第2章 2.2.3 直线的一般式方程 2.2.4 直线的方向向量与法向量（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本高中数学讲义聚焦直线的一般式方程及方向向量、法向量，衔接已学的点斜式、斜截式等特殊形式，通过问题探究明确二元一次方程与直线的对应关系，构建从特殊到一般的知识支架，深化对直线方程的系统理解。 资料以问题驱动引导学生用数学眼光观察直线与方程的联系，通过例题中参数讨论和方程转化培养数学思维的严谨性，结合跟踪训练与课时对点练，助力课堂教学效果提升，课后可帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

2.2.3　直线的一般式方程 2.2.4　直线的方向向量与法向量 学习目标　1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)都表示一条直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.4.掌握直线的方向向量与法向量，并会用直线的方向向量与法向量求直线方程. 导语 前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，可以发现它们都是二元一次方程.现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？ 一、直线的一般式方程 问题1　平面直角坐标系中的任何一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程吗？ 提示　是.当直线斜率存在时，由点斜式方程y-y0=k(x-x0)可知是关于x，y的二元一次方程；当斜率不存在时，x-x0=0也可以认为是y的系数为0的二元一次方程. 问题2　每一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线吗？ 提示　可以.任意一个二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)，当B≠0时，y=-x-表示一条直线；当B=0时，x=-也表示一条直线. 知识梳理 1.二元一次方程与直线的关系 平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)来表示；反之，在平面直角坐标系中，任意一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示一条直线. 2.方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)称为直线的一般式方程，简称一般式. 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程； ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列； ③x的系数一般不为分数和负数. (2)当直线方程Ax+By+C=0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax+By+C=0有如下性质： ①当A≠0，B≠0时，直线与两坐标轴都相交； ②当A≠0，B=0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A=0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A=0，B≠0，C=0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B=0，C=0时，直线与y轴重合. 例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)经过A(-1，5)，B(2，-1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为-3，-1； (4)经过点B(4，2)，且平行于x轴. 解　(1)由点斜式，得直线的方程为 y-3=(x-5)， 即x-y-5+3=0. (2)由两点式，得直线的方程为 =， 即2x+y-3=0. (3)由截距式方程，得直线的方程为 +=1， 即x+3y+3=0. (4)y-2=0. 反思感悟　求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式. 跟踪训练1　根据下列条件分别写出直线的一般式方程. (1)经过两点A(5，7)，B(1，3)； (2)经过点(-4，3)，斜率为-3； (3)经过点(2，1)，平行于y轴； (4)斜率为2，在x轴上的截距为1. 解　(1)由两点式，得直线的方程为 =， 即x-y+2=0. (2)由点斜式，得直线的方程为y-3=-3(x+4)， 即3x+y+9=0. (3)由题意知，直线的方程为x=2， 即x-2=0. (4)由点斜式，得直线的方程为y=2(x-1)， 即2x-y-2=0. 