第1章 数列 章末检测试卷(一)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 本卷为高中数学数列单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合古代数学文化与科技情境，全面考查等差等比数列性质及实际应用，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|等差数列公差、等比数列公比、前n项和最值|第4题结合等差数列性质判断Sn最大项，考查推理能力| |多项选择|3/18|等比数列通项、周期数列、等差数列Sn性质|第11题分析Sn=S20的性质，体现逻辑思维| |填空|3/15|古代数学文化（分钱问题）、等比数列等差中项|第12题《张邱建算经》问题，渗透文化传承| |解答|5/77|等比数列证明、错位相减求和、实际盈利模型|第18题电动汽车生产线盈利分析，培养应用意识|

章末检测试卷(一) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知数列1，，，，…，，则3是这个数列的第(　　) A.20项 B.21项 C.22项 D.23项 答案　D 解析　已知数列1，，，，…，， 则该数列的通项公式为an=， 若=3=， 即2n-1=45，解得n=23， 则3是这个数列的第23项. 2.在等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　∵a1+a5=2a3=10，∴a3=5， ∴d=a4-a3=7-5=2. 3.在等比数列{an}中，a2+a3=1，a3+a4=2，则a4+a5等于(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 答案　A 解析　由a3+a4=q(a2+a3)，可得q=2， 所以a4+a5=q(a3+a4)=4. 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a7>0，a6+a8<0，则Sn最大时n的值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　C 解析　∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a6+a7>0，a6+a8<0， ∴a6+a8=2a7<0，∴a6>0，a7<0， ∴Sn最大时n的值为6. 5.已知数列{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.若3a4，a8，5a6成等差数列，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设等比数列{an}的公比为q， 若3a4，a8，5a6成等差数列， 可得2a8=3a4+5a6， 即2a1q7=3a1q3+5a1q5， 其中a1≠0，q≠0， 得2q4-5q2-3=0， 得q2=3或q2=-(舍去)， == ==. 6.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4+a8=8(a1+a5)，a2+a6+a10=10，则S12等于(　　) A.45 B.75 C.80 D.90 答案　B 解析　设等比数列{an}的公比为q，由a4+a8=8可知a1q3+a5q3=8， 所以q=2，S12=+++ =(a2+a6+a10)+(a2+a6+a10)+q(a2+a6+a10)+q2(a2+a6+a10) = =10×=75. 7.已知数列{an}中的项都是整数，且满足an+1=若a8=1，a1的所有可能取值构成集合M，则M中的元素的个数是(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 答案　B 解析　an+1= 若a8=1，可得a7=2，a6=4， 所以a5=8或a5=1. ①若a5=8，则a4=16，a3=32或a3=5， 当a3=32时，a2=64，a1=128或a1=21； 当a3=5时，a2=10，a1=20或a1=3； ②若a5=1，则a4=2，a3=4，a2=8或a2=1， 当a2=8时，a1=16； 当a2=1时，a1=2， 故当a8=1时，a1的所有可能的取值集合M={2，3，16，20，21，128}， 即集合M中含有6个元素. 8.若数列{an}的前n项和为Sn，bn=，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn=n，设数列的前n项和为Tn，若Tn<m2-m-1对一切n∈N+恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A.(-1，3) B.[-1，3] C.(-∞，-1)∪(3，+∞) D.(-∞，-1]∪[3，+∞) 答案　D 解析　由题意，得数列{an}的前n项和为Sn， 由“均值数列”的定义可得=n， 所以Sn=n2， 当n=1时，a1=S1=1； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1， a1=1也满足an=2n-1，所以an=2n-1， 所以= =， 所以Tn= =<， 又Tn<m2-m-1对一切n∈N+恒成立， 所以m2-m-1≥， 整理得m2-2m-3≥0， 解得m≤-1或m≥3. 即实数m的取值范围为(-∞，-1]∪[3，+∞). 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.在等比数列{an}中，已知a1=3，a3=27，则数列{an}的通项公式是(　　) A.an=3n，n∈N+ B.an=3n-1，n∈N+ C.an=(-1)n-13n，n∈N+ D.an=2n-1，n∈N+ 答案　AC 解析　由a3=a1q2，得q2=9，即q=±3. ∴an=a1qn-1=3×3n-1=3n或an=a1qn-1=3×(-3)n-1=(-1)n-13n.故数列{an}的通项公式是an=3n，n∈N+或an=(-1)n-13n，n∈N+. 10.已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1=，且an+1(2-an)=2，则(　　) A.a3= B.{an}是周期数列且周期为4 C.S4= D.S21= 答案　BCD 解析　A选项，当n=1时，a2(2-a1)=2， 即a2=2，解得a2=-4， 当n=2时，a3(2-a2)=2，即a3(2+4)=2， 解得a3=，A错误； B选项，当n=3时，a4(2-a3)=2，即a4=2，解得a4=， 当n=4时，a5(2-a4)=2，即a5=2， 解得a5=，循环， 故{an}是周期数列且周期为4，B正确； C选项，S4=a1+a2+a3+a4=-4++=，C正确； D选项，由于21=4×5+1，故S21=5S4+a1=5×+=，D正确. 11.设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10=S20，则下列论断中正确的是(　　) A.当n=15时，Sn取最大值 B.当n=30时，Sn=0 C.当d>0时，a10+a22>0 D.当d<0时，|a10|>|a22| 答案　BC 解析　因为S10=S20， 所以10a1+d=20a1+d， 解得a1=-d. 所以Sn=-dn+d=n2-15nd=[(n-15)2-225]，对于选项A，因为d的正负不确定，Sn不一定有最大值，故A错误； 对于选项B，S30=30a1+d=30×+15×29d=0，故B正确； 对于选项C，a10+a22=2a16=2(a1+15d)=2=d>0，故C正确； 对于选项D，a10=a1+9d=-d+d=-d，a22=a1+21d=-d+d=d， 因为d<0， 所以|a10|=-d，|a22|=-d，|a10|<|a22|，故D错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”为今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，依此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是　　　　　.  答案　195 解析　设共有n人， 根据题意得3n+=100n， 解得n=195，所以一共有195人. 13.各项均为正数的等比数列{an}中，2a2，a4，3a3成等差数列，则=　　　　.  答案　 解析　由2a2，a4，3a3成等差数列得 2a4=2a2+3a3， 由{an}是等比数列得2a1q3=2a1q+3a1q2， 化简得2q2=2+3q， 因为{an}各项均为正数，所以q>0. 解得q=2(负值舍去). 所以====. 14.已知函数f(x)=(x+1)3+1，正项等比数列{an}满足a1 013=，则f(lg ak)=　　　　.  答案　2 025 解析　函数f(x)=(x+1)3+1的图象可看成由y=x3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 因为y=x3的对称中心为(0，0)，所以f(x)=(x+1)3+1的对称中心为(-1，1)， 所以f(x)+f(-2-x)=2， 因为正项等比数列{an}满足a1 013=，所以a1·a2 025=a2·a2 024=…==， 所以lg a1+lg a2 025=lg a2+lg a2 024=…=2lg a1 013=-2， 所以f(lg a1)+f(lg a2 025)=f(lg a2)+f(lg a2 024)=…=2， f(lg ak)=f(lg a1)+f(lg a2)+f(lg a3)+…+f(lg a2 025)， ① f(lg ak)=f(lg a2 025)+f(lg a2 024)+f(lg a2 023)+…+f(lg a1)， ② 则①②相加得 2f(lg ak)=[f(lg a1)+f(lg a2 025)]+[f(lg a2)+f(lg a2 024)]+…+[f(lg a2 025)+f(lg a1)] =2 025×2，所以f(lg ak)=2 025. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)在数列{an}中，a1=1，an+1=3an. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)数列{bn}是等差数列，Sn为{bn}的前n项和，若b1=a1+a2+a3，b3=a3，求Sn.(7分) 解　(1)因为a1=1，an+1=3an， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an=3n-1. (2)由(1)得，b1=a1+a2+a3=1+3+9=13，b3=9，则b3-b1=2d=-4，d=-2， 所以Sn=13n+×(-2)=-n2+14n. 16.(15分)在等差数列{an}中，a5-a2=6，且a1，a6，a21依次成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式；(7分) (2)设bn=，数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn=，求n的值.(8分) 解　(1)设数列{an}的公差为d， 因为a5-a2=6， 所以3d=6，解得d=2. 因为a1，a6，a21依次成等比数列， 所以=a1a21， 即(a1+5×2)2=a1(a1+20×2)， 解得a1=5， 所以an=2n+3. (2)由(1)知bn==， 所以bn=， 所以Sn= =，由=， 得n=15. 17.(15分)在数列{an}中，前n项和Sn=1+kan(k≠0，k≠1). (1)证明：数列{an}为等比数列；(5分) (2)求数列{an}的通项公式；(5分) (3)当k=-1时，求++…+.(5分) (1)证明　因为Sn=1+kan， ① Sn-1=1+kan-1(n≥2)， ② 由①-②得Sn-Sn-1=kan-kan-1(n≥2)， 所以an=an-1. 由已知可得当an=0时，Sn=1无意义， 所以an≠0. 当n=1时，S1=a1=1+ka1，所以a1=. 所以{an}是首项为，公比为的等比数列. (2)解　因为a1=，q=， 所以an=·=-. (3)解　因为在数列{an}中，a1=， 公比q=， 所以数列{}是首项为，公比为的等比数列. 当k=-1时，{}是首项为，公比为的等比数列， 所以++…+ ==×. 18.(17分)近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元. (1)引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？(8分) (2)引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？(9分) 解　(1)设引进设备n年后总盈利为f万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为an，构成等差数列， 前n年成本之和为万元， 所以f=100n-[24n+4n(n-1)+196] =-4n2+80n-196=-4+204，n∈N+， 所以当n=10时，f=204(万元)， 即引进生产线10年后总盈利最大，为204万元. (2)设n年后平均盈利为g万元， 则g(n)==-4n-+80，n∈N+， 因为g=-4+80， 当n∈N+时，n+≥2=14， 当且仅当n=，即n=7∈N+时取等号， 故n=7时，g=g=24(万元)， 即引进生产线7年后平均盈利最多，为24万元. 19.(17分)在如图所示的三角形数阵中，第n行有n个数，aij表示第i行第j个数，例如，a43表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=2，a41=a32+2，=m. (1)求m及a53；(8分) (2)记Tn=a11+a22+a33+…+ann，求Tn.(9分) 解　(1)由已知得a31=a11+(3-1)×m=2m+2， a32=a31×m=(2m+2)×m=2m2+2m， a41=a11+(4-1)×m=3m+2， ∵a41=a32+2， ∴3m+2=(2m2+2m)+2， 即m2-2m=0. 又m>0，∴m=2， ∴a51=a11+4×2=10， ∴a53=a51×22=40. (2)由(1)得an1=a11+(n-1)×2=2n. 当n≥3时，ann=an1·2n-1=n·2n.(*) 又a21=a11+2=4，a22=ma21=2×4=8. a11=2，a22=8符合(*)式， ∴ann=n·2n. ∵Tn=a11+a22+a33+…+ann， ∴Tn=1×21+2×22+3×23+4×24+…+n·2n， ① 2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1， ② 由①-②得， -Tn=21+22+23+24+…+2n-n·2n+1 =-n·2n+1 =2n+1-2-n·2n+1 =(1-n)·2n+1-2， ∴Tn=(n-1)·2n+1+2. 学科网（北京）股份有限公司 $