第2章 2.3.1 两条直线平行与垂直的判定（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“两条直线平行与垂直的判定”核心知识点，系统梳理了基于斜率（相等且截距不等、斜率之积为-1）、特殊情况（斜率不存在）及一般式方程（系数关系）的判定条件，并衔接直线方程求解与几何图形形状判定等应用，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料以过山车轨道等现实情境导入，通过问题链引导学生推理平行垂直的斜率关系，结合分层例题（如判断直线位置关系、求方程、判定直角梯形）培养数学眼光与思维。课中助力教师引导探究，课后通过跟踪训练与小结帮助学生巩固知识，查漏补缺。

2.3.1　两条直线平行与垂直的判定 学习目标　1.理解并掌握两条直线平行或垂直的条件.2.会运用条件判定两条直线是否平行或垂直.3.运用两条直线平行或垂直时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题. 导语 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，你能感受到过山车中的平行吗？两条直线的平行用什么来刻画呢？ 一、两条直线平行的判定 问题1　平面中的两条平行直线被x轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示　两直线平行，倾斜角相等. 知识梳理　两条直线平行的判定 (1)对于两条直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2，l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2. (2)如果直线l1，l2的斜率都不存在，即它们都与x轴垂直，则只需它们在x轴上的截距不相等，此时仍有l1∥l2. (3)已知不重合的两条直线l1，l2的一般式方程分别为l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1∥l2⇔法向量(或方向向量)平行⇔A1B2-A2B1=0⇔A2=λA1，B2=λB1，λ为非零实数. 注意点： (1)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合. (2)k1=k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (3)l1∥l2⇒k1=k2或两条直线的斜率都不存在. 例1　判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)l1：y=2x+3，l2：2x-y+5=0； (2)l1：y=2x+1，l2：x-2y=0； (3)l1：x=3，l2：x=10； (4)l1：y=2x+1，l2：2x-y+1=0. 解　设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2. (1)因为k1=k2=2，b1=3，b2=5，b1≠b2， 所以l1∥l2. (2)因为k1=2，k2=，k1≠k2. 所以l1与l2不平行. (3)由两直线的方程可知，l1∥y轴， l2∥y轴，且两直线在x轴上的截距不相等， 所以l1∥l2. (4)因为k1=k2=2，b1=b2=1， 所以l1与l2重合. 反思感悟　判断两条不重合的直线是否平行的方法 跟踪训练1　若过点P(3，2m)和点Q(-m，2)的直线与过点M(2，-1)和点N(-3，4)的直线平行，则m的值是(　　) A. B.- C.2 D.-2 答案　B 解析　由题意知，直线PQ的斜率存在， 由kPQ=kMN， 即=， 得m=-. 经检验知，m=-符合题意. 二、两条直线垂直的判定 问题2　若两条垂直直线的斜率都存在，那么它们的斜率有怎样的关系呢？ 提示　如图，如果直线l1⊥l2(l1，l2都不与x轴垂直)，那么直线l1，l2的倾斜角α1，α2中必定一个是锐角，另一个是钝角.不妨设α2是钝角，则α2=α1+，从而k2=tan α2=tan=-=-，即k1k2=-1. 问题3　如果两条直线斜率的乘积为-1，这两条直线互相垂直吗？ 提示　两条直线互相垂直. 知识梳理 1.两条直线垂直的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2=-1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 2.已知不重合的两条直线的一般式方程为l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2⇔法向量(或方向向量)垂直⇔(A1，B1)·(A2，B2)=A1A2+B1B2=0. 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在. (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2=-1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率. 例2　判断下列两条直线是否垂直. (1)直线l1的斜率为-10，直线l2经过点A(10，2)，B(20，3)； (2)直线l1经过点A(3，4)，B(3，7)，直线l2经过点P(-2，4)，Q(2，4)； (3)直线l1的法向量为(1，2)，直线l2的法向量为(2，-1). 