二、直线一般式方程的应用 例2　设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 解　(1)当直线l过原点时， 直线l在x轴和y轴上的截距均为0， ∴a=2，此时直线l的方程为3x+y=0； 当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分别为，a-2， ∴=a-2， 解得a=0或a=2(舍去)， ∴直线l的方程为x+y+2=0. 综上所述， 直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0. (2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2， ∵l不经过第二象限， ∴解得a≤-1. 综上可知，实数a的取值范围是(-∞，-1]. 反思感悟　含参数的直线方程的研究策略 (1)若方程Ax+By+C=0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x=0可得直线在y轴上的截距.令y=0可得直线在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式. (3)解分式方程要注意验根. 跟踪训练2　设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.根据下列条件分别确定m的值： (1)直线l在x轴上的截距为-3； (2)直线l的斜率为1. 解　(1)由题意知m2-2m-3≠0， 即m≠3且m≠-1，令y=0， 得x=， ∴=-3， 解得m=-. (2)由题意知，2m2+m-1≠0， 即m≠且m≠-1. 将直线l的方程化为斜截式方程， 得y=x+， 则=1， 解得m=-2. 三、直线的方向向量与法向量 问题3　什么叫作直线PQ的方向？ 提示　直线上两个不同点P，Q之间的有向线段的方向就是直线的方向，可以用非零向量来表示. 问题4　直线QP与PQ表示同一条直线，那么两个相反向量，的方向都代表直线PQ的方向吗？ 提示　向量，的方向都代表直线PQ的方向. 知识梳理 1.方向向量：把与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量.直线l的方向向量v并不唯一，v的所有非零实数倍λv都是方向向量；反过来，所有的方向向量都与l平行，因此它们相互平行，互为非零实数倍. 2.斜率为k的直线的全体方向向量为λ(1,k)，其中λ∈R，且λ≠0. 3.直线的法向量：与直线l垂直的非零向量n称为直线l的一个法向量. 例3　(课本例8)　求直线l：3x+4y-12=0的全体方向向量. 解　将直线方程化为斜截式，得y=-x+3，其斜率k=-. 因此直线l的全体方向向量为λ，其中λ∈R，且λ≠0. 例3　(课本例9)　写出满足下列条件的直线的方程： (1)垂直于向量(3，2)，且经过点A(2，1)； (2)经过点A(2，1)和B(5，2). 解　(1)方法一　设点(x，y)为直线上不同于点A的任意一点，直线的方向向量(x-2，y-1)垂直于向量(3，2)，则(3，2)·(x-2，y-1)=3(x-2)+2(y-1)=0， 因此直线方程为3x+2y-8=0. 方法二　由条件可知向量(3，2)为所求直线的一个法向量，故可设直线的一般式方程为3x+2y+C=0. 将点A(2，1)的坐标代入上述方程，得3×2+2×1+C=0， 解得C=-8. 因此直线方程为3x+2y-8=0. (2)由条件可知直线的一个方向向量=(5-2，2-1)=(3，1). 又1×3+(-3)×1=0，可知直线的一个法向量n=(1，-3). 因此可设直线的一般式方程为x-3y+C=0. 将点A(2，1)的坐标代入上述方程，得2-3×1+C=0，解得C=1. 因此直线方程为x-3y+1=0. 例3　(1)求直线4x-y+5=0的全体方向向量. 解　将直线4x-y+5=0化为斜截式为y=4x+5， 其斜率k=4， 因此，该直线的全体方向向量为λ(1，4)，其中λ为任意非零实数. (2)求下列直线的方程： ①经过点(2，1)，且垂直于n=(2，-3)； ②经过点(2，-3)，且平行于v=(2，4). 解　①由题意知， 直线的一个法向量为n=(2，-3)， ∴设直线的一般式方程为2x-3y+C=0， 代入点(2，1)得4-3+C=0， 解得C=-1， ∴直线的方程为2x-3y-1=0. ②方法一　由题意知，直线的一个方向向量为v=(2，4)，∴k==2， 故所求直线的方程为y+3=2(x-2)， 即2x-y-7=0. 方法二　由题意知， 直线的一个方向向量为v=(2，4)， ∴直线的一个法向量为n=(4，-2)， 故设直线的一般式方程为4x-2y+C=0，代入点(2，-3)，得8+6+C=0， 解得C=-14， ∴所求直线的方程为4x-2y-14=0， 即2x-y-7=0. 反思感悟　已知直线的方向向量或法向量求直线方程的思想 (1)若已知直线的法向量(m，n)，可直接设直线的方程为mx+ny+C=0，然后代点求C. (2)若已知直线的方向向量，可先求直线的斜率，然后利用点斜式求直线的方程，但需要考虑斜率不存在的情况，或转化为直线的法向量. 