章末综合测评2 平面解析几何初步(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

章末综合测评(二)　平面解析几何初步 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若直线经过A(1，0)，B(4，)两点，则直线AB的倾斜角为(　　) A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．120° 2．过点P(－1，)且倾斜角为30°的直线方程为(　　) A．x－3y＋4＝0 B．x－y＋2＝0 C．x－3y＋2＝0 D．x－y＝0 3．过点(1，2)且与原点距离最大的直线方程是(　　) A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0 C．x＋3y－7＝0 D．x－2y＋3＝0 4．过点(2，0)且与直线2x－4y－1＝0平行的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．2x＋y－4＝0 C．x－2y－2＝0 D．x＋2y－2＝0 5．经过点(1，0)且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 6．若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A． B．－ C．1 D．－1 7．若方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于(　　) A．45° B．135° C．60° D．120° 8．已知圆C的圆心为原点O，且与直线x＋y＋4＝0相切．点P在直线x＝8上，过点P引圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如图所示，则直线AB恒过定点的坐标为(　　) A．(2，0) B．(0，2) C．(1，0) D．(0，1) 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列说法错误的是(　　) A．“a＝－1”是“直线a2x－y＋1＝0与直线x－ay－2＝0互相垂直”的充要条件 B．直线x sin α＋y＋2＝0的倾斜角θ的取值范围是 C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为＝ D．经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0 10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0．若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法错误的是(　　) A．y－x的最大值为－2 B．x2＋y2的最大值为7＋4 C．的最大值为 D．x＋y的最大值为2＋ 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则这两条切线的夹角等于________． 13．在平面直角坐标系xOy中，直线l：mx－y－2m－1＝0(m∈R)过定点________，以点(1，0)为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________． 14．已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值：________． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)直线l经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点． (1)若直线l与直线3x＋y－1＝0平行，求直线l的方程； (2)若点A(3，1)到直线l的距离为5，求直线l的方程． 16．(本小题满分15分)等腰直角△ABC的直角为角C，且点C(0，－1)，斜边AB所在的直线方程为x＋2y－8＝0． (1)求△ABC的面积； (2)求斜边AB中点D的坐标． 17．(本小题满分15分)已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0． (1)判断直线l与圆C的位置关系； (2)若直线l与圆C交于不同两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程． 18．(本小题满分17分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0． (1)若此方程表示圆，求m的取值范围； (2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值． 19．(本小题满分17分)已知圆C过点M(0，－2)，N(3，1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2，0)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末综合测评(二) 1．A　[由A，B的坐标得kAB＝＝，因此直线AB的倾斜角为30°，故选A．] 2．A　[由倾斜角为30°知，直线的斜率k＝， 因此，其直线方程为y－＝(x＋1)， 化简得，x－3y＋4＝0，故选A．] 3．A　[结合图形(图略)可知，所求直线为过点(1，2)且与原点和点(1，2)连线垂直的直线，其斜率为－，直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0．] 4．C　[直线2x－4y－1＝0的斜率为k＝，故过点(2，0)且与直线2x－4y－1＝0平行的直线方程为y－0＝(x－2)，化简得x－2y－2＝0．] 5．B　[由得即所求圆的圆心坐标为(1，1)．由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1．] 6．A　[若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a，0)，所以由2a＋0－1＝0解得a＝．] 7．B　[将圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化成标准方程，得＋(y＋1)2＝1－， ∴r2＝1－，当圆取得最大面积时，k＝0，半径r＝1， 因此直线y＝(k－1)x＋2， 即y＝－x＋2，直线的倾斜角α满足tan α＝－1，∴α＝135°．] 8．