解　(1)直线l1的斜率k1=-10，直线l2的斜率k2==， 因为k1k2=-10×=-1， 所以l1与l2垂直. (2)直线l1的斜率不存在， 故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0， 故直线l2与x轴平行， 所以l1与l2垂直. (3)因为1×2-1×2=0，所以l1与l2的法向量垂直，所以l1与l2垂直. 反思感悟　判断两条直线是否垂直的方法 (1)在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可. (2)若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. (3)若两条直线的法向量垂直，则这两条直线垂直. 跟踪训练2　(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　) A.l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5) B.l1的斜率为-，l2过点P(1，1)，Q C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2) D.l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3) 答案　ABD 解析　A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行， 故两直线垂直； B中，l2过点P(1，1)，Q， kPQ=，故两条直线垂直. C中，kPQ=，故l1不与l2垂直. D中，l1过点M(1，0)，N(4，-5)，kMN=-， l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)， kPQ=，故两条直线垂直. 三、根据平行或垂直求直线的方程 例3　已知直线过点P(2，1). (1)若直线与3x-2y+4=0平行，求直线的方程； (2)若直线与3x-2y+4=0垂直，求直线的方程. 解　(1)若直线与直线3x-2y+4=0平行， 设所求直线方程为3x-2y+C=0(C≠4)， 将点P的坐标代入所求直线方程得 3×2-2×1+C=0. 解得C=-4， 故所求直线方程为3x-2y-4=0. (2)方法一　直线3x-2y+4=0的斜率为k1=， 设所求直线的斜率为k2，则k1k2=-1， 可得k2=-， 故所求直线方程为y-1=-(x-2)， 即2x+3y-7=0. 方法二　由题意，设所求直线的方程为2x+3y+C1=0， 因为直线过点P(2，1)，将其坐标代入上述方程可得4+3+C1=0， 解得C1=-7， 故所求的直线方程为2x+3y-7=0. 反思感悟　已知直线l的一般方程为Ax+By+C=0(A，B不同时为0). (1)与直线l平行的直线的方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C)； (2)与直线l垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+C2=0. 跟踪训练3　与直线3x+4y+1=0平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程为　　　　　　　　.  答案　3x+4y-4=0 解析　方法一　由题意，设所求直线的方程为 3x+4y+m=0(m≠1).令x=0， 得y=-； 令y=0，得x=-， 所以-+=， 解得m=-4， 所以所求直线的方程为3x+4y-4=0. 方法二　由题意知，所求直线不过原点，即在两坐标轴上的截距都不为0. 故可设所求直线的方程为+=1(a≠0，b≠0)， 则有 解得 故所求直线的方程为3x+4y-4=0. 四、直线平行与垂直的综合应用 例4　已知A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状. 解　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图， 由斜率公式可得 kAB==，kCD==，kAD==-3， kBC==-， ∴kAB=kCD，且直线AB与CD不重合， ∴AB∥CD. 由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行. 又kAB·kAD=×(-3)=-1， ∴AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形. 反思感悟　(1)利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤 (2)判定几何图形形状的注意点 ①在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜想其形状，以明确证明的目标. ②证明两直线平行时，仅有k1=k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况. ③判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况. 跟踪训练4　已知点A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形. 