跟踪训练3　(1)若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个法向量是(　　) A.(1，-1) B.(1，1) C.(-1，1) D.(2，-) 答案　B 解析　∵直线l的倾斜角为135°，∴直线l的斜率k=-1，∴直线l的一个方向向量为(1，-1)，则直线l的一个法向量为(1，1). (2)写出满足下列条件的直线的方程. ①经过点A(1，1)和B(3，2)； ②平行于向量(2，5)，并且经过点A(1，2). 解　①由已知条件可知直线的一个方向向量=(2，1)， ∴直线的一个法向量n=(1，-2). 因此可设直线的一般式方程为x-2y+C=0， 代入A(1，1)，得C=1， ∴所求直线的方程为x-2y+1=0. ②∵所求直线平行于向量(2，5)， ∴所求直线的斜率为. 又直线经过点A(1，2)， ∴所求直线的方程为y-2=(x-1)， 整理得5x-2y-1=0. 1.知识清单： (1)直线的一般式方程. (2)直线的方向向量和法向量. (3)直线一般式方程的应用. 2.方法归纳：分类讨论法、化归转化. 3.常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况. 1.若方程Ax+By+C=0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　) A.A≠0 B.B≠0 C.A·B≠0 D.A2+B2≠0 答案　D 2.若直线l的一个方向向量为a=(-2，6)，则直线l的斜率是(　　) A. B.- C.3 D.-3 答案　D 解析　因为a=(-2，6)，所以kl==-3. 3.(多选)过点(2，1)，且斜率k=-2的直线方程为(　　) A.x-1=-2(y-2) B.2x+y-1=0 C.y-1=-2(x-2) D.2x+y-5=0 答案　CD 解析　由题意知直线方程为y-1=-2(x-2)，化为一般式为2x+y-5=0. 4.若直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°，则实数m的值是　　　　.  答案　3 解析　由已知得 ∴m=3. 课时对点练　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.过点(-3，0)和(0，4)的直线的一般式方程为(　　) A.4x+3y+12=0 B.4x+3y-12=0 C.4x-3y+12=0 D.4x-3y-12=0 答案　C 解析　由截距式方程得直线的方程为+=1，整理得4x-3y+12=0. 2.在平面直角坐标系中，直线x+y-3=0的倾斜角是(　　) A.30° B.60° C.150° D.120° 答案　C 解析　直线斜率k=-，所以倾斜角为150°. 3.直线x-y-1=0与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B.2 C.1 D. 答案　D 解析　令x=0，解得y=-1；令y=0，解得x=1，所以S=×1×1=. 4.直线的一个方向向量为v=(1，-3)，且经过点(0，2)，则直线的方程为(　　) A.3x-y+2=0 B.3x+y-2=0 C.3x+y+2=0 D.3x-y-2=0 答案　B 解析　方法一　∵直线的一个方向向量为v=(1，-3)，∴k=-3， ∴直线的方程为y=-3x+2， 即3x+y-2=0. 方法二　由题意知直线的一个法向量为n=(3，1)，∴直线的方程可设为3x+y+C=0，将点(0，2)代入得C=-2，故所求直线的方程为3x+y-2=0. 5.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　) A.-，-1 B.，-1 C.-，1 D.，1 答案　A 解析　原方程化为+=1， ∴=-1，∴b=-1. 又∵ax+by-1=0的斜率k=-=a， 且x-y-=0的倾斜角为60°， ∴k=tan 120°=-，∴a=-. 6.(多选)已知直线l：x+y+3=0，则下列结论正确的是(　　) A.直线l的倾斜角为 B.直线l的一个法向量为(，-1) C.直线l的一个方向向量为(1，-) D.直线l的斜率为- 答案　CD 解析　由题意可得直线l的斜率k=-，故D正确；所以直线l的倾斜角为，故A错误；直线l的一个方向向量为(1，-)，故C正确；直线l的一个法向量为(，1)，又(，-1)与(，1)不平行，故B错误. 7.(5分)斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为　　　　　　.  答案　2x-y+1=0 解析　直线的点斜式方程为y-3=2(x-1)，整理可得直线的一般式方程为2x-y+1=0. 8.(5分)已知直线(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为　　　　.  