A　[依题意得圆C的半径r＝＝4，所以圆C的方程为x2＋y2＝16． 因为PA，PB是圆C的两条切线， 所以OA⊥AP，OB⊥BP，所以A，B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为(8，b)，b∈R，则线段OP的中点坐标为，所以以OP为直径的圆的方程为(x－4)2＋＝42＋，b∈R，化简得x2＋y2－8x－by＝0，b∈R，因为AB为两圆的公共弦，所以直线AB的方程为8x＋by＝16，b∈R，即8(x－2)＋by＝0，所以直线AB恒过定点(2，0)．] 9．ACD　[当a＝0时，两直线方程分别为y＝1和x＝2，此时也满足直线相互垂直，故A说法错误；直线的斜率k＝－sin α，则－1k1，即－1tan θ1，则θ∈，故B说法正确；当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程为x＝x1或y＝y1，此时直线方程＝不成立，故C说法错误；若直线过原点，则直线方程为y＝x，此时也满足条件，故D说法错误，故选ACD．] 10．AB　[过P点作圆的两条切线，切点分别是A，B，依题意得，四边形PACB是正方形，又C：(x－2)2＋y2＝4， ∴|PC|＝|AC|＝2， ∴P点在以C(2，0)为圆心，2为半径的圆上． 其方程为(x－2)2＋y2＝8． 依题意得，直线y＝k(x＋1)与圆(x－2)2＋y2＝8有公共点， ∴2，解得k2－80⇒－2k2． 故选项AB正确．] 11．CD　[对于A，设z＝y－x，则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时， ，解得－－2z－2，所以y－x的最大值为－2，故A说法正确；对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋，所以x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，故B说法正确；对于C，的几何意义是表示圆上的点与原点连线的斜率，则的最大值为tan 60°＝，故C说法错误；对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，，解得－＋2m＋2，所以x＋y的最大值为＋2，故D说法错误．故选CD．] 12．60°　[如图，圆的方程可化为x2＋(y－6)2＝9，圆心为P(0，6)，半径为3，过原点O作圆P的两条切线，切点分别为A，B． 在Rt△PAO中，|OP|＝6，|PA|＝3， 所以∠AOP＝30°，故这两条切线的夹角为60°．] 13．(2，－1)　(x－1)2＋y2＝2　[根据题意，直线l：mx－y－2m－1＝0，即m(x－2)＝y＋1， 由解得即直线l经过定点(2，－1)．记点(2，－1)，(1，0)分别为点M，点C， 则|MC|＝＝ ． 以点(1，0)为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大时，r＝|MC|＝． 故半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2．] 14．2　[设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝．由S△ABC＝，得＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以为2．] 15．解：　(1)由得 所以交点坐标为(－2，2)， 设直线l的方程为3x＋y＋c＝0(c≠－1)， 把点(－2，2)代入方程得c＝4， 所以直线l的方程为3x＋y＋4＝0． (2)由(1)知，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2， 此时点A(3，1)到直线l的距离为5，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋2＝0，则点A(3，1)到直线l的距离d＝＝＝5，解得k＝， 所以直线l的方程为12x－5y＋34＝0． 综上，直线l的方程为x＝－2或12x－5y＋34＝0． 16．解：　(1)顶点C到斜边AB的距离 d＝＝＝2， 所以斜边|AB|＝2d＝4， 故△ABC的面积S＝×|AB|×d ＝×4×2＝20． (2)由题意知，CD⊥AB，又kAB＝－，所以kCD＝2， 所以直线CD的方程为y＝2x－1，即2x－y－1＝0， 由解得 所以点D的坐标为(2，3)． 17．解：　(1)圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝5，所以圆C的圆心为C(0，1)，半径r＝，圆心C(0，1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离d＝＝<1<，因此直线l与圆C相交． (2)设圆心到直线l的距离为d，则d＝＝，又d＝， 所以＝，解得m＝±1，所以所求直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0． 18．解：　(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m， ∵此方程表示圆，∴5－m>0，∴m<5． (2)由消去x，得(4－2y)2＋y2－2(4－2y)－4y＋m＝0， 化简得5y2－16y＋m＋8＝0． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 又＝(x1，y1)，＝(x2，y2)， 由⊥得·＝0， ∴x1x2＋y1y2＝0， 即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0， ∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0， 将①②代入上式得 16－8×＋5×＝0， 解得m＝． 19．解：　(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 依题意得解得 所以圆C的方程为x2＋y2－6x＋4y＋4＝0． (2)假设符合条件的实数a存在． 因为l垂直平分弦AB，故圆心C(3，－2)必在直线l上， 所以l的斜率kPC＝－2，kAB＝a＝－，所以a＝． 由圆C的半径r＝3，圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝>3， 所以不存在这样的实数a，使得过点P(2，0)的直线l垂直平分弦AB． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $