第1章 习题课 数列求和(一)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学数列求和核心知识点，以等差等比数列求和公式为基础，系统梳理分组求和、倒序相加法、裂项相消法三种方法，通过例题解析与反思感悟构建递进学习支架，帮助学生掌握不同求和方法的适用场景。 该资料以“数学眼光”观察数列结构（如分组求和中数列拆分为等差与等比），“数学思维”提炼方法规律（如裂项相消法总结裂项形式），“数学语言”规范解题表达。课中例题与跟踪训练结合提升教学效率，课后课时对点练助力学生查漏补缺，强化知识应用。

习题课　数列求和(一) 学习目标　1.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式.2.掌握分组求和、倒序相加法求和、裂项相消法求和等数列求和的方法. 一、分组求和 例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=t，点(Sn，an+1)在函数y=3x+1的图象上. (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？ (2)在(1)的结论下，设bn=log4an+1，cn=an+bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn. 解　(1)因为点(Sn，an+1)在函数y=3x+1的图象上， 所以an+1=3Sn+1， 当n≥2时，an=3Sn-1+1. 于是an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an， 所以an+1=4an. 又当n=1时， a2=3a1+1=3t+1， 所以当t=1时，a2=4a1，此时数列{an}是等比数列. (2)由(1)可得an=4n-1，an+1=4n， 所以bn=log4an+1=n，cn=4n-1+n， 那么Tn=c1+c2+…+cn =(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n) =(40+41+…+4n-1)+(1+2+…+n) =+. 反思感悟　分组求和的适用题型 一般情况下，形如cn=an±bn或cn=其中数列{an}与一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列的前n项和，分别利用等差数列和等比数列的前n项和公式求和即可. 跟踪训练1　设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项都为正数，且满足a1=b1=2，a3=b1+b2，S3=b3+4. (1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)记cn=(k∈N+)，求数列{cn}的前21项的和. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，正项等比数列{bn}的公比为q(q>0)，依题意， 解得d=q=2， 所以数列{an}的通项公式为an=2n， 数列{bn}的通项公式为bn=2n. (2)由(1)知，a2k-1=4k-2，数列{a2k-1}是等差数列，首项为2，公差为4， b2k=22k=4k，数列{b2k}是等比数列，首项为4，公比为4， 而cn=(k∈N+)， 则数列{cn}的前21项的和 T21=(a1+a3+…+a21)+(b2+b4+…+b20) =11×2+×4+=， 所以数列{cn}的前21项的和为. 二、倒序相加法求和 例2　已知lg(xy)=a，且S=lg xn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lg yn，求S. 解　S=lg xn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lg yn， 将上式中各项倒序排列， 得S=lg yn+lg(xyn-1)+lg(x2yn-2)+…+lg xn， 两式对应相加， 得2S=lg(xy)n+lg(xy)n+lg(xy)n+…+lg(xy)n=n(n+1)lg(xy). 因为lg(xy)=a， 所以S=n(n+1)a. 反思感悟　倒序相加法求和适合的题型 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和. 跟踪训练2　德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1+2+3+…+100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.已知数列an=，则a1+a2+…+a98等于(　　) A.96 B.97 C.98 D.99 答案　C 解析　S=a1+a2+…+a97+a98 =++…++， S=a98+a97+…+a2+a1 =++…++， 两式相加得， 2S=++…++=98×2， ∴S=98. 三、裂项相消法求和 常见的裂项求和的形式： (1)=； (2)=； (3)=-； (4)=； (5)=-； (6)ln=ln(n+1)-ln n； (7)=； (8)(-1)nlog3[n(n+1)]=(-1)n[log3n+log3(n+1)]； (9)(-1)n =(-1)n. 注意点： (1)裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系. (2)若相邻项无法相消，则采用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组. (3)检验所留的正项与负项的个数是否相同. 例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S2=2，S4=16，{an+1}是等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若an>0，设bn=log2(3an+3)，求数列的前n项和. 解　(1)设等比数列{an+1}的公比为q，其前n项和为Tn， 因为S2=2，S4=16，所以T2=4，T4=20， 易知q≠1，所以T2==4， ① T4==20， ② 由得1+q2=5，解得q=±2. 