答案　- 解析　把(3，0)代入已知方程， 得(a+2)×3-2a=0， ∴a=-6， ∴直线方程为-4x+45y+12=0， 令x=0，得y=-. 9.(10分)若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直线. (1)求实数m需满足的条件；(5分) (2)若该直线的斜率k=1，求实数m的值.(5分) 解　(1)由解得m=2. 又方程表示直线时，m2-3m+2与m-2不同时为0， 故m≠2. (2)由题意知，m≠2， 由-=1，解得m=0. 10.(11分)已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0和y-1=0，求△ABC各边所在直线的方程. 解　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线BE：y-1=0上， ∴设点B的坐标为(x，1). 又∵点A的坐标为(1，3)，D为AB的中点， ∴由中点坐标公式得点D的坐标为. 又∵点D在中线CD：x-2y+1=0上， ∴-2×2+1=0，解得x=5， ∴点B的坐标为(5，1). 同理可求出点C的坐标是(-3，-1). 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x+2y-7=0，x-4y-1=0，x-y+2=0. 11.(多选)已知直线ax+by+c=0的图象如图，则(　　) A.若c>0，则a>0，b>0 B.若c>0，则a<0，b<0 C.若c<0，则a>0，b<0 D.若c<0，则a>0，b>0 答案　BD 解析　由直线ax+by+c=0，可得y=-x-，根据图象可得-<0，->0，∴若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0. 12.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D. 答案　D 解析　∵k=-，∴-1≤k<0. ∴倾斜角的取值范围是. 13.(5分)若点A(-2，-1)在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则+的最小值为　　　　　.  答案　8 解析　因为点A(-2，-1)在直线mx+ny+1=0上，所以2m+n=1，即+=(2m+n)=4++≥4+4=8， 当且仅当n=2m，即n=，m=时，等号成立， 故+的最小值为8. 14.(5分)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(1，0)，N(5，-3)，P是直线4x-3y-12=0上任意一点，则·=　　　.  答案　12 解析　由M(1，0)，N(5，-3)， 可得=(5，-3)-(1，0)=(4，-3)， 设P(m，n)，可得=(m，n)， 因为P是直线4x-3y-12=0上任意一点，所以4m-3n-12=0，即4m-3n=12， 所以·=4m-3n=12. 15.(5分)方程|x-1|+|y-2|=3所表示的曲线围成的图形面积为　　　　　.  答案　18 解析　当x≥1，y≥2时，原方程为x+y-6=0； 当x≥1，y<2时，原方程为x-y-2=0； 当x<1，y≥2时，原方程为x-y+4=0； 当x<1，y<2时，原方程为x+y=0. 作出上述四个方程的图象如图， 由图可知，所求面积为2××|-2-4|×|5-2|=18. 16.(12分)已知t∈R，且t∈(0，10)，由t确定两个任意点P(t，t)，Q(10-t，0). (1)直线PQ是否经过点M(6，1)？(4分) (2)在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点D在边OP上. ①求证：顶点C一定在直线y=x上；(3分) ②求图中阴影部分面积的最大值，并求此时顶点A，B，C，D的坐标.(5分) (1)解　由题意，当直线PQ的斜率不存在时， t=10-t，故t=5，此时P(5，5)，Q(5，0)， 直线PQ不经过点M(6，1)； 当直线PQ的斜率存在时，t≠5， kPQ=， 直线PQ的方程为(2t-10)y=t(x+t-10). 假设直线PQ过点M(6，1)， 则2t-10=t(6+t-10)， 即t2-6t+10=0， Δ=-4<0，方程无实根， 故直线PQ不经过点M(6，1). 综上，直线PQ不经过点M(6，1). (2)①证明　由题意设点A(a，0)，B(2a，0)， C(2a，a)，D(a，a)， 点C(2a，a)满足y=x， 故顶点C一定在直线y=x上. ②解　直线PQ的方程为(2t-10)y =t(x+t-10)， 因为P(t，t)，Q(10-t，0)， 设阴影部分的面积为S， 则S=S△OPQ-S正方形ABCD=t(10-t)-a2(0<t<10). 因为点C(2a，a)在直线PQ上， 则(2t-10)a=t(2a+t-10)， 所以a=t(10-t). 所以S=5a-a2=-+. 所以当a=， 即t=5时， 图中阴影部分的面积取得最大值，Smax=， 此时点A，B(5，0)，C，D. 学科网（北京）股份有限公司 $