆心为  2 , 1a  ，半径 24 2r a  ， 由题意得 2 1a  ，解得 1 2 a   .故选：C. 【变式 6-6】(24-25 高二上·江苏徐州·阶段练习)已知圆 2 2 22 4 5 9 0x y ax ay a      上的所有点都在第二象 限，则实数 a的取值范围是( ) A．  , 3  B． 33, 2      C．  3, D． 33, 2      【答案】A【难度】0.65【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得圆心及其半径，结合圆的性质与第二象限的点的性质计算即 第 19 页 共 36 页 可得解. 【详解】由 2 2 22 4 5 9 0x y ax ay a      ，化简可得 2 2( ) ( 2 ) 9x a y a    ， 则该圆圆心为  , 2a a ，半径为 3，由题意可得 3, 2 3, a a     解得 3a   ， 故实数 a的取值范围是  , 3  ．故选：A. 【变式 6-7】(多选)(24-25 高二上·云南玉溪·期末)已知圆的一般方程为 2 2 3 2 3 0x y x y     ，则( ) A．该圆圆心坐标为 3 , 1 2      B．该圆圆心坐标为 3 ,1 2      C．该圆半径为 5 D．该圆半径为 5 2 【答案】BD【难度】0.94【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】利用配方法整理圆的方程，结合圆的标准方程，可得答案. 【详解】圆 2 2 3 2 3 0x y x y     转化为 2 2 23 5( 1) 2 2 x y              ，其圆心坐标为 3 ,1 2      ，半径为 5 2 . 故选：BD. 【变式 6-8】(24-25 高二下·云南红河·期末)已知圆 2 2: 2 0C x y Dx Ey     的圆心坐标为 ( 1,1) ，则C的半 径为 . 【答案】2【难度】0.65【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】根据圆的一般方程配方得到圆的标准方程，求出圆心坐标的表达式 ，求出D、E，进而计算出半 径即可. 【详解】由 2 2 2 0x y Dx Ey     ，有   2 2 2 2 4 2 2 2 4 D ED Ex y                  ， 因为圆心坐标公式为 , 2 2 D E      ，所以 2D  ， 2E   ， 所以C的半径为   2 2 4 2 4 4 8 2 2 2 D E        .故答案为： 2 【变式 6-9】(24-25 高二下·上海杨浦·期末)已知圆C的方程是 2 2 2 4 4 0x y x y     ，则这个圆的半径 是 . 【答案】3【难度】0.94【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出圆半径. 【详解】圆C的方程 2 2 2 4 4 0x y x y     化为： 2 2( 1) ( 2) 9x y    ， 所以圆C的半径为 3.故答案为：3 题型 07 二元二次方程表示圆的条件 【典例 7-1】(24-25 高二上·宁夏吴忠·期中)若方程 2 2 22 2 2 1 0x y ax ay a a       表示圆，则实数 a的取值 范围是( ) 第 20 页 共 36 页 A．  1,  B．  , 1  C．  , 1  D． 1,  【答案】C【难度】0.94 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】将方程化成    2 2 1x a y a a      ，再利用条件，即可求解. 【详解】因为方程 2 2 22 2 2 1 0x y ax ay a a       可变形为    2 2 1x a y a a      ， 由题知 1 0a   ，得到 1a   ，故选：C. 【典例 7-2】(2025·上海杨浦·模拟预测)设 aR .已知方程 2 2 4 0x y x a    表示的曲线是一个圆，则 a的取值 范围为 . 【答案】  , 4 【难度】0.94 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】因为  2 22 4 0x y a     ，变形得  2 22 4x y a    ， 所以 4 0a ＞ ，解得 4a＜ .故答案为：  , 4 . 【典例 7-3】(24-25 高一下·重庆·期末)若方程 2 2 2: 2 2 2 1 0C x y ax y a      表示圆，且圆心位于第四象限， 则实数 a的取值范围是( ) A． 2, 2   B．  2, C．  0, 2 D． 0, 2 【答案】C【难度】0.85【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】将方程化成    2 2 21 2x a y a     ，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程 2 2 2: 2 2 2 1 0C x y ax y a      可变形为    2 2 21 2x a y a     ， 由题知 22 0 0 a a      ，解得0 2a  ，实数 a的取值范围是  0, 2 .故选：C 【变式 7-1】(24-25 高一下·重庆·期末)下列方程一定表示圆的是( )． A． 2 2 0x y  B． 2 2 2 4 6 0x y x y     C．  2 2 22 0 ,y axx b a b    R D． 2 22 9 0x xy y    【答案】B【难度】0.94【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断. 【详解】对于 A，方程 2 2 0x y  表示点 (0,0)，A 不是； 对于 B，方程 2 2 2 4 6 0x y x y     化为 2 2( 1) ( 2) 11x y    ，此方程表示圆，B 是； 对于 C，当 0a b  时，方程 2 2 0x y  表示点 (0,0)，C 不是； 对于 D，方程 2 22 9 0x xy y    化为 3x y   表示两条平行直线，D 不是.故选：B 【变式 7-2】(23-24 高二上·江苏南通·期中)若方程 2 2 24 2 4 0x y mx y m m      表示一个圆，则实数 m的 取值范围是( ) 第 21 页 共 36 页 A． 1m   B． 1m  C． 1m   D． 1m 【答案】C【难度】0.85【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】若二元二次方程 2 2 0x y Dx Ey F     表示圆，则必须满足 2 2 4 0D E F   . 【详解】由 2 2 4 0D E F   ，得  2 2 2(4 ) ( 2) 4 4 0m m m     ， 即4 4 0m  ,解得 1.m > - 故选：C. 【变式 7-3】(23-24 高二下·上海·期中)方程 2 2 4 2 5 0x y mx y m     表示圆的充要条件是( ) A． 1 1 4 m  B． 1m  C． 1 4 m  D． 1 4 m  或 1m  【答案】D【难度】0.94【知识点】根据充要条件求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为 2 4 0D E F   ，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：  24 4 20 0m m   ，解得 1 4 m  或 1m  ， 所以方程 2 2 4 2 5 0x y mx y m     表示圆的充要条件是 1 4 m  或 1m  .故选：D. 【变式 7-4】(23-24 高二上·全国·课后作业)下列方程能表示圆的是( ) A． 2 2 2 1 0x y x    B． 2 2 20 121 0x y x    C． 2 2 2 0x y ax   D． 2 2 2 1 0x y ay    【答案】D【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】由一般二元二次方程表示成圆的充要条件逐一判断每个选项即可得解. 【详解】对于 A， 2 2 2 22 1 ( 1) 0x y x x y       ，方程表示的图形是一个点； 对于 B， 2 2 20 121 0x y x    ， 2 2 4 400 4 121 0D E F      ，方程不表示圆； 对于 C， 2 2 2 0x y ax   ， 2 2 24 4 0D E F a    ，当 0a  时，方程不表示圆； 对于 D， 2 2 2 1 0x y ay    ， 2 2 24 4 4 0D E F a     ，方程表示圆； 综上，以上方程能表示圆的是 D 选项中的方程．故选：D． 【变式 7-5】(23-24 高二上·福建厦门·期中)若 32, 1,0, ,1 4 a        ，则方程 2 2 22 2 1 0x y ax ay a a       表 示的圆的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【难度】0.85【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数 a的取值范围，即可判断. 【详解】若方程 2 2 22 2 1 0x y ax ay a a       表示圆， 则       22 2 22 4 2 1 3 4 4 0 3 2 2 0a a a a a a a a             ，解得 22 3a   ， 又 32, 1,0, ,1 4 a        ，所以 1a   或 0a  ， 即程 2 2 22 2 1 0x y ax ay a a       表示的圆的个数为 2 .故选：B 第 22 页 共 36 页 【变式 7-6】(23-24 高二上·贵州六盘水·期末)已知曲线 2 2: 1 0C x y mx    ，则“ >2m ”是“曲线C是圆”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、圆的一般方程与标准方程之间的互化、二 元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的定义列出不等式即可求解. 【详解】因为 2 2 1 0x y mx    ，所以 2 2 2( ) 1 2 4 m mx y     ， 若曲线C是圆，所以 2 1 0 4 m    ，所以 2m  或 2m   ， 所以“ >2m ”是“曲线C是圆”的充分不必要条件.故选：A. 【变式 7-7】(24-25 高一下·浙江宁波·期末)“关于 x y， 的方程： 2 2 4 8 0x y mx y     表示圆”是“ 4m  ”的 ( )条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件、圆的一般方程与标准方程之间的互化、二 元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】先得的 2 2 4 8 0x y mx y     表示圆时的m的取值范围，从而得到结论. 【详解】由题意有   2 2 22 2 4 8 0 2 4 2 4 m mx y mx y x y               ， 所以 2 4 0 4 4 m m    或 4m   ，由于 4m  为 4m  或 4m   的真子集， 故方程 2 2 4 8 0x y mx y     表示圆是 4m  的必要不充分条件，故选：A. 【变式 7-8】(多选)(23-24 高二上·广西河池·阶段练习)已知方程 2 2 2 4 0x y x y a     ，则下列说法正确的是 ( ) A．方程表示圆，且圆的半径为 1 时， 4a  B．当 5a  时，方程表示圆心为  1, 2 的圆 C．当 0a  时，方程表示圆且圆的半径为 5 D．当 5a  时，方程表示圆心为  1, 2 的圆 【答案】ACD【难度】0.85【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】若方程表示圆，把一般方程化为标准方程，根据方程成立的条件，验证各选项. 【详解】由题意，方程 2 2 2 4 0x y x y a     ，可化为 2 2( 1) ( 2) 5x y a     ， 若方程表示圆，则圆的圆心坐标为  1, 2 ，半径 5r a  ， A中，当 5 1a  时，可得 4a  ，所以A正确； B中，当 5a  时，此时半径为5 0a  ，所以B错误； C中，当 0a  时，表示的圆的半径为 5r  ，所以C正确； D中，当 5a  时，此时半径大于 0，表示圆心为  1, 2 的圆，所以D正确；故选：ACD． 第 23 页 共 36 页 题型 08 圆的方程的应用 【典例 8-1】(2025 高二·全国·专题练习)当方程 2 2 22 4 2 0x y kx y k     所表示的圆取得最大面积时，直线  1 1y k x   的倾斜角为( ) A． 3π 4 B． π 4 C． 2π 3 D． 5π 4 【答案】B【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】将圆的一般式化为标准式，根据面积最大得 0k  ，进而判断直线的斜率和倾斜角. 【详解】方程 2 2 22 4 2 0x y kx y k     可化为    2 2 22 4x k y k     (其中 24 0k  )， 当 0k  时，圆的半径最大，即圆的面积最大，此时直线 1y x  的斜率为 1，即倾斜角为 π 4 .故选：B 【典例 8-2】(23-24 高二上·辽宁抚顺·期中)已知圆 2 2 22 4 5 9 0x y ax ay a      上所有点都在第二象限，则 a的取值范围为( ) A． 33, 2      B． 33, 2       C．  , 3  D．  , 3  【答案】C【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、 点与圆的位置关系求参数 【分析】化简圆的表达式，得出圆心坐标和半径，利用所有点都在第二象限，即可得出 a的取值范围. 【详解】由题意，在圆 2 2 22 4 5 9 0x y ax ay a      中，    2 22 9x a y a    ， ∴圆心坐标为  , 2a a ，半径为 3． ∵圆上所有点都在第二象限， ∴ 0 2 0 3 0 2 3 0 a a a a          ，解得 3a   ．故选：C. 【典例 8-3】(24-25 高二下·上海嘉定·期中)已知  2 2 22 1 2 1 0a x a y x     表示圆，则实数 a的值为( ) A． 1 B．1 C． 12 D． 1 2  【答案】D【难度】0.65 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于 a的等式，求出 a的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知 0a  ，由  2 2 22 1 2 1 0a x a y x     可得   2 2 2 2 2 1 1 0 2 2 a y xx a a a      ， 第 24 页 共 36 页 所以 2 1 1 2 a a   ，即 22 1 0a a   ，解得 1a  或 1 2 a   ， 当 1a  时，方程为 2 2 1 0 2 x y x    ，可化为 2 21 1 2 4 x y        ，不合题意； 当 1 2 a   时，方程为 2 2 4 2 0x y x    ，可化为  2 22 2x y   ，符合题意， 所以 1 2 a   .故选：D . 【典例 8-4】(2025·浙江嘉兴·三模)“ 0m  ”是“圆 2 2: 4 6 0C x y x y m     不经过第三象限”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.65 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、点与圆的位置关系求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】若圆 2 2: 4 6 0C x y x y m     不经过第三象限，等价于原点  0,0O 不在圆C内，即可m的取值范 围，结合包含关系分析充分、必要条件. 【详解】圆 2 2: 4 6 0C x y x y m     整理可得    2 2: 2 3 13C x y m     ， 可知圆心为  2,3C ，半径 13r m  ，且 13m  ， 若圆 2 2: 4 6 0C x y x y m     不经过第三象限， 等价于原点  0,0O 不在圆C内，则 0m  ，可得0 13m  ， 且 | 0 13m m  是 | 0m m  的真子集， 所以“ 0m  ”是“圆 2 2: 4 6 0C x y x y m     不经过第三象限”的必要不充分条件.故选：B. 【典例 8-5】(25-26 高二上·全国·单元测试)我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用 面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便．对于勾股定理，我国历史上有多位数学家创造了不同的面 积证法，如三国时期的刘徽、清代的华蘅芳等．