解　设所求点D的坐标为(x，y)， 如图所示，由于kAB=3， kBC=0， ∴kAB·kBC=0≠-1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰. (1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD， AD⊥CD， ∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，从而有x=3. 又kAD=kBC， ∴=0，即y=3， 此时AB与CD不平行， 故所求点D的坐标为(3，3). (2)若AD是直角梯形的直角腰， 则AD⊥AB，AD⊥CD， ∵kAD=，kCD=， ∴ 解得 ∴点D的坐标为. 综上，点D的坐标为(3，3)或. 1.知识清单： (1)两直线平行、垂直的条件. (2)求与已知直线平行、垂直的直线方程. (3)直线平行与垂直的综合应用. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：研究两直线垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 1.已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1∥l2，则直线l2的斜率为(　　) A. B.- C. D.- 答案　C 解析　因为l1∥l2，所以==tan 30°=. 2.若直线x+ay-7=0与直线(a+1)x+2y-14=0平行，则a的值是(　　) A.1 B.-2 C.1或-2 D.-1或2 答案　B 解析　由已知，得a(a+1)-2=0，解得a=-2或a=1.当a=1时，两直线重合，∴a=-2. 3.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　) A. B.- C.a D.不存在 答案　BD 解析　当a≠0时，由k1k2=-1知，k2=-， 当a=0时，l2的斜率不存在. 4.已知A(2，3)，B(1，-1)，C(-1，-2)，点D在x轴上，则当点D的坐标为　　　　　　　时，AB⊥CD.  答案　(-9，0) 解析　设点D(x，0)，因为kAB==4≠0， 所以直线CD的斜率存在. 则由AB⊥CD 知，kAB·kCD=-1， 所以4·=-1， 解得x=-9，所以D(-9，0). 课时对点练　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.过点A(2，5)和点B(-4，5)的直线与直线y=3的位置关系是(　　) A.相交但不垂直 B.平行 C.重合 D.垂直 答案　B 解析　斜率都为0且不重合，所以平行. 2.若直线l1的斜率k1=，直线l2经过点A(3a，-2)，B(0，a2+1)，且l1⊥l2，则实数a的值为(　　) A.1 B.3 C.0或1 D.1或3 答案　D 解析　因为l1⊥l2， 所以k1k2=-1， 即×=-1， 解得a=1或a=3. 3.已知直线l经过点P(2，1)，且与直线2x+3y+1=0垂直，则直线l的方程为(　　) A.2x+3y-7=0 B.3x+2y-8=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-4=0 答案　D 解析　由题意知，直线2x+3y+1=0的斜率k=-，故kl=， 所以直线l的方程为y-1=(x-2)， 整理得3x-2y-4=0. 4.设不同直线l1：2x-my-1=0，l2：(m-1)x-y+1=0，则“m=2”是“l1∥l2”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　C 解析　当m=2时，易知两直线平行，即充分性成立.当l1∥l2时，显然m≠0，从而有=m-1， 解得m=2或m=-1，但当m=-1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，所以“m=2”是“l1∥l2”的充要条件. 5.(多选)三条直线x+y=0，x-y=0，x+ay=3可以围成三角形，则a的取值可以是(　　) A.-1 B.1 C.2 D.5 答案　CD 解析　直线x+y=0与x-y=0都经过原点，而无论a为何值，直线x+ay=3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay=3与另两条直线不平行，所以a≠±1. 6.(多选)设平面内四点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，则下面四个结论正确的是(　　) A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS 答案　ABD 解析　由题意计算得， kPQ==-，kSR==-，kPS==，kQS==-4，kPR==， ∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS， ∴PS与QS不平行. 7.(5分)直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根，若l1⊥l2，则m=　　　　　　，若l1∥l2，则m=　　　　　　.  答案　-2　2 解析　直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根， 则m≤2， 所以k1k2=， 若l1⊥l2， 则k1k2==-1，得m=-2； 若l1∥l2，则k1=k2， 所以Δ=16-8m=0， 解得m=2. 