章末测试卷(2) 平面解析几何初步（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

章未测试卷(二)　平面解析几何初步 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影(如图2所示)看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为x＋y＝0，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为(　　 ) A．x＋y±2＝0　　　　　　 B．x＋y±2＝0 C．x－y±1＝0 D．x＋y±1＝0 B　解析：设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为x＋y＋C＝0， 则由平行线间的距离公式得＝1，得C＝±2. 2．已知p：直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行，q：a＝－1，则p是q的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：当命题p成立时，直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行，故两直线斜率相等，∴a＝－1. 当命题q成立时，a＝－1，直线l1：x－y－1＝0 与直线l2：x＋ay－2＝0平行．综上：p是q的充要条件． 3．下列有关直线l：x＋my－1＝0(m∈R)的说法中正确的是(　　) A．直线l的斜率为－m B．直线l的斜率为－ C．直线l过定点(0，1) D．直线l过定点(1，0) D　解析：当m＝0时，直线l的斜率不存在，当m≠0时，直线l的斜率为－， 故选项A，B都错误；当y＝0时，x＝1，所以直线l过定点(1，0)，故选项D正确． 4．过点P(－1，2)且与直线x＋2y＋3＝0垂直的直线方程是(　　 ) A．x－2y＋5＝0 B．x＋2y－3＝0 C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0 C　解析：由题意设直线方程为：2x－y＋m＝0， 因为该直线过点P(－1，2)， 所以2×(－1)－2＋m＝0，解得m＝4， 所以直线方程为2x－y＋4＝0. 5．已知直线l：y＝k(x－)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k的值是(　　) A．0 B．－ C．或0 D．－或0 D　解析：∵直线l与圆C相切，∴圆心C到直线l的距离d＝＝1，∴|－1－k|＝，解得k＝0或k＝－. 6．已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　) A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4 B　解析：圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC|＝2，弦的长度l＝2＝2×＝2. 7．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．在平面直角坐标系中作△ABC，在△ABC中，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆(x－3)2＋y2＝r2相切，则该圆的半径为(　　) A．1 B． C．2 D．2 B　解析：在△ABC中，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，可得BC边上的高线、垂直平分线和中线合一，其“欧拉线”为△ABC边BC的垂直平分线，可得BC的中点为(，)，直线BC的斜率为＝－1，所以边BC的垂直平分线的斜率为1，边BC的垂直平分线方程为y－＝x－，即为x－y－1＝0. 由其“欧拉线”与圆(x－3)2＋y2＝r2相切， 可得圆心(3，0)到“欧拉线”的距离为d＝＝，即有半径r＝. 8．已知直线l过点(0，4)，且与直线x－y＋4＝0及x轴围成等腰三角形，则l的方程为(　　 ) A．x＋y－4＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－y＋4＝0 D．x＋y－4＝0或x－y＋4＝0 D　解析：设A(0，4)，直线x－y＋4＝0过A(0，4)和B(－，0)， 当l：x＝0时，直线l、直线x－y＋4＝0与x轴围成的△AOB不是等腰三角形．所以直线l的斜率存在． 设B关于y轴的对称点为C(，0)，如图所示， 当直线l过A，C两点时，|AB|＝|AC|，△ABC是等腰三角形， 同时由于直线AB的斜率为，倾斜角为，所以△ABC是等边三角形， 所以|AC|＝|BC|，此时直线l的方程为＋＝1， 即x＋y－4＝0， 设直线l与x轴相交于点D，如图所示，若|AB|＝|BD|， 则∠ADB＝，所以直线AD，也即直线l的斜率为， 对应方程为y＝x＋4，即x－y＋4＝0， 综上直线方程为x＋y－4＝0或x－y＋4＝0. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心为(1，－2)，半径为1 B．直线AB的方程为x－2y－4＝0 C．线段AB的长为 D.取圆M上点C(a，b)，则2a－b的最大值为4＋ ABD　解析：由圆M：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1， 则圆M的圆心为(1，－2)，半径为1，故A正确； 联立圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，消去二次项， 可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确； 圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d＝＝，圆O的半径为2， 则线段AB的长为2×＝，故C错误； 令t＝2a－b，即2a－b－t＝0，由M(1，－2)到直线2x－y－t＝0的距离等于圆M的半径， 可得＝1，解得t＝4±.所以2a－b的最大值为4＋，故D正确． 10．已知点P在圆M：(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 ACD　解析：圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4， 直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0， 圆心M到直线AB的距离为＝＝>4， 所以，点P到直线AB的距离的最小值为－4<2，最大值为＋4<10，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP，BM，可知PM⊥PB， |BM|＝＝，|MP|＝4，由勾股定理可得|BP|＝＝3，C，D选项正确． 11．下列结论中正确的是(　　 ) A．已知曲线C：x2＋y2＝2|x|＋2|y|(x，y不全为0)，则曲线C的周长为4π B．若直线l的方程x＋y＋1＝0，则直线l的倾斜角为 C.若直线3ax＋2y＋6＝0与直线x－a2y＋2＝0垂直，则a＝ D．圆O：x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0与圆M：x2＋y2＝1的公切线条数为2 AD　解析：对于A，如图所示： 当x≥0，y≥0时，曲线C：x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2， 此时它的图象为半径为的半圆弧，这时它的长度为π， 在曲线C：x2＋y2＝2|x|＋2|y|(x，y不全为0)中，分别用(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)替换(x，y)，方程依然成立， 这表明了曲线C：x2＋y2＝2|x|＋2|y|(x，y不全为0)的图象关于坐标轴以及坐标原点对称， 所以曲线C的周长为4π，故A正确； 对于B，直线l的方程为x＋y＋1＝0， 即y＝－x－， 所以直线l的斜率为k＝－，则直线l的倾斜角为，故B错误； 对于C，若直线3ax＋2y＋6＝0与直线x－a2y＋2＝0垂直，则3a－2a2＝0，解得a＝或a＝0，故C错误； 对于D，圆O：x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0即O：(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心为O(－1，－2)，半径为r1＝2， 圆M：x2＋y2＝1的圆心为M(0，0)，半径为r2＝1， 所以两圆圆心距为r1－r2＝1<|OM|＝＝<r1＋r2＝3， 所以两圆相交，它们的公切线条数为2，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上． 12．已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线x＋ay＋1＝0的距离相等，则a的值为________． 2或－　解析：由平面几何知识得AB平行于直线x＋ay＋1＝0或AB中点在直线x＋ay＋1＝0上，所以a＝2或a＝－. 13．过圆x2＋y2＝25上一点P作圆x2＋y2＝m2(0<m<5)的两条切线，切点分别为A，B若∠AOB＝120°，则实数m的值为________． 　解析：根据题意，如图，x2＋y2＝25的圆心为(0，0)，半径R＝5，即|OP|＝5， 圆O：x2＋y2＝m2，圆心为(0，0)，半径r＝m，则|OA|＝|OB|＝m， 若∠AOB＝120°，则∠APB＝60°，∠OPA＝30°， 又由OA⊥AP，则|OP|＝2|OA|，则m＝. 14．若直线kx－y－k＋2＝0与直线x＋ky－2k－3＝0交于点P，则P到坐标原点距离的最大值为________． 2＋1　解析：由题可知，直线kx－y－k＋2＝0可化为k(x－1)＋2－y＝0， 所以其过定点A(1，2)，直线x＋ky－2k－3＝0可化为x－3＋k(y－2)＝0， 所以其过定点B(3，2)，且满足k·1＋(－1)·k＝0， 所以直线kx－y－k＋2＝0与直线x＋ky－2k－3＝0互相垂直， 其交点P在以AB为直径的圆上，作图如下： 结合图形可知，线段OP的最大值为|OC|＋1， 因为C为线段AB的中点，所以由中点坐标公式可得C(2，2)， 所以P到坐标原点距离的最大值为2＋1. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，其中m∈R. (1)当m变化时，求点Q(3，4)到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 解：(1)直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0即为m(2y－x＋3)＋(2x＋y＋4)＝0，设直线恒过定点P. 由可得则已知直线恒过定点P(－1，－2)， 可得Q(3，4)到直线的最大距离为|QP|＝＝2. (2)设直线的斜率为k(k<0)，则其方程为y＋2＝k(x＋1)， 可得|OA|＝，|OB|＝|k－2|， 则S△AOB＝·|OA|·|OB| ＝＝. 由k<0，可得－k>0，所以S△AOB＝ ＝≥4. 当且仅当－＝－k，即k＝－2时取等号，则△AOB的面积最小值是4， 直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，即2x＋y＋4＝0. 16．(15分)已知点B(－2，6)，点P在圆E：x2＋y2＝4上运动． (1)求过点B且与圆E相切的直线方程； (2)已知A(－2，－2)，C(4，－2)，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值． 解：(1)当过点B的直线斜率存在时， 设切线的方程为y＝k(x＋2)＋6，即kx－y＋6＋2k＝0， 则圆心E(0，0)到切线的距离为＝2，解得k＝－， 所以切线方程为y＝－(x＋2)＋6，即4x＋3y－10＝0. 当过点P的直线斜率不存在时，切线方程为x＝－2，此时直线与圆M相切． 综上，切线方程为4x＋3y－10＝0或x＝－2. (2)设P点坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4， 所以|PA|2＋|PB|2＋|PC|2 ＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y. 因为－2≤y≤2，所以72≤80－4y≤88， 即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72. 17.(15分)如图，已知圆O：x2＋y2＝4和点A(2，2)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，Q为切点，且|PQ|＝|PA|. (1)求a2＋b2的最小值； (2)以P为圆心作圆，若圆P与圆O有公共点，求半径最小的圆P的方程． 解：(1)由题意知，圆O：x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径为r＝2， 因为PQ为圆O的切线，所以OQ⊥QP， 在Rt△OPQ中，|OQ|2＋|QP|2＝|OP|2，又|PQ|＝|PA|， 所以|OQ|2＋|PA|2＝|OP|2，即4＋(a－2)2＋(b－2)2＝a2＋b2，整理得a＋b＝3， 因为(a－b)2≥0，即a2＋b2－2ab≥0，故a2＋b2≥2ab， 所以2(a2＋b2)＝a2＋b2＋a2＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝9，则a2＋b2≥， 所以a2＋b2的最小值为. (2)由(1)知，当以P为圆心的圆在OP垂直于x＋y＝3，且与圆O外切时半径最小， 此时OP方程为y＝x，联立，解得，所以P(，)， 半径为－2＝－2， 所以圆的方程为(x－)3＋(y－)2＝－6. 18．(17分)已知圆M的圆心在直线x＋y－4＝0上，并且与直线x＋y＝0相切于点Q(3，－). (1)求圆M的标准方程； (2)直线l：mx－y－m＝0与圆M相交于A，B两点，|AB|＝，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，求|CD|. 解：(1)设与直线x＋y＝0垂直的直线方程为x－y＋c＝0， 代入点Q(3，－)可得3＋＋c＝0，解得c＝－4， 可知圆M的圆心在直线x－y－4＝0上， 联立方程，解得， 即圆M的圆心M(4，0)，半径r＝|MQ|＝＝2， 所以圆M的标准方程为(x－4)2＋y2＝4. (2)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程，消去y得(m2＋1)x2－2(m2＋4)x＋m2＋12＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 因为|AB|＝＝，解得m2＝， 此时Δ＝4(m2＋4)2－4(m2＋1)(m2＋12)＝>0，即m2＝符合题意， 设l的倾斜角为θ，则tan2θ＝，故|cosθ|＝， 所以|CD|＝＝＝. 19．(17分)已知圆M：x2＋y2－2y－4＝0与圆N：x2＋y2－4x＋2y＝0. (1)求证：两圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长； (3)在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于1. (1)证明：圆M：x2＋(y－1)2＝5，圆心M(0，1)，半径r1＝， 圆N：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心N(2，－1)，半径r2＝， ∵圆心距|MN|＝ ＝2， ∴0＝|r1－r2|<|MN|<r1＋r2， ∴两圆相交． (2)解：两圆的方程相减得x－y－1＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程． 圆M：x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0，1)，半径r1＝，圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝. 设公共弦长为2l，由勾股定理得r＝d2＋l2，即5＝()2＋l2，解得l＝，故公共弦长2l＝2. (3)解：∵两圆半径均为，过点P所引的两条切线长均为1， ∴点P到两圆心的距离|PM|＝|PN|＝＝. 设点P的坐标为(x，y)， 则 解得或 ∴点P的坐标为(1＋，)或(1－，－). 学科网（北京）股份有限公司 $$