下图 1 为一种证明勾股定理时构造的图形(由一个直角三角 形和三个正方形构成)，若图中 1CB  ， 2CA  ， 90ACB  ，现以点 C为原点，CB  的方向为 x轴正方向， CA  的方向为 y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图 2 所示，以 AB的中点 D为圆心作圆 D，使得图中三 个正方形的所有顶点恰有 2 个顶点在圆 D外部，则圆 D的一个标准方程为 ．(写出一个即可) 【答案】   2 21 251 2 4 x y        (答案不唯一，满足   2 2 21 5 291 2 2 2 x y r r                均可) 【难度】0.65【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】计算点 D到三个正方形顶点的距离，再数形结合即可求出半径的范围. 第 25 页 共 36 页 【详解】由题图可得  1,0B ，  0,2A ，  2,2M  ，  2,0N  ，  0, 1Q  ，  1, 1P  ， 所以 1 ,1 2 D      ， 5AB  ．连接 DC，DE，DF，DM，DN，DQ，DP， 在Rt ABC△ 中， 5 2 AD DB DC   ，则 2 2 5 2 DE DF AD AE    ，   2 21 292 1 2 2 2 DM          ，   2 21 292 1 0 2 2 DN          ，   2 21 170 1 1 2 2 DQ          ，   2 21 171 1 1 2 2 DP          ， 则点 D到三个正方形顶点的距离分别为 5 2 ， 5 2 ， 5 2 ， 17 2 17 2 ， 5 2 ， 5 2 ， 29 2 ， 29 2 ， 因为恰有 2 个顶点在圆 D外部，所以圆 D的方程为   2 2 21 5 291 ( ) 2 2 2 x y r r          ． 故圆 D的一个标准方程可以为   2 21 251 2 4 x y        ． 故答案为：   2 21 251 2 4 x y        (答案不唯一，满足   2 2 21 5 291 2 2 2 x y r r                均可) 【变式 8-1】(24-25 高二上·广东广州·期末)某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度 24mAB  ，拱高 6mOP  ， 建造时每间隔 3m 需要用一根支柱支撑，则 1 1A P  m. 【答案】3【难度】0.65【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】建立平面直角坐标系，求出圆的方程，令 9x   ，求出 y的值即可. 【详解】如图：建立平面直角坐标系.设过点 , ,A P B的圆的方程为：  22 2x y b r   . 因为点  12,0B ，  0,6P 在圆上，所以   2 2 2 2 2 12 0 6 b r b r        ，解得 2 9 225 b r     . 所以圆的方程为：  22 9 225x y   . 令 9x   得：  281 9 225y     29 225 81 144y     . 第 26 页 共 36 页 又 0y  ，所以 9 12y    3y  .故答案为：3 【变式 8-2】(24-25 高二下·上海·期末)设实数 0a  ，圆 2 2: 4 0C x y x ay    的面积为8π，则 a  ． 【答案】 4【难度】0.94【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值. 【详解】圆 2 2: 4 0C x y x ay    的标准方程为   2 2 22 4 2 4 a ax y         ， 故 2 π 4 8π 4 a       ，故 4a  (负解舍去)，故答案为： 4 . 【变式 8-3】(24-25 高二下·上海·期末)已知 Rm ，圆 2 2 9 0x y x m    的面积为 π，则m  . 【答案】 77 4  【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】已知圆的方程为 2 2 9 0x y x m    ，可得 2 29 81 2 4 x y m        ， 此为标准形式，圆心为 9 ,0 2       ，半径平方为 2 81 4 r m  ， 由 2 πr  得： 81 1 4 m   ，解方程： 81 4 81 771 4 4 4 4 m       .故答案为： 77 4  . 【变式 8-4】(24-25 高二下·上海普陀·期中)设 Rk ，若圆 2 2 2 4 0x y x y k     的半径为 2，则 k的值 为 ； 【答案】1【难度】0.94【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据给定条件，求出圆的半径列式求解. 【详解】圆 2 2 2 4 0x y x y k     的半径 2 2 1 ( 2) 4 4 2 r k    ， 依题意 2 21 ( 2) 4 4 2 2 k    ，解得 1k  ，经验证，符合题意，所以 k的值为1. 【变式 8-5】(24-25 高二上·河北唐山·期中)已知圆 2 2: 2 4 11 0C x y x y     和点  3,0A ，直线 l过点A与圆 交于 ,P Q两点．若以 PQ为直径的圆的面积最大，则直线 l的方程为 ． 【答案】 3 0x y   【难度】0.85 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、直线的点斜式方程及辨析、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据已知直线 l过圆心 (1,2)C ，应用点斜式求直线方程即可. 【详解】由题意，以 PQ为直径的圆的面积最大，即直线 l过圆心 (1,2)C ，则 2 0 1 1 3l k     ， 所以直线 l为 ( 3)y x    3 0x y   .故答案为： 3 0x y   【变式 8-6】(25-26 高二上·全国·单元测试)杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥(如图)的跨度 100AB  米，拱高 10OP  米，在建造圆拱桥时每隔 5 米需用一根支柱支撑，则与 OP相距 30 米的支柱 MN的高度约是 米．(注： 10 3.162 ) 第 27 页 共 36 页 【答案】6.48【难度】0.65【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】以点 P为坐标原点建系，求出圆心和半径得出圆的方程，即可计算 MN . 【详解】以点 P为坐标原点，OP所在直线为 y轴，过点 P且平行于 AB的直线为 x轴，建立如图所示的平 面直角坐标系． 由题意可知，点 A的坐标为  50, 10  ， 设圆拱桥弧所在圆的半径为 r，由勾股定理可得  2 2 2r OP OA r   ， 又 10OP  ，所以  2 2 210 50r r   ，解得 130r  ， 所以圆心的坐标为  0, 130 ，则圆的方程为  22 2130 130x y   ． 将 30x   代入圆的方程得    2 22130 130 30 16000y      ， 又 10y   ，解得 40 10 130y   ， 所以    40 10 130 10 40 10 120 6.48MN        (米)．故答案为：6.48 【变式 8-7】(24-25 高二上·四川绵阳·期末)已知直线 l： 2 3 0x y   平分圆C： 2 2 3 0x y ay    的周长， 则实数a  . 【答案】3【难度】0.94【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据直线和圆的位置关系列方程，从而求得 a的值. 【详解】圆C： 2 2 3 0x y ay    的圆心为 0, 2 a      ， 由于直线 l平分圆C的周长，所以直线 l过圆心 0, 2 a      ， 即0 2 3 3 0, 3 2 a a a       .故答案为：3 【变式 8-8】(24-25 高二上·广东深圳·期末)若圆 C： 2 2 2 4 6 0x y x y     关于直线  2 2 0 0ax by ab    对 称，则 2 1 a b  的最小值是 ． 【答案】3 2 2 【难度】0.65【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、基本不等式求和的最小值、基 本不等式“1”的妙用求最值、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意直线 2 2 0ax by   过圆心 (1,2)C ，有 2 2 2a b  ，应用基本不等式“1”的代换求最小值. 第 28 页 共 36 页 【详解】由题意，直线  2 2 0 0ax by ab    过圆心 (1,2)C ，则 2 2 2 1a b a b     ，且 0ab  ， 所以 0, 0a b  ，所以 2 1 2 1 2 2( )( ) 3 3 2 3 2 2b a b aa b a b a b a b a b             ， 当且仅当 2 2, 2 1a b    时取等号，故 2 1 a b  的最小值为3 2 2 .故答案为：3 2 2 . 1.(24-25 高二上·内蒙古包头·期末)过三点  1,2A ，  3,2B ，  1, 6C  的圆的标准方程为( ) A．    2 22 2 17x y    B．    2 22 2 17x y    C．    2 22 2 25x y    D．( ) ( )2 22 2 25x y+ + - = 【答案】A【难度】0.85【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】利用待定系数法可求圆的一般式方程，再化为标准方程即可. 【详解】设圆的方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ， 因为圆三点  1,2A ，  3,2B ，  1, 6C  ， 可得 5 2 0 13 3 2 0 37 6 0 D E F D E F D E F               ，解方程可得 4 4 9 D E F        ， 即圆的方程为 2 2 4 4 9 0x y x y     ，即圆的标准方程为    2 22 2 17x y    .故选：A. 2.(24-25 高二下·甘肃白银·期末)圆心在直线 y x 上，且经过点 (3,1)P ， (1, 1)Q  的圆的方程为( ) A． 2 2 2 2 2 0x y x y     B． 2 2 4 4 2 0x y x y     C． 2 2 2 2 1 0x y x y     D． 2 2 4 4 1 0x y x y     【答案】A【难度】0.94【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】由圆心在 y x ，可设圆的一般方程为 2 2 0x y Dx Dy F     ，然后代点求解即可. 【详解】解析：设所求圆的方程为 2 2 0x y Dx Dy F     ， 因为该圆过点 (3,1)P ， (1, 1)Q  ，所以 9 1 3 0 1 1 0 D D F D D F            解得 2D F   ， 所以该圆的方程为 2 2 2 2 2 0x y x y     .故选：A. 3.(24-25 高二上·重庆渝中·期末)已知圆 C经过 (0,0), (2,0)O A 两点，且圆心 C在直线 : 0l x y  上，则圆 C的 标准方程为( ) A． 2 2( 1) ( 1) 2x y    B． 2 2( 1) ( 1) 2x y    C． 2 2( 1) ( 1) 2x y    D． 2 2( 1) ( 1) 2x y    【答案】B【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 第 29 页 共 36 页 【分析】根据题意，由         2 2 2 2 2 2 0 0 2 0 a b r a b r b a             求解. 【详解】解：设圆的标准方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r    ， 由题意得         2 2 2 2 2 2 0 0 2 0 a b r a b r b a             ，解得 21, 2a b r   ， 故圆的方程为 2 2( 1) ( 1) 2x y    ，故选：B 4.(25-26 高二上·全国·课后作业)圆    2 24 3 25x y    关于原点  0,0 对称的圆的方程为( ) A．    2 24 3 25x y    B．    2 24 3 25x y    C．    2 24 3 25x y    D．    2 24 3 25x y    【答案】B【难度】0.94【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、圆的对称性的应用 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心 和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】圆    2 24 3 25x y    的圆心为  4, 3 ，半径 = 5r ． 圆心  4, 3 关于原点  0,0 的对称点为  4,3 ，即所求圆的圆心为  4,3 ，半径为 5， 所以所求圆的方程为    2 24 3 25x y    ．故选：B. 5.(24-25 高二上·湖南永州·期末)圆C的圆心在 y轴上，且过 (3,1)A ， ( 3,5)B  两点，则圆C的方程为( ) A． 2 2( 1) 17x y   B． 2 2( 3) 17x y   C． 2 2( 1) 13x y   D． 2 2( 3) 13x y   【答案】D【难度】0.65【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为圆C的圆心在 y轴上，设圆的圆心为  0,b ，半径为 r， 则圆的方程为  22 2x y b r   ，因为点A、 B在圆上， 所以有     2 2 2 2 9 1 9 5 b r b r         ，整理得： 2 2 2 2 2 10 10 34 b b r b b r         ，解得： 2 3 13 b r    ， 所以圆C的方程为： 2 2( 3) 13x y   .故选：D 6.(24-25 高二上·宁夏吴忠·期中)已知 ( )1,0A ，  3,6B ，则以 AB为直径的圆的一般方程为( ) A． 2 2 4 6 3 0x y x y     B． 2 2 4 6 3 0x y x y     C． 2 2 4 6 3 0x y x y     D． 2 2 4 6 3 0x y x y     【答案】A【难度】0.85【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 第 30 页 共 36 页 【详解】因为 ( )1,0A ，  3,6B ，则 AB的中点为  2,3 ，且    2 23 1 6 0 2 10AB      ， 所以 AB为直径的圆的方程为    2 22 3 10x y    ，即 2 2 4 6 3 0x y x y     ，故选：A. 7.(24-25 高二上·湖北·期末)已知圆 2 2 22 4 5 9 0x y ax ay a      上的所有点都在第一象限，则实数 a的取值 范围是( ) A． (3, ) B． 3 ,3 2      C． 3 , 2    D． 3 ,3 2       【答案】A【难度】0.94【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将圆的一般方程化成标准方程，结合题意得到不等式组，解之即得. 【详解】由 2 2 22 4 5 9 0x y ax ay a      ，配方得 2 2( ) ( 2 ) 9x a y a    ， 则该圆圆心为 ( , 2 )a a ，半径为 3，由题意可得 3, 2 3, a a    解得 3a  ， 故实数 a的取值范围是 (3, ) .故选：A. 8.(24-25 高二上·河南濮阳·期中)曲线 2 2 4 4x y x y   的周长为( ) A． 4 2π B．8 2π C．12π D．16π 【答案】B【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】分类讨论写出圆的标准方程，画出图得出结论. 【详解】曲线                         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 0, 0 2 2 8 0, 0 4 4 2 2 8 0, 0 2 2 8 0, 0 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y                              ；曲线的图像如图所示： 该图是以 , , ,A B C D四个点为圆心，半径为 2 2的四个半圆， 所以该图的周长为：4 π 2 2 8 2π   .故选：B 9.(24-25 高二上·河南·期末)在平面直角坐标系中，∆ABC的顶点坐标分别为      1,1 , 2, 1 , 1,4A B C  ，则( ) A．∆ABC为直角三角形 B．∆ABC为等腰三角形 C．∆ABC的外接圆方程为 2 23 3 13 2 2 2 x y              D．∆ABC的重心位于直线 y x 上 【答案】ABC【难度】0.65 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、直线平行、垂直的判定在几何中的应用、求平面两点间的距离 【分析】首先通过斜率判定三角形边关系判断三角形类型；接着利用外接圆方程的一般形式，将三个顶点 专题2.5 圆的方程 教学目标 1、理解并掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件求出圆的标准方程； 2、能在标准方程与一般方程之间转化，能根据圆的方程求出圆心、半径； 教学重难点 1、重点：圆的标准方程； 2、难点：圆的一般方程、两种方程的转化. 知识点01 圆的标准方程 圆的标准方程：，其中圆心：，半径: 【即学即练1】(23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习)已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为(    ) A． B． C． D． 知识点02 圆的一般方程 一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 圆心C，半径r＝ 【即学即练2-1】(24-25高二上·云南曲靖·期中)若方程表示圆心为，半径为1的圆，则 . 【即学即练2-2】(24-25高二上·上海·期末)以为圆心，3为半径的圆的一般方程是 . 题型01 已知圆心与半径求圆的方程 【典例1-1】(24-25高二下·四川成都·期末)圆心为点，且过点的圆的标准方程是 ． 【典例1-2】(2025高三·全国·专题练习)已知为坐标原点，直线与直线互相垂直且交于点，则以为圆心，为半径的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 【典例1-3】(22-23高二上·湖南·期中)已知圆C的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆C的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式1-1】(23-24高二上·天津·期中)以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是(    ) A． B． C． D． 【变式1-2】(24-25高二下·上海·阶段练习)圆心是且过点的圆的方程为 . 【变式1-3】(24-25高二下·上海崇明·期末)以为圆心，为半径的圆的方程是 ． 【变式1-4】(23-24高一下·上海·期末)平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为 . 【变式1-5】(22-23高二下·湖南邵阳·期中)圆心在y轴，半径为1且过点的圆的标准方程为： 题型02 已知圆上三点求圆的方程 【典例2-1】(24-25高二下·浙江温州·开学考试)过，，三点的圆的方程是(    ) A． B． C． D． 【典例2-2】(24-25高二上·上海·期末)已知点、、，则外接圆的方程是(    ) A． B． C． D． 【典例2-3】(24-25高三上·北京东城·期末)在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点．已知圆经过三点，则该圆经过的整点共有(    ) A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 【变式2-1】(24-25高二上·海南·阶段练习)的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是(    ) A． B． C． D． 【变式2-2】(24-25高二下·四川广安·开学考试)过三点的圆的标准方程为 ． 【变式2-3】(24-25高二上·广东潮州·阶段练习)在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是 【变式2-4】(24-25高二上·四川·期中)已知圆过三点，则圆的面积为 ． 【变式2-5】(2025·河北秦皇岛·模拟预测)平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为(    ) A． B． C． D． 【变式2-6】(2024·江西九江·二模)欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为 . 题型03 已知直径求圆的方程 当已知直径两端点坐标时，常规方法是求出圆心、半径。除了这一方法，还可以直接套直径式方程： 若，以线段AB为直径的圆的方程是. 【典例3-1】(25-26高二上·全国·课后作业)圆关于直线对称，则 ． 【典例3-2】(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为，则以AP为直径的圆的方程为 ． 【典例3-3】(2025高三·全国·专题练习)曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 【典例3-4】(2025·北京海淀·一模)已知直线经过圆的圆心，则的最小值为(   ) A． B． C．0 D．1 【变式3-1】(24-25高二下·河南南阳·期末)已知点，，则以为直径的圆的方程为(   ) A． B． C． D． 【变式3-2】(24-25高二上·北京怀柔·期末)若直线是圆的一条对称轴，则值为(    ) A． B．2 C． D．4 【变式3-3】(24-25高二上·重庆长寿·期末)圆关于直线对称，则实数(   ) A． B．4 C．或4 D．2或 【变式3-4】(24-25高二下·上海浦东新·期中)已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 【变式3-5】(24-25高二下·天津·阶段练习)圆关于直线对称，则实数m的值 ． 【变式3-6】(23-24高二上·河北石家庄·期中)过点，半径最小的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 题型04 圆与对称性 【典例4-1】(2025高三·全国·专题练习)圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ． 【典例4-2】(24-25高二上·云南红河·期末)已知圆与圆关于直线对称，则的方程为(    ) A． B． C． D． 【典例4-3】(24-25高二下·甘肃兰州·期末)若圆关于直线对称，则直线一定过点(   ) A． B． C． D． 【变式4-1】(24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习)已知圆关于直线对称，则实数(    ) A．4 B．5 C．6 D．8 【变式4-2】(24-25高二上·陕西榆林·期末)若直线是圆的一条对称轴，则(    )． A． B．0 C． D．1 【变式4-3】(23-24高二上·广西玉林·期末)若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为(    ) A． B． C．或 D．或 【变式4-4】(23-24高二上·河南周口·期末)若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-5】(23-24高二上·陕西西安·阶段练习)若直线是圆的一条对称轴，则(    ) A．0 B．1 C．2 D．4 【变式4-6】(21-22高二上·全国·课后作业)已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是(    ) A． B． C． D． 【变式4-7】(2025高三·全国·专题练习)曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 【变式4-8】(24-25高二上·四川南充·期中)已知圆的圆心在直线上，且圆过点、，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为 ． 【变式4-9】(23-24高二上·宁夏银川·期末)若圆(，)被直线平分，则的最大值为 . 题型05 由其它条件求圆的方程 【典例5-1】(2025高三·全国·专题练习)圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 ． 【典例5-2】(2025高二·全国·专题练习)过点，且半径最小的圆的方程为 ． 【典例5-3】(25-26高二上·全国·课后作业)已知圆经过，两点，圆心在轴上，则圆的标准方程是 ． 【变式5-1】(23-24高二上·四川乐山·期末)已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是(    ) A． B． C． D． 【变式5-2】(2024·辽宁大连·一模)过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式5-3】(23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式5-4】(2025·河南·模拟预测)已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 题型06 已知圆的方程求圆心、半径 【典例6-1】(2025·山西晋中·三模)已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为(   ) A． B． C． D． 【典例6-2】(24-25高二上·浙江杭州·期末)已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为(    ) A．，1 B．，1 C．， D．， 【典例6-3】(24-25高二下·安徽宿州·期中)已知圆与圆，则两圆圆心所在直线的方程为(   ) A．或 B． C． D． 【典例6-4】(24-25高二上·安徽·期末)已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为(    ) A．1 B． C． D． 【变式6-1】(24-25高二上·广东湛江·期末)圆的圆心到直线的距离为(   ) A．2 B． C．1 D． 【变式6-2】(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)圆的圆心到直线的距离为(    ) A．2 B． C． D． 【变式6-3】(19-20高二下·北京延庆·期中)圆的圆心到直线的距离为(    ) A．2 B． C．1 D． 【变式6-4】(24-25高二上·江西·阶段练习)已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【变式6-5】(24-25高二上·广东佛山·期中)若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则(   ) A． B．1 C． D． 【变式6-6】(24-25高二上·江苏徐州·阶段练习)已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式6-7】(多选)(24-25高二上·云南玉溪·期末)已知圆的一般方程为，则(   ) A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 【变式6-8】(24-25高二下·云南红河·期末)已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 【变式6-9】(24-25高二下·上海杨浦·期末)已知圆的方程是，则这个圆的半径是 . 题型07 二元二次方程表示圆的条件 【典例7-1】(24-25高二上·宁夏吴忠·期中)若方程表示圆，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【典例7-2】(2025·上海杨浦·模拟预测)设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【典例7-3】(24-25高一下·重庆·期末)若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式7-1】(24-25高一下·重庆·期末)下列方程一定表示圆的是(    )． A． B． C． D． 【变式7-2】(23-24高二上·江苏南通·期中)若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式7-3】(23-24高二下·上海·期中)方程表示圆的充要条件是(    ) A． B． C． D．或 【变式7-4】(23-24高二上·全国·课后作业)下列方程能表示圆的是(    ) A． B． C． D． 【变式7-5】(23-24高二上·福建厦门·期中)若，则方程表示的圆的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-6】(23-24高二上·贵州六盘水·期末)已知曲线，则“”是“曲线是圆”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-7】(24-25高一下·浙江宁波·期末)“关于的方程：表示圆”是“”的(       )条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【变式7-8】(多选)(23-24高二上·广西河池·阶段练习)已知方程，则下列说法正确的是(    ) A．方程表示圆，且圆的半径为1时， B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示圆且圆的半径为 D．当时，方程表示圆心为的圆 题型08 圆的方程的应用 【典例8-1】(2025高二·全国·专题练习)当方程所表示的圆取得最大面积时，直线的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 【典例8-2】(23-24高二上·辽宁抚顺·期中)已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【典例8-3】(24-25高二下·上海嘉定·期中)已知表示圆，则实数的值为(    ) A． B． C． D． 【典例8-4】(2025·浙江嘉兴·三模)“”是“圆不经过第三象限”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例8-5】(25-26高二上·全国·单元测试)我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便．对于勾股定理，我国历史上有多位数学家创造了不同的面积证法，如三国时期的刘徽、清代的华蘅芳等．下图1为一种证明勾股定理时构造的图形(由一个直角三角形和三个正方形构成)，若图中，，，现以点C为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图2所示，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为 ．(写出一个即可)    【变式8-1】(24-25高二上·广东广州·期末)某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度，拱高，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则 m.    【变式8-2】(24-25高二下·上海·期末)设实数，圆的面积为，则 ． 【变式8-3】(24-25高二下·上海·期末)已知，圆的面积为，则 . 【变式8-4】(24-25高二下·上海普陀·期中)设，若圆的半径为2，则的值为 ； 【变式8-5】(24-25高二上·河北唐山·期中)已知圆和点，直线过点与圆交于两点．若以为直径的圆的面积最大，则直线的方程为 ． 【变式8-6】(25-26高二上·全国·单元测试)杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥(如图)的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约是 米．(注：) 【变式8-7】(24-25高二上·四川绵阳·期末)已知直线：平分圆：的周长，则实数 . 【变式8-8】(24-25高二上·广东深圳·期末)若圆C：关于直线对称，则的最小值是 ． 一、单选题 1.(24-25高二上·内蒙古包头·期末)过三点，，的圆的标准方程为(   ) A． B． C． D． 2.(24-25高二下·甘肃白银·期末)圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为(   ) A． B． C． D． 3.(24-25高二上·重庆渝中·期末)已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为(   ) A． B． C． D． 4.(25-26高二上·全国·课后作业)圆关于原点对称的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 5.(24-25高二上·湖南永州·期末)圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为(    ) A． B． C． D． 6.(24-25高二上·宁夏吴忠·期中)已知，，则以为直径的圆的一般方程为(    ) A． B． C． D． 7.(24-25高二上·湖北·期末)已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 8.(24-25高二上·河南濮阳·期中)曲线的周长为(   ) A． B． C． D． 二、多选题 9.(24-25高二上·河南·期末)在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则(   ) A．为直角三角形 B．为等腰三角形 C．的外接圆方程为 D．的重心位于直线上 10.(23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末)过四点中的三点的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 11.(25-26高二上·全国·课后作业)已知表示圆，则下列结论正确的是(    ) A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 三、填空题 12.(24-25高二下·云南昆明·阶段练习)已知圆的一条直径的端点分别是，则此圆的标准方程是 ． 13.(24-25高三下·海南·阶段练习)圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 14.(24-25高二下·河南商丘·期末)已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是 . 四、解答题 15．(25-26高二上·全国·课堂例题)根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点；(2)过点和点，半径为； (3)过三点. 16．(2025高三·全国·专题练习)已知三角形三边所在的直线方程为，，．求这个三角形的外接圆方程． 17．92．(24-25高三上·陕西榆林·阶段练习)在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标；(2)求的外接圆的标准方程. 18．(24-25高二上·广东·期末)已知点 (1)求线段的垂直平分线的方程；(2)已知圆过点，求圆的方程. 19．(24-25高二下·安徽阜阳·开学考试)已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程；(2)设点，圆与轴正半轴交于点，过点的直线与圆交于，两点，证明：直线，的斜率之和为定值. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 14 页 专题 2.5 圆的方程 教学目标 1、理解并掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件求出圆的标准方程； 2、能在标准方程与一般方程之间转化，能根据圆的方程求出圆心、半径； 教学重难点 1、重点：圆的标准方程； 2、难点：圆的一般方程、两种方程的转化. 圆的标准方程：(� − �)2 + (� − �)2 = �2，其中圆心：C(�, b)，半径:r 【即学即练 1】(23-24 高二上·安徽马鞍山·阶段练习)已知圆的圆心在 ( 3, 4) ，半径为 5，则它的方程为( ) A．    2 23 4 5x y    B．    2 23 4 25x y    C． 2 2( 3) ( 4) 25x y    D．    2 23 4 5x y    一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 圆心 C( − � 2 , − � 2 )，半径 r＝1 2 D2＋E2－4F 【即学即练 2-1】(24-25 高二上·云南曲靖·期中)若方程 2 2 0x y Dx Ey F     表示圆心为 (1, 2)，半径为 1 的圆，则D E F   . 【即学即练 2-2】(24-25 高二上·上海·期末)以  3,4C 为圆心，3 为半径的圆的一般方程是 . 题型 01 已知圆心与半径求圆的方程 【典例 1-1】(24-25 高二下·四川成都·期末)圆心为点 ( 5,3)M  ，且过点 ( 8, 1)A   的圆的标准方程是 ． 第 2 页 共 14 页 【典例 1-2】(2025 高三·全国·专题练习)已知O为坐标原点，直线 1 :l y kx 与直线 2 : 2 4l y x  互相垂直且交 于点A，则以O为圆心，OA为半径的圆的方程为( ) A． 2 2 80 3 x y  B． 2 2 4 5 3 x y  C． 2 2 4 5 9 x y  D． 2 2 16 5 x y  【典例 1-3】(22-23 高二上·湖南·期中)已知圆 C的圆心坐标为 (1,1)，且过坐标原点，则圆 C的方程为( ) A． 2 2( 1) ( 1) 2x y    B． 2 2( 1) ( 1) 2x y    C． 2 2( 1) ( 1) 2x y    D． 2 2 2x y  【变式 1-1】(23-24 高二上·天津·期中)以点  1, 5C   为圆心，并与 x轴相切的圆的方程是( ) A． 2 2( 1) ( 5) 9x y    B． 2 2( 1) ( 5) 16x y    C． 2 2( 1) ( 5) 9x y    D． 2 2( 1) ( 5) 25x y    【变式 1-2】(24-25 高二下·上海·阶段练习)圆心是  3,0 ,且过点  2, 2 的圆的方程为 . 【变式 1-3】(24-25 高二下·上海崇明·期末)以 (1, 2) 为圆心， 3为半径的圆的方程是 ． 【变式 1-4】(23-24 高一下·上海·期末)平面直角坐标系中，以  2,1 为圆心，且经过原点的圆的方程 为 . 【变式 1-5】(22-23 高二下·湖南邵阳·期中)圆心在 y轴，半径为 1 且过点 (1, 2)的圆的标准方程为： 题型 02 已知圆上三点求圆的方程 【典例 2-1】(24-25 高二下·浙江温州·开学考试)过  2,0A ，  0,4B ，  2,4C 三点的圆的方程是( ) A． 2 2( 1) ( 2) 5x y    B． 2 2( 1) ( 2) 5x y    C． 2 2( 1) ( 2) 10x y    D． 2 2( 1) ( 2) 10x y    【典例 2-2】(24-25 高二上·上海·期末)已知点  4, 2A   、  4,2B  、  2,2C  ，则∆ABC外接圆的方程是( ) A．  22 3 20x y   B．  2 23 5x y   C．  22 3 5x y   D．  2 23 20x y   【典例 2-3】(24-25 高三上·北京东城·期末)在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点．已知 圆经过      2, 2 , 2, 6 , 4, 2    三点，则该圆经过的整点共有( ) 第 3 页 共 14 页 A．6 个 B．8 个 C．10 个 D．12 个 【变式 2-1】(24-25 高二上·海南·阶段练习)∆ABC的三个顶点的坐标分别为 ( )1,0A ，  3,0B ，  3,4C ，则∆ABC 的外接圆方程是( ) A．    2 22 2 20x y    B．    2 22 2 20x y    C．    2 22 2 5x y    D．    2 22 2 5x y    【变式 2-2】(24-25 高二下·四川广安·开学考试)过      0,0 , 0,8 , 6,0A B C 三点的圆的标准方程为 ． 【变式 2-3】(24-25 高二上·广东潮州·阶段练习)在平面直角坐标系 xOy中，直线 1 2 4 x y   与 x轴， y轴相交 于A， B两点，则经过O，A， B三点的圆的标准方程是 . 【变式 2-4】(24-25 高二上·四川·期中)已知圆 P过      1,1 , 7, 3 , 5, 7   三点，则圆 P的面积为 ． 【变式 2-5】(2025·河北秦皇岛·模拟预测)平面几何中有一个著名的定理：∆ABC的三条高线的垂足、三边中 点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为∆ABC的九点圆或欧拉圆，若  2,1A  、  4,1B ，∆ABC 的垂心为  3,3G ，则∆ABC的九点圆的标准方程为( ) A．   2 2 17 1452 8 64 x y        B．   2 2 17 1452 8 64 x y        C．   2 2 17 1452 8 64 x y        D．   2 2 17 1452 8 64 x y        【变式 2-6】(2024·江西九江·二模)欧拉于 1765 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形 的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知  0,2A ，  4,2B ，  , 1C a  ，且∆ABC为圆 2 2 0x y Ex Fy    内接三角形，则 ABCV 的欧拉线方程为 . 题型 03 已知直径求圆的方程 当已知直径两端点坐标时，常规方法是求出圆心、半径。除了这一方法，还可以直接套直径式方程： 若 A(x1, y1), B(x2, y2)，以线段 AB为直径的圆的方程是(x − x1)(x − x2) + (y − y1)(y − y2) = 0. 【典例 3-1】(25-26 高二上·全国·课后作业)圆    2 21 2 4x y    关于直线 1 0ax y   对称，则 a  ． 【典例 3-2】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知直线 1 : 2 8 0l x y   ，直线 2 : 2 0l x y   ，设直线 1l 与 2l 的 交点为A，点 P的坐标为 (2,0)，则以 AP为直径的圆的方程为 ． 第 4 页 共 14 页 【典例 3-3】(2025 高三·全国·专题练习)曲线C与曲线 2 2 3 5 1x y x y    关于直线 3y x  对称，则曲线C的 方程为 ． 【典例 3-4】(2025·北京海淀·一模)已知直线 y ax b  经过圆 2 2 2 0x y x   的圆心，则 2a b 的最小值为( ) A． 1 B． 1 4  C．0 D．1 【变式 3-1】(24-25 高二下·河南南阳·期末)已知点  2,6A  ，  6,0B ，则以 AB为直径的圆的方程为( ) A．    2 22 3 25x y    B．    2 22 3 25x y    C．    2 22 3 1000x y    D．    2 22 3 100x y    【变式 3-2】(24-25 高二上·北京怀柔·期末)若直线 0x y a   是圆 2 2 2 6 1 0x y x y     的一条对称轴，则 a值为( ) A． 2 B．2 C． 4 D．4 【变式 3-3】(24-25 高二上·重庆长寿·期末)圆 2 2 2 4 6 0x y mx my     关于直线 8 0mx y   对称，则实数 m  ( ) A． 2 B．4 C． 2 或 4 D．2 或 4 【变式 3-4】(24-25 高二下·上海浦东新·期中)已知圆C与圆 2 2: 4 2 3 0D x y x y     关于 x轴对称．则圆C的 标准方程为 ． 【变式 3-5】(24-25 高二下·天津·阶段练习)圆 2 2 2 4 6 0x y mx my     关于直线 3 0mx y   对称，则实数 m的值 ． 【变式 3-6】(23-24 高二上·河北石家庄·期中)过点    1,1 , 3, 3A B  ，半径最小的圆的方程为( ) A． 2 2( 1) ( 1) 8x y    B． 2 2( 1) ( 1) 8x y    C． 2 2( 1) ( 1) 32x y    D． 2 2( 1) ( 1) 32x y    题型 04 圆与对称性 【典例 4-1】(2025 高三·全国·专题练习)圆C与圆 2 2( 1) 1x y   关于直线 2y x  对称，则圆C的方程 为 ． 【典例 4-2】(24-25 高二上·云南红河·期末)已知圆 2 2: 2 4 4 0M x x y y     与圆 2 2: 6 8 24 0N x x y y     第 5 页 共 14 页 关于直线 l对称，则 l的方程为( ) A． 2 5 0x y   B． 2 5 0x y   C． 2 5 0x y   D． 2 5 0x y   【典例 4-3】(24-25 高二下·甘肃兰州·期末)若圆 2 2: 2 3 0C x y y    关于直线 l对称，则直线 l一定过点( ) A．  0,1 B．  1,0 C．  1,2 D．  1,2 【变式 4-1】(24-25 高二下·安徽铜陵·阶段练习)已知圆 2 2: 2 8 8 0C x y x y     关于直线 2 0mx y   对称， 则实数m  ( ) A．4 B．5 C．6 D．8 【变式 4-2】(24-25 高二上·陕西榆林·期末)若直线 2 1 0x y   是圆  2 2 1x a y   的一条对称轴，则 a  ( )． A． 1 2  B．0 C． 12 D．1 【变式 4-3】(23-24 高二上·广西玉林·期末)若直线 l在 x轴､ y轴上的截距相等，且直线 l将圆 2 2 2 4 0x y x y    的周长平分，则直线 l的方程为( ) A． 1 0x y   B． 1 0x y   C． 1 0x y   或 2 0x y  D． 1 0x y   或 2 0x y  【变式 4-4】(23-24 高二上·河南周口·期末)若曲线    2 21 2 4x y    上相异两点 P、Q关于直线 2 0kx y   对称，则 k的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式 4-5】(23-24 高二上·陕西西安·阶段练习)若直线 1 0x y   是圆 2 2( ) ( 1) 1x m y    的一条对称轴， 则m  ( ) A．0 B．1 C．2 D．4 【变式 4-6】(21-22 高二上·全国·课后作业)已知圆C与圆 2 2 2 0x y y   关于直线 2 0x y   对称，则圆C的 方程是( ) A．  2 21 1x y   B．    2 23 2 1x y    C．    2 23 2 1x y    D．    2 22 3 1x y    【变式 4-7】(2025 高三·全国·专题练习)曲线C与曲线 2 2 3 5 1x y x y    关于直线 y x  对称，则曲线C的 方程为 ． 第 6 页 共 14 页 【变式 4-8】(24-25 高二上·四川南充·期中)已知圆C的圆心在直线 5y x   上，且圆C过点  2,6 、  5,3 ， 若圆C与圆C关于直线 2 2 0x y   对称，则圆C的标准方程为 ． 【变式 4-9】(23-24 高二上·宁夏银川·期末)若圆 2 2 2 2 0x y ax by    ( 0a  ， 0b  )被直线 1x y  平分，则 ab的最大值为 . 题型 05 由其它条件求圆的方程 【典例 5-1】(2025 高三·全国·专题练习)圆心在直线 2 3x y  上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程 是 ． 【典例 5-2】(2025 高二·全国·专题练习)过点 ( 4,0)A  ， (6, 1)B  且半径最小的圆的方程为 ． 【典例 5-3】(25-26 高二上·全国·课后作业)已知圆C经过  5,2A ，  1,2B  两点，圆心在 x轴上，则圆C的 标准方程是 ． 【变式 5-1】(23-24 高二上·四川乐山·期末)已知圆C的圆心在 x轴上且经过    1,1 , 2, 2A B  两点，则圆C的 标准方程是( ) A． 2 2( 3) 5x y   B． 2 2( 3) 17x y   C． 2 2( 3) 17x y   D． 2 2( 1) 5x y   【变式 5-2】(2024·辽宁大连·一模)过点  1,1 和  1,3 ，且圆心在 x轴上的圆的方程为( ) A． 2 2 4x y  B．  2 22 8x y   C．  2 21 5x y   D．  2 22 10x y   【变式 5-3】(23-24 高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知圆 C经过点  1,1 和点  1,3B ，且圆心在 y轴上， 则圆 C的方程为( ) A．  2 22 2x y   B．  2 22 10x y   C．  22 2 2x y   D．  22 2 10x y   【变式 5-4】(2025·河南·模拟预测)已知圆C的圆心在直线 3 8 0x y   上，且圆C经过点  6,0 ， 0, 2 ，则 圆C的方程是 . 题型 06 已知圆的方程求圆心、半径 【典例 6-1】(2025·山西晋中·三模)已知圆 C的一般方程为 2 2 6 4 12 0x y x y     ，则圆 C的圆心坐标为( ) A．  3,2 B．  3,2 C．  3, 2 D．  3, 2  【典例 6-2】(24-25 高二上·浙江杭州·期末)已知 2 2 1: 2 2 0 2 C x y x y     ，则该圆的圆心坐标和半径分 第 7 页 共 14 页 别为( ) A． 1 2( , ) 2 2  ，1 B． 2( 1, ) 2  ，1 C． 1 2( , ) 2 2  ， 2 2 D． 2( 1, ) 2  ， 2 2 【典例 6-3】(24-25 高二下·安徽宿州·期中)已知圆 2 2 4x y  与圆 2 2 4 4 4 0x y x y     ，则两圆圆心所在直 线的方程为( ) A． y x  或 2y x  B． 2y x   C． y x  D． 2y x  【典例 6-4】(24-25 高二上·安徽·期末)已知圆 2 2: 2 2 4 0C x y x y     ，则圆C的圆心到坐标原点的距离为 ( ) A．1 B． 2 C． 6 D． 2 2 【变式 6-1】(24-25 高二上·广东湛江·期末)圆 2 2 2 4 3 0x y x y     的圆心到直线 1 0x y   的距离为( ) A．2 B． 2 2 C．1 D． 2 【变式 6-2】(24-25 高二上·甘肃庆阳·期末)圆 2 2 2 8 13 0    x y x y 的圆心到直线 1 0x y   的距离为( ) A．2 B． 2 2 C． 9 2 2 D．11 2 2 【变式 6-3】(19-20 高二下·北京延庆·期中)圆 2 2 2 4 3 0x y x y     的圆心到直线 0x y  的距离为( ) A．2 B． 2 2 C．1 D． 2 【变式 6-4】(24-25 高二上·江西·阶段练习)已知圆 2 2 24 2 3 1 0x y x ay a a       的圆心在第二象限，则实 数 a的取值范围为( ) A． 31, 2      B．  1,0 C． 30, 2       D． 3 ,1 2      【变式 6-5】(24-25 高二上·广东佛山·期中)若圆 2 2 4 2 1 0x y ax y     的圆心到两坐标轴的距离相等，则 a  ( ) A． 1 B．1 C． 1 2  D． 12 【变式 6-6】(24-25 高二上·江苏徐州·阶段练习)已知圆 2 2 22 4 5 9 0x y ax ay a      上的所有点都在第二象 限，则实数 a的取值范围是( ) 第 8 页 共 14 页 A．  , 3  B． 33, 2      C．  3, D． 33, 2      【变式 6-7】(多选)(24-25 高二上·云南玉溪·期末)已知圆的一般方程为 2 2 3 2 3 0x y x y     ，则( ) A．该圆圆心坐标为 3 , 1 2      B．该圆圆心坐标为 3 ,1 2      C．该圆半径为 5 D．该圆半径为 5 2 【变式 6-8】(24-25 高二下·云南红河·期末)已知圆 2 2: 2 0C x y Dx Ey     的圆心坐标为 ( 1,1) ，则C的半 径为 . 【变式 6-9】(24-25 高二下·上海杨浦·期末)已知圆C的方程是 2 2 2 4 4 0x y x y     ，则这个圆的半径 是 . 题型 07 二元二次方程表示圆的条件 【典例 7-1】(24-25 高二上·宁夏吴忠·期中)若方程 2 2 22 2 2 1 0x y ax ay a a       表示圆，则实数 a的取值 范围是( ) A．  1,  B．  , 1  C．  , 1  D． 1,  【典例 7-2】(2025·上海杨浦·模拟预测)设 aR .已知方程 2 2 4 0x y x a    表示的曲线是一个圆，则 a的取值 范围为 . 【典例 7-3】(24-25 高一下·重庆·期末)若方程 2 2 2: 2 2 2 1 0C x y ax y a      表示圆，且圆心位于第四象限， 则实数 a的取值范围是( ) A． 2, 2   B．  2, C．  0, 2 D． 0, 2 【变式 7-1】(24-25 高一下·重庆·期末)下列方程一定表示圆的是( )． A． 2 2 0x y  B． 2 2 2 4 6 0x y x y     C．  2 2 22 0 ,y axx b a b    R D． 2 22 9 0x xy y    【变式 7-2】(23-24 高二上·江苏南通·期中)若方程 2 2 24 2 4 0x y mx y m m      表示一个圆，则实数 m的 取值范围是( ) A． 1m   B． 1m  C． 1m   D． 1m 第 9 页 共 14 页 【变式 7-3】(23-24 高二下·上海·期中)方程 2 2 4 2 5 0x y mx y m     表示圆的充要条件是( ) A． 1 1 4 m  B． 1m  C． 1 4 m  D． 1 4 m  或 1m  【变式 7-4】(23-24 高二上·全国·课后作业)下列方程能表示圆的是( ) A． 2 2 2 1 0x y x    B． 2 2 20 121 0x y x    C． 2 2 2 0x y ax   D． 2 2 2 1 0x y ay    【变式 7-5】(23-24 高二上·福建厦门·期中)若 32, 1,0, ,1 4 a        ，则方程 2 2 22 2 1 0x y ax ay a a       表 示的圆的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式 7-6】(23-24 高二上·贵州六盘水·期末)已知曲线 2 2: 1 0C x y mx    ，则“ >2m ”是“曲线C是圆”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式 7-7】(24-25 高一下·浙江宁波·期末)“关于 x y， 的方程： 2 2 4 8 0x y mx y     表示圆”是“ 4m  ”的 ( )条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【变式 7-8】(多选)(23-24 高二上·广西河池·阶段练习)已知方程 2 2 2 4 0x y x y a     ，则下列说法正确的是 ( ) A．方程表示圆，且圆的半径为 1 时， 4a  B．当 5a  时，方程表示圆心为  1, 2 的圆 C．当 0a  时，方程表示圆且圆的半径为 5 D．当 5a  时，方程表示圆心为  1, 2 的圆 题型 08 圆的方程的应用 【典例 8-1】(2025 高二·全国·专题练习)当方程 2 2 22 4 2 0x y kx y k     所表示的圆取得最大面积时，直线  1 1y k x   的倾斜角为( ) A． 3π 4 B． π 4 C． 2π 3 D． 5π 4 【典例 8-2】(23-24 高二上·辽宁抚顺·期中)已知圆 2 2 22 4 5 9 0x y ax ay a      上所有点都在第二象限，则 a的取值范围为( ) A． 33, 2      B． 33, 2       C．  , 3  D．  , 3  【典例 8-3】(24-25 高二下·上海嘉定·期中)已知  2 2 22 1 2 1 0a x a y x     表示圆，则实数 a的值为( ) 第 10 页 共 14 页 A． 1 B．1 C． 12 D． 1 2  【典例 8-4】(2025·浙江嘉兴·三模)“ 0m  ”是“圆 2 2: 4 6 0C x y x y m     不经过第三象限”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例 8-5】(25-26 高二上·全国·单元测试)我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用 面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便．对于勾股定理，我国历史上有多位数学家创造了不同的面 积证法，如三国时期的刘徽、清代的华蘅芳等．下图 1 为一种证明勾股定理时构造的图形(由一个直角三角 形和三个正方形构成)，若图中 1CB  ， 2CA  ， 90ACB  ，现以点 C为原点，CB  的方向为 x轴正方向， CA  的方向为 y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图 2 所示，以 AB的中点 D为圆心作圆 D，使得图中三 个正方形的所有顶点恰有 2 个顶点在圆 D外部，则圆 D的一个标准方程为 ．(写出一个即可) 【变式 8-1】(24-25 高二上·广东广州·期末)某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度 24mAB  ，拱高 6mOP  ， 建造时每间隔 3m 需要用一根支柱支撑，则 1 1A P  m. 【变式 8-2】(24-25 高二下·上海·期末)设实数 0a  ，圆 2 2: 4 0C x y x ay    的面积为8π，则 a  ． 【变式 8-3】(24-25 高二下·上海·期末)已知 Rm ，圆 2 2 9 0x y x m    的面积为 π，则m  . 【变式 8-4】(24-25 高二下·上海普陀·期中)设 Rk ，若圆 2 2 2 4 0x y x y k     的半径为 2，则 k的值 为 ； 【变式 8-5】(24-25 高二上·河北唐山·期中)已知圆 2 2: 2 4 11 0C x y x y     和点  3,0A ，直线 l过点A与圆 交于 ,P Q两点．若以 PQ为直径的圆的面积最大，则直线 l的方程为 ． 【变式 8-6】(25-26 高二上·全国·单元测试)杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥(如图)的跨度 第 11 页 共 14 页 100AB  米，拱高 10OP  米，在建造圆拱桥时每隔 5 米需用一根支柱支撑，则与 OP相距 30 米的支柱 MN的高度约是 米．(注： 10 3.162 ) 【变式 8-7】(24-25 高二上·四川绵阳·期末)已知直线 l： 2 3 0x y   平分圆C： 2 2 3 0x y ay    的周长， 则实数a  . 【变式 8-8】(24-25 高二上·广东深圳·期末)若圆 C： 2 2 2 4 6 0x y x y     关于直线  2 2 0 0ax by ab    对 称，则 2 1 a b  的最小值是 ． 1.(24-25 高二上·内蒙古包头·期末)过三点  1,2A ，  3,2B ，  1, 6C  的圆的标准方程为( ) A．    2 22 2 17x y    B．    2 22 2 17x y    C．    2 22 2 25x y    D．( ) ( )2 22 2 25x y+ + - = 2.(24-25 高二下·甘肃白银·期末)圆心在直线 y x 上，且经过点 (3,1)P ， (1, 1)Q  的圆的方程为( ) A． 2 2 2 2 2 0x y x y     B． 2 2 4 4 2 0x y x y     C． 2 2 2 2 1 0x y x y     D． 2 2 4 4 1 0x y x y     3.(24-25 高二上·重庆渝中·期末)已知圆 C经过 (0,0), (2,0)O A 两点，且圆心 C在直线 : 0l x y  上，则圆 C的 标准方程为( ) A． 2 2( 1) ( 1) 2x y    B． 2 2( 1) ( 1) 2x y    C． 2 2( 1) ( 1) 2x y    D． 2 2( 1) ( 1) 2x y    4.(25-26 高二上·全国·课后作业)圆    2 24 3 25x y    关于原点  0,0 对称的圆的方程为( ) A．    2 24 3 25x y    B．    2 24 3 25x y    C．    2 24 3 25x y    D．    2 24 3 25x y    第 12 页 共 14 页 5.(24-25 高二上·湖南永州·期末)圆C的圆心在 y轴上，且过 (3,1)A ， ( 3,5)B  两点，则圆C的方程为( ) A． 2 2( 1) 17x y   B． 2 2( 3) 17x y   C． 2 2( 1) 13x y   D． 2 2( 3) 13x y   6.(24-25 高二上·宁夏吴忠·期中)已知 ( )1,0A ，  3,6B ，则以 AB为直径的圆的一般方程为( ) A． 2 2 4 6 3 0x y x y     B． 2 2 4 6 3 0x y x y     C． 2 2 4 6 3 0x y x y     D． 2 2 4 6 3 0x y x y     7.(24-25 高二上·湖北·期末)已知圆 2 2 22 4 5 9 0x y ax ay a      上的所有点都在第一象限，则实数 a的取值 范围是( ) A． (3, ) B． 3 ,3 2      C． 3 , 2    D． 3 ,3 2       8.(24-25 高二上·河南濮阳·期中)曲线 2 2 4 4x y x y   的周长为( ) A． 4 2π B．8 2π C．12π D．16π 9.(24-25 高二上·河南·期末)在平面直角坐标系中，∆ABC的顶点坐标分别为      1,1 , 2, 1 , 1,4A B C  ，则( ) A．∆ABC为直角三角形 B．∆ABC为等腰三角形 C．∆ABC的外接圆方程为 2 23 3 13 2 2 2 x y              D．∆ABC的重心位于直线 y x 上 10.(23-24 高二上·新疆巴音郭楞·期末)过四点 (0,0), (4,0), ( 1,1), (4,2) 中的三点的圆的方程为( ) A． 2 2( 2) ( 3) 13x y    B． 2 2( 2) ( 1) 5x y    C． 2 28 169( 1) 5 25 x y        D． 2 24 7 169 3 3 25 x y              11.(25-26 高二上·全国·课后作业)已知 2 2 4 6 0x y x y k     表示圆，则下列结论正确的是( ) A．圆心坐标为  2,3 B．当 0k  时，半径 13r  C．圆心到直线 1 0x y   的距离为 2 D．当 4k  时，圆面积为16π 12.(24-25 高二下·云南昆明·阶段练习)已知圆的一条直径的端点分别是    1, 4 , 1, 2A B  ，则此圆的标准方程 是 ． 13.(24-25 高三下·海南·阶段练习)圆心在直线3 0x y  上，并且与 x轴相切于点 ( 1,0) 的圆的标准方程 第 13 页 共 14 页 为 . 14.(24-25 高二下·河南商丘·期末)已知圆C的圆心在直线 4x y  上，且圆C经过点    2,0 , 0,6 ，则圆C的 标准方程是 . 15．(25-26 高二上·全国·课堂例题)根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点  2,1C  ，且过点  2, 2A  ；(2)过点  0,1 和点  2,1 ，半径为 5 ； (3)过三点      1 20,0 , 1,3 , 3, 1O M M   . 16．(2025 高三·全国·专题练习)已知三角形三边所在的直线方程为 1 : 6 0 l x ， 2 : 2 0l x y  ， 3 : 2 8 0l x y   ．求这个三角形的外接圆方程． 17．92．(24-25 高三上·陕西榆林·阶段练习)在∆ABC中，已知  4,0B  ， AB边上的中线CD所在直线方程是 2 1 0x y   ， BC边的高线 AE所在直线方程是7 12 0x y   . (1)求点C的坐标；(2)求∆ABC的外接圆的标准方程. 第 14 页 共 14 页 18．(24-25 高二上·广东·期末)已知点 ( 1,3), (5, 5), (2,4)A B C  (1)求线段 AC的垂直平分线的方程；(2)已知圆M 过点 , ,A B C ，求圆M 的方程. 19．(24-25 高二下·安徽阜阳·开学考试)已知圆C经过  0,2D ，  0, 2E  ，  1, 3F  三点. (1)求圆C的方程；(2)设点  2,4P ，圆C与 x轴正半轴交于点Q，过点 P的直线与圆C交于A， B两点，证 明：直线QA，QB的斜率之和为定值. 专题2.5 圆的方程 教学目标 1、理解并掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件求出圆的标准方程； 2、能在标准方程与一般方程之间转化，能根据圆的方程求出圆心、半径； 教学重难点 1、重点：圆的标准方程； 2、难点：圆的一般方程、两种方程的转化. 知识点01 圆的标准方程 圆的标准方程：，其中圆心：，半径: 【即学即练1】(23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习)已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】根据圆的标准方程得解. 【详解】因为圆心为，半径为5， 所以圆的标准方程为，故选：C 知识点02 圆的一般方程 一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 圆心C，半径r＝ 【即学即练2-1】(24-25高二上·云南曲靖·期中)若方程表示圆心为，半径为1的圆，则 . 【答案】【难度】0.94【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】写出圆的标准方程整理成一般式，求出的值即可. 【详解】易知圆心为，半径为1的圆的方程为， 整理成一般式可得， 因此可得，所以.故答案为： 【即学即练2-2】(24-25高二上·上海·期末)以为圆心，3为半径的圆的一般方程是 . 【答案】【难度】0.94 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】求得圆的标准方程化为一般式即可. 【详解】由题意可知圆的标准方程为， 化圆的一般式得.故答案为：. 题型01 已知圆心与半径求圆的方程 【典例1-1】(24-25高二下·四川成都·期末)圆心为点，且过点的圆的标准方程是 ． 【答案】【难度】0.94【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】由两点之间的距离公式，求出圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程. 【详解】因为，，所以圆半径， 所以圆的标准方程为.故答案为：. 【典例1-2】(2025高三·全国·专题练习)已知为坐标原点，直线与直线互相垂直且交于点，则以为圆心，为半径的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、已知直线垂直求参数 【分析】先利用垂直关系求参数，从而可得交点，即可利用圆心和半径求得圆的标准方程. 【详解】由可得：，由， 解得：，即可得，则， 即所求圆的方程为．故选：D. 【典例1-3】(22-23高二上·湖南·期中)已知圆C的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆C的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】由圆C过原点可得半径，结合圆的标准方程即得解. 【详解】由题意，圆心，半径， 故圆C方程为.故选：B 【变式1-1】(23-24高二上·天津·期中)以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题意确定圆的半径，即可求解. 【详解】由题意，圆心坐标为点，半径为， 则圆的方程为．故选：D． 【变式1-2】(24-25高二下·上海·阶段练习)圆心是且过点的圆的方程为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】求出圆的半径，即可得出所求圆的方程. 【详解】由题可得圆的半径为， 又圆心为所以圆的方程为.故答案为：. 【变式1-3】(24-25高二下·上海崇明·期末)以为圆心，为半径的圆的方程是 ． 【答案】【难度】0.94【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】根据给定条件，直接写出圆的方程即可. 【详解】依题意，所求圆的方程为.故答案为： 【变式1-4】(23-24高一下·上海·期末)平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为 . 【答案】【难度】0.94 【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、点与圆的位置关系求参数 【分析】依题意设圆的方程为，代入原点坐标求出，即可得解. 【详解】设圆的半径为，则圆的方程为， 又圆过点，所以， 所以圆的方程为.故答案为： 【变式1-5】(22-23高二下·湖南邵阳·期中)圆心在y轴，半径为1且过点的圆的标准方程为： 【答案】【难度】0.94【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】根据给定条件，求出圆心坐标即可得解. 【详解】依题意，设圆心为，则，解得， 所以所求圆的标准方程是.故答案为： 题型02 已知圆上三点求圆的方程 【典例2-1】(24-25高二下·浙江温州·开学考试)过，，三点的圆的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设出圆的一般方程，根据点在圆上求参数值，进而得到圆的标准方程. 【详解】设所求圆的一般方程为， 代入A，B，C三点，得，解得， 所以圆的一般方程为，即.故选：B 【典例2-2】(24-25高二上·上海·期末)已知点、、，则外接圆的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是.故选：B. 【典例2-3】(24-25高三上·北京东城·期末)在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点．已知圆经过三点，则该圆经过的整点共有(    ) A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 【答案】D【难度】0.85【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】先设出圆的一般方程，代入点的坐标得到圆的方程，从而得到圆经过的整点. 【详解】设该圆的方程为， 将代入圆的方程可得： ，解得， 故圆的方程为，整理得， 当时，；当时，或5； 当时，或6；当时，或7； 当时，或6；当时，或5； 当时，，所以该圆经过的整点共有12个.故选：D. 【变式2-1】(24-25高二上·海南·阶段练习)的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设出的外接圆方程，将，，代入即可求解. 【详解】设的外接圆方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为.故选：. 【变式2-2】(24-25高二下·四川广安·开学考试)过三点的圆的标准方程为 ． 【答案】【难度】0.85 【知识点】求圆的一般方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解. 【详解】设圆的方程为， 代入三点，有；解得， 故圆的方程为， 故圆的标准方程为.故答案为： 【变式2-3】(24-25高二上·广东潮州·阶段练习)在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是 【答案】【难度】0.85【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题． 先求出、的坐标，可得圆心为直角三角形的斜边的中点，半径为的一半，由此可解． 【详解】在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，，， 则经过，，三点的圆的圆心为直角三角形的斜边的中点， 半径为的一半，即， 则经过，，三点的圆的标准方程是． 故答案为：． 【变式2-4】(24-25高二上·四川·期中)已知圆过三点，则圆的面积为 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】求圆的一般方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设圆的一般方程，将三点的坐标代入方程，利用待定系数法求解圆的方程，结合圆的面积公式计算即可求解. 【详解】设圆的方程为， 代入三点坐标可得，解得， 所以圆的方程为，其标准方程为，半径， 故其面积．故答案为： 【变式2-5】(2025·河北秦皇岛·模拟预测)平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】求圆的一般方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】根据中点坐标公式求出、、坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可. 【详解】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入、、三点坐标，可得， 解得，，，即， 化简可得圆的标准方程为．故选：C. 【变式2-6】(2024·江西九江·二模)欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为 . 【答案】/【难度】0.85 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出、，从而得到圆心坐标即的外心坐标，再确定的重心坐标，即可得解. 【详解】依题意，解得， 所以圆，即，故圆心坐标为， 即的外心坐标为，又的重心坐标为， 又点、均在直线上，所以的欧拉线方程为.故答案为： 题型03 已知直径求圆的方程 当已知直径两端点坐标时，常规方法是求出圆心、半径。除了这一方法，还可以直接套直径式方程： 若，以线段AB为直径的圆的方程是. 【典例3-1】(25-26高二上·全国·课后作业)圆关于直线对称，则 ． 【答案】3【难度】0.85【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的对称性的应用 【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可． 【详解】由题意得直线过圆心，代入直线方程有， 解得，故答案为：3． 【典例3-2】(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为，则以AP为直径的圆的方程为 ． 【答案】【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、由圆心(或半径)求圆的方程、求平面两点间的距离 【分析】联立直线得到点的坐标，根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，即可写出圆的方程. 【详解】联立，得，，又， 所以由中点坐标公式得的中点坐标为，即圆心坐标为， 由两点间距离公式得半径， 所以圆的方程为．故答案为：. 【典例3-3】(2025高三·全国·专题练习)曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 【答案】【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、由标准方程确定圆心和半径 【分析】首先得到曲线上任意点关于直线的对称点为，然后将代入，并化简即可得解. 【详解】注意到(设该点不在直线上)与的中点 坐标，满足， 且与的连线斜率为，满足， 所求曲线上任意点关于直线的对称点为， 则有， 所以．故答案为：. 【典例3-4】(2025·北京海淀·一模)已知直线经过圆的圆心，则的最小值为(   ) A． B． C．0 D．1 【答案】B【难度】0.85【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、求二次函数的值域或最值 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，从而得出圆心坐标，将其代入直线中得出，从而将目标转化为求二次函数的最小值. 【详解】可化为，故圆心为， 因直线经过圆心，则， 则，此二次函数开口朝上，对称轴方程为， 故其最小值为.故选：B 【变式3-1】(24-25高二下·河南南阳·期末)已知点，，则以为直径的圆的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、求平面两点间的距离 【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程. 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为.故选：B. 【变式3-2】(24-25高二上·北京怀柔·期末)若直线是圆的一条对称轴，则值为(    ) A． B．2 C． D．4 【答案】A【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，根据圆心在直线上求出参数的值. 【详解】圆，即， 所以圆心坐标为，依题意直线过点， 所以，解得.故选：A 【变式3-3】(24-25高二上·重庆长寿·期末)圆关于直线对称，则实数(   ) A． B．4 C．或4 D．2或 【答案】C【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先得出圆的圆心，再根据圆关于直线对称得出圆心在直线上计算求参. 【详解】圆的圆心为，且，即， 因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，则， 化简得，所以或，满足.故选：C. 【变式3-4】(24-25高二下·上海浦东新·期中)已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 【答案】【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、求点关于直线的对称点、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程. 【详解】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：.故答案为： 【变式3-5】(24-25高二下·天津·阶段练习)圆关于直线对称，则实数m的值 ． 【答案】3【难度】0.65【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据圆的方程写出圆心坐标且有，由圆关于直线对称，即圆心在直线上列方程求参数值即可. 【详解】由圆的标准方程为，则圆心为， 圆关于直线对称，则，即或， 显然时，不合要求，满足，所以.故答案为：3 【变式3-6】(23-24高二上·河北石家庄·期中)过点，半径最小的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】求平面两点间的距离、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】半径最小的圆即以为直径的圆. 【详解】过点，半径最小的圆,即以为直径， 则圆心为中点，半径为， 则圆方程为：.故选：A 题型04 圆与对称性 【典例4-1】(2025高三·全国·专题练习)圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ． 【答案】/【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】先求出圆心关于直线的对称点，从而求出对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设关于直线的对称点为， 则，解得，故圆心关于直线的对称点为， 则对称圆的方程为．故答案为： 【典例4-2】(24-25高二上·云南红河·期末)已知圆与圆关于直线对称，则的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】根据已知圆的方程确定圆心，进而得到线段的中点坐标及的斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】圆的标准方程为：，圆心. 圆的标准方程为：，圆心. 所以线段的中点为， 由题意，为线段的垂直平分线，且，所以， 所以的方程为，则.故选：D 【典例4-3】(24-25高二下·甘肃兰州·期末)若圆关于直线对称，则直线一定过点(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】圆的对称性的应用、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】由圆的对称轴过圆心，可求得结论. 【详解】把圆的方程化为标准方程为， 所以圆的圆心的坐标为， 因为圆关于直线对称，则直线一定过圆心.故选：A. 【变式4-1】(24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习)已知圆关于直线对称，则实数(    ) A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C【难度】0.85【知识点】圆的对称性的应用、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可. 【详解】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得.故选：C 【变式4-2】(24-25高二上·陕西榆林·期末)若直线是圆的一条对称轴，则(    )． A． B．0 C． D．1 【答案】C【难度】0.94【知识点】圆的对称性的应用 【分析】根据直线是圆的对称轴可知，直线过圆心，进而可求出结果. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点，所以，解得．故选：C． 【变式4-3】(23-24高二上·广西玉林·期末)若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C【难度】0.65【知识点】圆的对称性的应用、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】设出直线方程，将圆心代入直线，求解即可. 【详解】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心， 直线方程为，或，将点代入上式，解得 直线的方程为或.故选：C. 【变式4-4】(23-24高二上·河南周口·期末)若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D【难度】0.94【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的对称性的应用 【分析】根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解. 【详解】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得，故选：D． 【变式4-5】(23-24高二上·陕西西安·阶段练习)若直线是圆的一条对称轴，则(    ) A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A【难度】0.94【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的对称性的应用 【分析】根据直线经过圆心即可求解. 【详解】由题意可得，直线过圆心，则，解得.故选：A 【变式4-6】(21-22高二上·全国·课后作业)已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心(或半径)求圆的方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】设所求圆的圆心，根据点关于直线的对称得到关于的方程，解出即可. 【详解】将圆化成标准形式得， 所以已知圆的圆心为，半径， 因为圆与圆关于直线对称， 所以圆的圆心与点关于直线对称，半径也为1， 设可得，解得， 所以，圆的方程是，故选：B 【变式4-7】(2025高三·全国·专题练习)曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点、求圆的一般方程 【分析】在曲线上任取一点，求出点关于直线的对称点的坐标，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得出曲线的方程. 【详解】在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为点在曲线上，则有， 即为.故曲线的方程为.故答案为：. 【变式4-8】(24-25高二上·四川南充·期中)已知圆的圆心在直线上，且圆过点、，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为 ． 【答案】【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心(或半径)求圆的方程、求圆的一般方程 【分析】设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，再转化为圆的标准方程即可，由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程． 【详解】设圆的方程为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点、， 则，解得，即圆的方程为， 所以，圆的标准方程为．圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，因为圆与圆关于直线对称， 则有，解得，即． 所以，圆的标准方程为． 【变式4-9】(23-24高二上·宁夏银川·期末)若圆(，)被直线平分，则的最大值为 . 【答案】/【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值、圆的对称性的应用、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先求出圆心，再将圆心代入直线方程，再利用基本不等式求最值. 【详解】圆，即，圆心为，半径为， 因为圆(，)被直线平分，则直线过圆心，即， 所以，当且仅当时等号成立.故答案为：. 题型05 由其它条件求圆的方程 【典例5-1】(2025高三·全国·专题练习)圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 ． 【答案】或【难度】0.94 【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】设圆心坐标为，半径为，由题意可得，求解即可. 【详解】设圆心坐标为，半径为，则，解得或. 所以圆的标准方程为或. 故答案为：或. 【典例5-2】(2025高二·全国·专题练习)过点，且半径最小的圆的方程为 ． 【答案】(或)【难度】0.85 【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】解法一：先判断半径最小的情况，然后根据直径式方程写出圆的方程； 解法二：先确定圆心坐标和半径长，然后根据圆的方程直接写出即可. 【详解】解法一：根据题意，以点，为直径的两个端点的圆的半径最小， 则由直径式方程可得，即． 解法二：以点，为直径的两个端点的圆的半径最小，则线段的中点即圆心， 即直径，所以半径为，所以圆的方程为． 故答案为：(或) 【典例5-3】(25-26高二上·全国·课后作业)已知圆经过，两点，圆心在轴上，则圆的标准方程是 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】利用两点距离公式，即可求解圆心和半径得解，或者利用圆的几何性质，根据弦的垂直平分线经过圆心可得圆心，即可由两点距离求解半径得解. 【详解】方法一：圆心在轴上，设圆心坐标为，半径为， 则，解得， 所以圆的标准方程为． 方法二：弦的中点为，且直线平行于轴， 则弦的垂直平分线为直线，即圆心． 所以半径， 则圆的标准方程为．故答案为： 【变式5-1】(23-24高二上·四川乐山·期末)已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设圆的标准方程是，将代入求解即可. 【详解】解：由题意设圆的标准方程是， 因为圆经过两点， 所以，解得，所以圆的标准方程是，故选：A 【变式5-2】(2024·辽宁大连·一模)过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】借助待定系数法计算即可得. 【详解】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为， 则有，解得，故该圆方程为.故选：D. 【变式5-3】(23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、求圆的一般方程 【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程. 【详解】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即；故选：C 【变式5-4】(2025·河南·模拟预测)已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 【答案】【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】先根据中点坐标公式和斜率公式求出两点的中点和斜率，进而得到垂直平分线的斜率和方程，再联立相关直线方程求出圆心坐标，最后根据圆心和圆上一点求出半径，从而确定圆的方程. 【详解】点和点的中点为，点和点的斜率为， 则点和点的垂直平分线的斜率为， 可得点和点的垂直平分线的方程为 设圆心为，由题意联立方程： 解得，，半径，圆方程为. 故答案为：. 题型06 已知圆的方程求圆心、半径 【典例6-1】(2025·山西晋中·三模)已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】由一般方程得到标准方程即可求解. 【详解】由，得， 可知圆C的圆心坐标为．故选：C 【典例6-2】(24-25高二上·浙江杭州·期末)已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为(    ) A．，1 B．，1 C．， D．， 【答案】B【难度】0.85【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】配方得到圆的标准方程，得到圆心和半径. 【详解】， 故圆心为，半径为1.故选：B 【典例6-3】(24-25高二下·安徽宿州·期中)已知圆与圆，则两圆圆心所在直线的方程为(   ) A．或 B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】求两圆的圆心，再求直线方程. 【详解】圆的圆心为，圆可化为， 所以圆心为，圆心所在直线的斜率为，所以两圆圆心所在直线的方程为.故选：C 【典例6-4】(24-25高二上·安徽·期末)已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为(    ) A．1 B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】首先转化为圆的标准方程，求圆心，再求两点间距离. 【详解】根据题意，圆可化为， 所以圆的圆心为，所以圆心到坐标原点的距离为．故选：B 【变式6-1】(24-25高二上·广东湛江·期末)圆的圆心到直线的距离为(   ) A．2 B． C．1 D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式计算得解. 【详解】圆的圆心坐标为， 所以所求距离为.故选：D 【变式6-2】(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)圆的圆心到直线的距离为(    ) A．2 B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【分析】先求出圆心坐标，再求点到线的距离. 【详解】圆圆心坐标为， 点到直线的距离.故选：B 【变式6-3】(19-20高二下·北京延庆·期中)圆的圆心到直线的距离为(    ) A．2 B． C．1 D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【分析】求出圆心结合点到直线距离公式即可得解. 【详解】圆即， 所以圆心坐标为，所以圆心到直线的距离为.故选：B. 【变式6-4】(24-25高二上·江西·阶段练习)已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】由方程表示圆得，结合圆心在第二象限可得到结果. 【详解】由方程表示圆得，， 整理得，，解得. 由题意得，圆心坐标为，由圆心在第二象限得， 所以实数a的取值范围为.故选：C. 【变式6-5】(24-25高二上·广东佛山·期中)若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则(   ) A． B．1 C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知点到直线距离求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】先求出圆的圆心，再结合题意即可得解. 【详解】圆化为标准方程为， 则圆心为，半径， 由题意得，解得.故选：C. 【变式6-6】(24-25高二上·江苏徐州·阶段练习)已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得圆心及其半径，结合圆的性质与第二象限的点的性质计算即可得解. 【详解】由，化简可得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得， 故实数的取值范围是．故选：A. 【变式6-7】(多选)(24-25高二上·云南玉溪·期末)已知圆的一般方程为，则(   ) A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 【答案】BD【难度】0.94【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】利用配方法整理圆的方程，结合圆的标准方程，可得答案. 【详解】圆转化为，其圆心坐标为，半径为. 故选：BD. 【变式6-8】(24-25高二下·云南红河·期末)已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】根据圆的一般方程配方得到圆的标准方程，求出圆心坐标的表达式 ，求出、，进而计算出半径即可. 【详解】由，有， 因为圆心坐标公式为，所以，， 所以的半径为.故答案为： 【变式6-9】(24-25高二下·上海杨浦·期末)已知圆的方程是，则这个圆的半径是 . 【答案】3【难度】0.94【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出圆半径. 【详解】圆的方程化为：， 所以圆的半径为3.故答案为：3 题型07 二元二次方程表示圆的条件 【典例7-1】(24-25高二上·宁夏吴忠·期中)若方程表示圆，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，得到，故选：C. 【典例7-2】(2025·上海杨浦·模拟预测)设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【答案】【难度】0.94 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】因为，变形得， 所以，解得.故答案为：. 【典例7-3】(24-25高一下·重庆·期末)若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是.故选：C 【变式7-1】(24-25高一下·重庆·期末)下列方程一定表示圆的是(    )． A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断. 【详解】对于A，方程表示点，A不是； 对于B，方程化为，此方程表示圆，B是； 对于C，当时，方程表示点，C不是； 对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是.故选：B 【变式7-2】(23-24高二上·江苏南通·期中)若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【详解】由，得， 即,解得故选： 【变式7-3】(23-24高二下·上海·期中)方程表示圆的充要条件是(    ) A． B． C． D．或 【答案】D【难度】0.94【知识点】根据充要条件求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或.故选：D. 【变式7-4】(23-24高二上·全国·课后作业)下列方程能表示圆的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】由一般二元二次方程表示成圆的充要条件逐一判断每个选项即可得解. 【详解】对于A，，方程表示的图形是一个点； 对于B，，，方程不表示圆； 对于C，，，当时，方程不表示圆； 对于D，，，方程表示圆； 综上，以上方程能表示圆的是D选项中的方程．故选：D． 【变式7-5】(23-24高二上·福建厦门·期中)若，则方程表示的圆的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【难度】0.85【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若方程表示圆， 则，解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为.故选：B 【变式7-6】(23-24高二上·贵州六盘水·期末)已知曲线，则“”是“曲线是圆”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的定义列出不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 若曲线是圆，所以，所以或， 所以“”是“曲线是圆”的充分不必要条件.故选：A. 【变式7-7】(24-25高一下·浙江宁波·期末)“关于的方程：表示圆”是“”的(       )条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件、圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】先得的表示圆时的的取值范围，从而得到结论. 【详解】由题意有， 所以或，由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件，故选：A. 【变式7-8】(多选)(23-24高二上·广西河池·阶段练习)已知方程，则下列说法正确的是(    ) A．方程表示圆，且圆的半径为1时， B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示圆且圆的半径为 D．当时，方程表示圆心为的圆 【答案】ACD【难度】0.85【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】若方程表示圆，把一般方程化为标准方程，根据方程成立的条件，验证各选项. 【详解】由题意，方程，可化为， 若方程表示圆，则圆的圆心坐标为，半径， 中，当时，可得，所以正确； 中，当时，此时半径为，所以错误； 中，当时，表示的圆的半径为，所以正确； 中，当时，此时半径大于0，表示圆心为的圆，所以正确；故选：ACD． 题型08 圆的方程的应用 【典例8-1】(2025高二·全国·专题练习)当方程所表示的圆取得最大面积时，直线的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】将圆的一般式化为标准式，根据面积最大得，进而判断直线的斜率和倾斜角. 【详解】方程可化为(其中)， 当时，圆的半径最大，即圆的面积最大，此时直线的斜率为1，即倾斜角为.故选：B 【典例8-2】(23-24高二上·辽宁抚顺·期中)已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、点与圆的位置关系求参数 【分析】化简圆的表达式，得出圆心坐标和半径，利用所有点都在第二象限，即可得出的取值范围. 【详解】由题意，在圆中，， ∴圆心坐标为，半径为3． ∵圆上所有点都在第二象限， ∴，解得．故选：C. 【典例8-3】(24-25高二下·上海嘉定·期中)已知表示圆，则实数的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以.故选：. 【典例8-4】(2025·浙江嘉兴·三模)“”是“圆不经过第三象限”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.65 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、点与圆的位置关系求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】若圆不经过第三象限，等价于原点不在圆内，即可的取值范围，结合包含关系分析充分、必要条件. 【详解】圆整理可得， 可知圆心为，半径，且， 若圆不经过第三象限， 等价于原点不在圆内，则，可得， 且是的真子集， 所以“”是“圆不经过第三象限”的必要不充分条件.故选：B. 【典例8-5】(25-26高二上·全国·单元测试)我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便．对于勾股定理，我国历史上有多位数学家创造了不同的面积证法，如三国时期的刘徽、清代的华蘅芳等．下图1为一种证明勾股定理时构造的图形(由一个直角三角形和三个正方形构成)，若图中，，，现以点C为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图2所示，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为 ．(写出一个即可)    【答案】(答案不唯一，满足均可) 【难度】0.65【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】计算点D到三个正方形顶点的距离，再数形结合即可求出半径的范围. 【详解】由题图可得，，，，，， 所以，．连接DC，DE，DF，DM，DN，DQ，DP， 在中，，则， ，， ，， 则点D到三个正方形顶点的距离分别为，，，，，，，， 因为恰有2个顶点在圆D外部，所以圆D的方程为． 故圆D的一个标准方程可以为．    故答案为：(答案不唯一，满足均可) 【变式8-1】(24-25高二上·广东广州·期末)某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度，拱高，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则 m.    【答案】3【难度】0.65【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】建立平面直角坐标系，求出圆的方程，令，求出的值即可. 【详解】如图：建立平面直角坐标系.设过点的圆的方程为：. 因为点，在圆上，所以，解得. 所以圆的方程为：. 令得：. 又，所以.故答案为：3 【变式8-2】(24-25高二下·上海·期末)设实数，圆的面积为，则 ． 【答案】【难度】0.94【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为， 故，故(负解舍去)，故答案为：. 【变式8-3】(24-25高二下·上海·期末)已知，圆的面积为，则 . 【答案】【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】已知圆的方程为 ，可得， 此为标准形式，圆心为 ，半径平方为 ， 由 得：，解方程：.故答案为：. 【变式8-4】(24-25高二下·上海普陀·期中)设，若圆的半径为2，则的值为 ； 【答案】【难度】0.94【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据给定条件，求出圆的半径列式求解. 【详解】圆的半径， 依题意，解得，经验证，符合题意，所以的值为. 【变式8-5】(24-25高二上·河北唐山·期中)已知圆和点，直线过点与圆交于两点．若以为直径的圆的面积最大，则直线的方程为 ． 【答案】【难度】0.85 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、直线的点斜式方程及辨析、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据已知直线过圆心，应用点斜式求直线方程即可. 【详解】由题意，以为直径的圆的面积最大，即直线过圆心，则， 所以直线为.故答案为： 【变式8-6】(25-26高二上·全国·单元测试)杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥(如图)的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约是 米．(注：) 【答案】6.48【难度】0.65【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】以点P为坐标原点建系，求出圆心和半径得出圆的方程，即可计算. 【详解】以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴，过点P且平行于AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可知，点A的坐标为， 设圆拱桥弧所在圆的半径为r，由勾股定理可得， 又，所以，解得， 所以圆心的坐标为，则圆的方程为． 将代入圆的方程得， 又，解得， 所以(米)．故答案为： 【变式8-7】(24-25高二上·四川绵阳·期末)已知直线：平分圆：的周长，则实数 . 【答案】【难度】0.94【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据直线和圆的位置关系列方程，从而求得的值. 【详解】圆：的圆心为， 由于直线平分圆的周长，所以直线过圆心， 即.故答案为： 【变式8-8】(24-25高二上·广东深圳·期末)若圆C：关于直线对称，则的最小值是 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意直线过圆心，有，应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题意，直线过圆心，则，且， 所以，所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为.故答案为：. 一、单选题 1.(24-25高二上·内蒙古包头·期末)过三点，，的圆的标准方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】利用待定系数法可求圆的一般式方程，再化为标准方程即可. 【详解】设圆的方程为， 因为圆三点，，， 可得，解方程可得， 即圆的方程为，即圆的标准方程为.故选：A. 2.(24-25高二下·甘肃白银·期末)圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】由圆心在，可设圆的一般方程为，然后代点求解即可. 【详解】解析：设所求圆的方程为， 因为该圆过点，，所以解得， 所以该圆的方程为.故选：A. 3.(24-25高二上·重庆渝中·期末)已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】根据题意，由求解. 【详解】解：设圆的标准方程为， 由题意得，解得， 故圆的方程为，故选：B 4.(25-26高二上·全国·课后作业)圆关于原点对称的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、圆的对称性的应用 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为．故选：B. 5.(24-25高二上·湖南永州·期末)圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：，解得：， 所以圆的方程为：.故选：D 6.(24-25高二上·宁夏吴忠·期中)已知，，则以为直径的圆的一般方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【详解】因为，，则的中点为，且， 所以为直径的圆的方程为，即，故选：A. 7.(24-25高二上·湖北·期末)已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将圆的一般方程化成标准方程，结合题意得到不等式组，解之即得. 【详解】由，配方得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得， 故实数的取值范围是.故选：A. 8.(24-25高二上·河南濮阳·期中)曲线的周长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】分类讨论写出圆的标准方程，画出图得出结论. 【详解】曲线；曲线的图像如图所示： 该图是以四个点为圆心，半径为的四个半圆， 所以该图的周长为：.故选：B 二、多选题 9.(24-25高二上·河南·期末)在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则(   ) A．为直角三角形 B．为等腰三角形 C．的外接圆方程为 D．的重心位于直线上 【答案】ABC【难度】0.65 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、直线平行、垂直的判定在几何中的应用、求平面两点间的距离 【分析】首先通过斜率判定三角形边关系判断三角形类型；接着利用外接圆方程的一般形式，将三个顶点坐标代入求解方程；最后根据重心坐标公式求出重心坐标，判断其是否在直线上. 【详解】因为，所以，则是以为直角顶点的直角三角形，故A正确； 因为两点间的距离公式计算得到，所以是等腰三角形，故B正确； 由知的外接圆是以线段为直径的圆，其圆心为，半径，所以外接圆方程为，故C正确； 的重心坐标为，即，显然不在直线上，故D错误．故选：ABC． 10.(23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末)过四点中的三点的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时，，解得，圆的方程为， 当圆过三点时，，解得，圆的方程为， 当圆过三点时，，解得，圆的方程为， 当圆过三点时，，解得，圆的方程为. 故选：ABC. 11.(25-26高二上·全国·课后作业)已知表示圆，则下列结论正确的是(    ) A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【答案】BC【难度】0.85【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径、求点到直线的距离、圆的弧长、面积、圆心角等计算 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以圆心为，半径为，故A错误； 当时，半径为，B正确； 圆心到直线的距离为，C正确； 当时，半径为3，圆面积为，D错误．故选：BC 三、填空题 12.(24-25高二下·云南昆明·阶段练习)已知圆的一条直径的端点分别是，则此圆的标准方程是 ． 【答案】【难度】0.94【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】先求出线段中点得出圆心，再应用两点间距离计算得出直径，最后应用圆的标准方程即可求解. 【详解】因为，所以线段的中点坐标为，， 所以以为直径的两个端点的圆的圆心坐标为，半径为， 所以以为直径的两个端点的圆的标准方程是． 故答案为：． 13.(24-25高三下·海南·阶段练习)圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】根据直线交点得出圆心，再结合圆心及切线得出半径，最后应用圆的标准方程即可求解. 【详解】由题设可知圆为直线与的交点，其半径为3， 故圆标准方程为.故答案为：. 14.(24-25高二下·河南商丘·期末)已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是 . 【答案】【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】设圆的标准方程为，根据点在圆上、圆心在直线上列方程求解即可. 【详解】设圆的标准方程为， 则，解得，所以圆的标准方程为. 故答案为： 四、解答题 15．(25-26高二上·全国·课堂例题)根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点；(2)过点和点，半径为； (3)过三点. 【答案】(1)；(2)或；(3) 【难度】0.65【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】(1)利用两点的距离公式及圆的标准方程即可求解； (2)利用待定系数法设出圆的方程，结合点在圆上即可求解； (3)首先设出圆的标准方程，再代入三点坐标，即可求解. 【详解】(1)所求圆的半径. 又因为圆心为， 所以所求圆的方程为. (2)设圆心坐标为，则圆的方程为. 因为是圆上的点， 所以解得或， 因此，所求圆的方程为或. (3)设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 16．(2025高三·全国·专题练习)已知三角形三边所在的直线方程为，，．求这个三角形的外接圆方程． 【答案】【难度】0.65【知识点】求直线交点坐标、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】先求出三角形三个顶点的坐标，待定系数法求出圆方程即可. 【详解】联立与即得出点， 联立与即得出点， 联立与即得出点， 设三角形的外接圆方程为：，其中， 将三点代入方程中得： 解方程组，解得：， 所以所求的三角形的外接圆方程为：. 17．92．(24-25高三上·陕西榆林·阶段练习)在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标；(2)求的外接圆的标准方程. 【答案】(1)；(2)【难度】0.65【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】(1)设，由题意可得，，联立求解即可； (2)设，则的中点坐标为，分别将，两点坐标代入相应的直线方程，联立求出点坐标，设的外接圆的一般方程为，将，，三点坐标代入求解，最后转化为标准方程即可. 【详解】(1)设，因为边的高线所在直线方程是，所以， 又，所以①， 又点在直线上，所以②， 由①②解得，，所以点的坐标为； (2)设，则的中点坐标为， 将代入直线的方程得③， 将代入直线的方程得④， 将③④联立解得，，即， 设的外接圆的一般方程为， 则，解得， 所以的外接圆的一般方程为， 所以的外接圆的标准方程为. 18．(24-25高二上·广东·期末)已知点 (1)求线段的垂直平分线的方程；(2)已知圆过点，求圆的方程. 【答案】(1)；(2)【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】(1)依次求出线段的中点坐标和所在直线的斜率，即得线段的垂直平分线的斜率，即可写出方程；(2)求出线段的垂直平分线的方程，再将线段、的中垂线方程联立，求出圆心，再求出半径，即得圆的方程. 【详解】(1)依题意，设线段的中点为，因，，则， 直线的斜率为：，则线段的垂直平分线的斜率为， 故其直线方程为：，即. (2)设线段的中点为，因，，则， 直线的斜率为：，则线段的垂直平分线的斜率为， 得线段的垂直平分线的方程为,即， 由(1)线段的垂直平分线方程为， 由，解得：， 即圆心为，圆的半径为：， 故圆的方程为：. 19．(24-25高二下·安徽阜阳·开学考试)已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程；(2)设点，圆与轴正半轴交于点，过点的直线与圆交于，两点，证明：直线，的斜率之和为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析【难度】0.65 【知识点】直线与圆中的定点定值问题、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】(1)证明，由此确定圆心坐标和半径及圆的方程； (2)求点的坐标，直线的方程为，设，，联立方程组求出的范围，，，再求直线，的斜率之和并证明结论. 【详解】(1)因为，，， 所以，，其中为坐标原点， 所以， 所以圆以坐标原点为圆心，半径为的圆， 故圆的方程为. (2)由题意知，直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，得， 由已知 设，，则，    所以 ， 即直线，的斜率之和是定值，该定值为. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$