8.(5分)小明研究一张坐标纸中四点A(-4，m)，B(1，0)，C(3，0)，D(2，n)的关系时，发现直线AB与CD的方向向量互相垂直，则mn=　　　　　.  答案　-5 解析　因为直线AB与CD的方向向量互相垂直，所以直线AB与CD的斜率之积为-1， 又A(-4，m)，B(1，0)，C(3，0)，D(2，n)， 所以·=-1，整理得mn=-5. 9.(10分)已知直线l1经过A(m，3)，B(1，m)两点，l2经过P(2，1)，Q(4，2)两点. (1)若l1∥l2，求m的值；(5分) (2)若l1，l2的倾斜角互余，求m的值.(5分) 解　(1)kPQ==， 因为l1∥l2， 所以kAB==kPQ=，得m=， 经检验，符合题意， 所以m=. (2)因为l1，l2的倾斜角互余， 设l1的倾斜角为α，则直线l2的倾斜角为-α， 所以kAB===2，得m=. 10.(10分)已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4). (1)求点D的坐标；(5分) (2)试判定▱ABCD是否为菱形.(5分) 解　(1)设点D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形， 所以kAB=kCD，kAD=kBC， 所以 解得 所以D(-1，6). (2)因为kAC==1，kBD==-1， 所以kAC·kBD=-1， 所以AC⊥BD， 所以▱ABCD为菱形. 11.已知A(1，-1)，B(2，2)，C(3，0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则点D的坐标为(　　) A.(-1，0) B.(0，-1) C.(1，0) D.(0，1) 答案　D 解析　设D(x，y)， 则kCD==，kAD=， kAB==3，kCB==-2， 又CD⊥AB，CB∥AD， ∴ ∴ ∴ ∴即D(0，1). 12.(多选)已知直线l的一个方向向量为u=(1，-)，且l经过点(1，-2)，则下列结论中正确的是(　　) A.l的倾斜角等于150° B.l在x轴上的截距等于 C.l与直线x-3y+2=0垂直 D.l与直线x+y+2=0平行 答案　CD 解析　因为直线l的一个方向向量为u=(1，-)， 所以直线l的斜率k=-， 因为直线l经过点(1，-2)， 所以直线l的方程为y+2=-(x-1)， 即x+y+2-=0. 对于A，设直线l的倾斜角为θ， 则tan θ=-， 因为0°≤θ<180°，所以θ=120°，所以A错误； 对于B，当y=0时，2=-(x-1)， 得x=1-，所以直线l在x轴上的截距等于1-，所以B错误； 对于C，因为直线x-3y+2=0的斜率为， 且×(-)=-1， 所以直线l与直线x-3y+2=0垂直，所以C正确； 对于D，因为直线x+y+2=0的斜率为-， 且在y轴上的截距为-2， 而直线l的斜率为-， 且在y轴上的截距为-2， 所以直线l与直线x+y+2=0平行，所以D正确. 13.(5分)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　　　　　　，　　　　　　.  答案　　-3 解析　设正方形一条边所在的直线倾斜角为α，则tan=2⇒=2， 解得tan α=，故k=， 根据垂直关系可得另一条边的斜率为-=-3， 所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，-3. 14.(5分)已知m，n为正数，且直线x-(n-2)y+5=0与直线nx+my-3=0互相垂直，则m+2n的最小值为　　　　　　.  答案　9 解析　∵直线x-(n-2)y+5=0与直线nx+my-3=0互相垂直， ∴n-(n-2)m=0， ∴2m+n=mn， ∴+=1，∴m+2n=(m+2n) =5++≥5+2=9， 当且仅当m=n=3时取等号， 故m+2n的最小值为9. 15.(5分)已知集合A={(x，y)|x+ay-a=0}，B={(x，y)|ax+(2a+3)y-1=0}.若A∩B=∅，则实数a=　　　　.  答案　3 解析　因为A∩B=∅，所以直线x+ay-a=0与直线ax+(2a+3)y-1=0没有交点， 所以直线x+ay-a=0与直线ax+(2a+3)y-1=0互相平行， 所以1×(2a+3)-a×a=0，解得=-1或a=3， 当a=-1时，两直线方程分别为x-y+1=0，-x+y-1=0，此时两直线重合，不满足； 当a=3时，两直线方程分别为x+3y-3=0，3x+9y-1=0，此时两直线平行，满足， 所以a的值为3. 16.(12分)已知平面内两点A(8，-6)，B(2，2). (1)求AB的中垂线方程；(4分) (2)求过点P(2，-3)且与直线AB平行的直线l的方程；(3分) (3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程.(5分) 解　(1)因为=5，=-2， 所以AB的中点坐标为(5，-2)， 又kAB==-， 所以AB的中垂线的斜率为， 故AB的中垂线的方程为y+2=(x-5)， 即3x-4y-23=0. (2)由(1)得kAB=-， 所以直线l的方程为y+3=-(x-2)， 即4x+3y+1=0. (3)设B(2，2)关于直线l的对称点B'(m，n)， 所以 解得 所以B'，kB'A==-； 由点斜式可得反射光线所在直线的方程为 y+6=-(x-8)， 整理得11x+27y+74=0. 学科网（北京）股份有限公司 $