当q=2时，a1=，所以an+1=×2n-1=； 当q=-2时，a1=-5， 所以an+1=(-4)×(-2)n-1=-(-2)n+1. 所以an=-1或an=-(-2)n+1-1. (2)因为an>0，所以an=-1， 所以bn=log2(3an+3)=n+1， 所以==-， 所以数列的前n项和为 ++…+ =-=. 反思感悟　(1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的. (2)裂项原则：一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止. (3)消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项. 跟踪训练3　已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N+)，bn=an+1. (1)证明：数列{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式； (2)记数列{bn}的前n项和为Tn，证明：++…+<. 证明　(1)由an+1=2an+1， 可得an+1+1=2(an+1)， 所以{bn}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列， 所以bn=an+1=2n. (2)易得Tn==2(2n-1)， 于是==- =， 所以++…+ = =， 因为>0， 所以++…+<. 1.知识清单： (1)分组求和. (2)倒序相加法求和. (3)裂项相消法求和. 2.方法归纳：公式法、分类讨论法. 3.常见误区： 裂项相消法求和易忽略正负项个数是否相同. 1.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1=1，a2=2，且满足an+2-an=1+(n∈N+)，则该医院近30天入院治疗流感的共有(　　) A.225人 B.255人 C.365人 D.465人 答案　B 解析　当n为奇数时，an+2=an， 当n为偶数时，an+2-an=2， 所以a1=a3=…=a29=1， a2，a4，…，a30是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以S30=(a1+a3+…+a29)+(a2+a4+…+a30)=15+15×2+×2=255. 2.设Sn为数列{an}的前n项和，an=1+2+22+…+2n-1，则Sn等于(　　) A.2n-1 B.2n-1-1 C.2n-n-1 D.2n+1-n-2 答案　D 解析　∵an=1+2+22+…+2n-1= =2n-1， ∴Sn=++…+ =-n=2n+1-n-2. 3.已知数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n，则数列的前10项和等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n， 所以当n≥2时， a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1)， 两式相减得(2n-1)an=2，即an=， 又a1=2，满足此式，所以an=， ==-， 所以数列的前10项和为 ++…+=1-=. 4.已知f(x)=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f +f +…+f =　　　　.  答案　2 024 解析　f(x)+f(1-x)=+==2， 令S=f +f +…+f ， 则S=f +f +…+f ， 两式相加得，2S=2 024×2，∴S=2 024. 课时对点练　 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知数列{an}的通项公式an=，则数列{an}的前5项和S5等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为an==1-， 所以数列{an}的前5项和S5=5-=5-1+=. 2.数列1，3，5，7，…的前n项和Sn等于(　　) A.n2+1- B.n2+2- C.n2+1- D.n2+2- 答案　C 解析　数列1，3，5，7，…的通项公式为an=2n-1+， 所以Sn=++++…+=[1+3+5+…+]+=+=n2+1-. 3.已知数列{an}：，+，++，+++，…，那么数列{bn}=前n项的和为(　　) A.4 B.4 C.1- D.- 答案　A 解析　∵an===， ∴bn===4. ∴Sn=4 =4. 4.已知数列{an}的通项公式是an=2n-3，则其前20项和为(　　) A.380-× B.420-× C.400-× D.440-× 答案　B 解析　数列{an}的前20项和S20=a1+a2+…+a20=2×(1+2+…+20)-3×=2×-3×=420-×. 5.已知正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1+lg a2 025=0，若f(x)=，则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 025)等于(　　) A.2 024 B.4 048 C.2 025 D.4 050 答案　C 解析　∵正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1+lg a2 025=0， ∴lg(a1·a2 025)=0，即a1·a2 025=1. ∵函数f=， ∴f(x)+f =+==2. 令T=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 025)， 则T=f(a2 025)+f(a2 024)+…+f(a1)， ∴2T=f(a1)+f(a2 025)+f(a2)+f(a2 024)+…+f(a2 025)+f(a1)=2×2 025， ∴T=2 025. 6.数列{an}满足a1=1，且对于任意的n∈N+都满足 an+1=，则数列{anan+1}的前n项和为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　依题意，由an+1=，a1=1， 得an≠0，=+3， 故数列是首项为1，公差为3的等差数列， 所以=1+3(n-1)=3n-2， 即an=， 则anan+1= =， 所以数列{anan+1}的前n项和为 ==. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.数列{an}是首项为1的正项数列，an+1=2an+3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A.a3=13 B.数列是等比数列 C.an=4n-3 D.Sn=2n+1-n-2 答案　AB 解析　∵an+1=2an+3，∴an+1+3=2，又a1+3=4，∴数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故B正确； ∴an+3=4×2n-1=2n+1， ∴an=2n+1-3，故C错误； ∴a3=13，故A正确；∴Sn=-3n=2n+2-3n-4，故D错误. 8.已知数列{an}满足an=(n∈N+)，bn=.若T100=b1+++…+，则(　　) A.bn= B.bn= C.T100= D.T100= 答案　BC 解析　由an=，可得=n， 从而bn=，故A错误，B正确； 所以==-， 则T100=b1+++…+ =1-+-+-+…+- =1-=， 故C正确，D错误. 9.记数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　) A.若{an}是等差数列，且a3=3，S4=10，则= B.若{an}是等差数列，且a3=3，S4=10，则= C.若{an}是各项均为正数的等比数列，且2a1+3a2=1，=9a2a6，令bn=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3an，则= D.若{an}是各项均为正数的等比数列，且2a1+3a2=1，=9a2a6，令bn=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3an，则=- 答案　AD 解析　对于A，B，设等差数列{an}的公差为d， 则由得 ∴Sn=n·1+×1=， ==2， ∴=+++…+ =2 =2=， ∴A正确，B错误； 对于C，D，设等比数列{an}的公比为q， 由=9a2a6得=9. ∵{an}各项均为正数， ∴a3=3a4，∴q==. ∵2a1+3a2=1，∴2a1+3a1×=1，解得a1=. ∴an=， bn=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3an =-(1+2+3+…+n)=-， ∴=-=-2， ∴=+++…+ =-2 =-2=-， ∴C错误，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=　　　　.  答案　44.5 解析　设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°， ① 将①式右边反序得， S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°， ② ①+②得， 2S=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin289°+sin21°) =(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin289°+cos289°)=89， ∴S=44.5. 11.数列{an}的通项公式an=，则该数列的前n项和Sn=　　　　　　　　.  答案　- 解析　an= = ==-， ∴Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an =(-)+(-)+(-)+…+(-)+(-) =-. 12.数列{an}满足，n∈N+，其前n项和为Sn，若Sn<M恒成立，则M的最小值为　　　　.  答案　 解析　an==， 可得其前n项和 Sn= =， 由>0，可得Sn<， 由Sn<M恒成立，可得M≥， 即M的最小值为. 四、解答题(共27分) 13.(13分)设函数f(x)=1+ln，设a1=1，an=f +f +f +…+f (n∈N+，n≥2). (1)计算f(x)+f(1-x)的值；(4分) (2)求数列{an}的通项公式.(9分) 解　(1)f(x)+f(1-x)=1+ln+1+ln=2. (2)由题知，当n≥2时，an=f +f+f+…+f ， 又an=f +f +…+f ， 两式相加得 2an=+ +…+ =2(n-1)， 所以an=n-1， 又a1=1不符合an=n-1， 所以an= 14.(14分)已知数列{an}的前n项和为Sn，an=2-Sn，n∈N+. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)是否存在实数λ，使数列为等差数列？若存在，求出λ的值：若不存在，请说明理由；(4分) (3)已知数列{bn}满足bn=，其前n项和为Tn，求使得<Tn<对所有n∈N+都成立的自然数m的值.(6分) 解　(1)因为数列{an}的前n项和为Sn， an=2-Sn，n∈N+， 当n=1时，有a1=2-S1=2-a1，解得a1=1， 当n≥2时，由an=2-Sn，可得an-1=2-Sn-1， 上述两个等式作差可得an-an-1=-an， 可得an=an-1， 所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，则an=1×=. (2)由已知条件可得Sn=2-an=2-， 则Sn+λn+=2+λn+， 记cn=Sn+λn+=2+λn+， 若数列{cn}为等差数列，且c1=+1，c2=+，c3=+， 则2c2=c1+c3，即2=+1++， 解得λ=2， 此时，cn=2+2n， 所以cn+1-cn=[2+2(n+1)]-(2+2n)=2， 故当λ=2时，数列为等差数列. (3)因为bn= == ==-， 所以Tn=+++…+ =-， 因为bn>0，且Tn-Tn-1=bn>0(n≥2，n∈N+)，故数列{Tn}为递增数列， 所以Tn≥T1==，且Tn<，故对任意的n∈N+，≤Tn<， 因为不等式<Tn<对所有n∈N+恒成立， 所以解得2≤m<， 因为m∈N，则m的值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $