1.3.3 等比数列的前n项和（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和，涵盖公式（分q=1与q≠1）、函数特征（指数型与正比例函数）及性质（S_{n+m}关系、分段和等），通过知识辨析问题链（如前n项和能否为0等）衔接通项公式，构建从公式到性质再到应用的学习支架。 其亮点在于以多解法典例（如S4=1,S8=17求Sn）和性质应用（如奇偶项和、S_n与S_{3n}关系）培养逻辑推理与运算能力，结合旅游收入与投入实际问题发展数学建模，助力学生深化理解，教师可提升教学效率。

1.3 等比数列 1.3.3 等比数列的前n项和 知识点 1 等比数列的前n项和 必备知识 清单破 1.等比数列前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 求和公式 Sn=  Sn=  2.在等比数列{an}中,对于a1,an,n,q,Sn这五个量,已知其中三个量就可利用通项公式和前n项和 公式求出另外两个量. 第一章 数列 高中同步 知识点 2 等比数列前n项和的函数特征 1.当公比q>0且q≠1时,设A= ,等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1),即Sn是关于n的指数型 函数. 2.当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,即Sn是关于n的正比例函数. 第一章 数列 高中同步 　　已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则Sn有如下性质: (1)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N+. (2)当k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列;当q≠-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数 列. (3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则 =q;若项数为2n+1,则 =q. (4)当q=1时, = ;当q≠±1时, = . 知识点 3 等比数列前n项和的性质 第一章 数列 高中同步 1.等比数列的前n项和可以为0吗? 知识辨析 2.若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠0,a≠1),则数列{an}一定是等比数列吗? 3.已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,则S10,S20-S10,S30-S20,…仍是等比数列吗? 第一章 数列 高中同步 一语破的 1.可以.比如1,-1,1,-1,1,-1的和为0. 2.不一定.当q≠1时,等比数列的前n项和Sn= = - qn.可以发现当b=-1时,数列 {an}才为等比数列. 3.不是.当公比q=-1时,S10=S20=S30=0,所以S10,S20-S10,S30-S20,…不能构成等比数列,只有当q≠-1时, S10,S20-S10,S30-S20,…才能构成等比数列. 第一章 数列 高中同步 定点 1 等比数列前n项和公式及其应用 关键能力 定点破 1.当条件与结论间的联系不明显时,可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解. 2.求等比数列的前n项和时,若公比q未知,则要分q=1和q≠1两种情况,然后根据前n项和公式 的特点选择合适的公式求解. 第一章 数列 高中同步 设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S4=1,S8=17,求Sn. 典例 思路点拨    思路一:设Sn=Aqn-A(A≠0) 由S4=1,S8=17,求出A,q 求出Sn.思路二:将S4=1,S8 =17代入Sn= ,求出a1,q 求出Sn. 第一章 数列 高中同步 解析    解法一:设数列{an}的公比为q. 由S4=1,S8=17,知q≠±1, 故设Sn=Aqn-A(A≠0), ∴ 两式相除,化简得q4=16,∴q=±2. 当q=2时,A= ,Sn= (2n-1); 当q=-2时,A= ,Sn= [(-2)n-1]. 综上,Sn= (2n-1)或Sn= [(-2)n-1]. 解法二:设数列{an}的首项为a1,公比为q, 由S4=1,S8=17,知q≠±1, 第一章 数列 高中同步 ∴  两式相除并化简,得q4+1=17,∴q=±2. 当q=2时,a1= ,Sn= = (2n-1); 当q=-2时,a1=- ,Sn= = [(-2)n-1]. 综上,Sn= (2n-1)或Sn= [(-2)n-1]. 第一章 数列 高中同步 定点 2 等比数列前n项和的性质及其应用 1.恰当使用等比数列前n项和的相关性质可以避繁就简,不仅可以使运算简便,还可以避免对 公比q的讨论.解题时把握好等比数列前n项和的性质的使用条件,并结合题设条件寻找使用 性质的切入点. 2.利用等比数列前n项和的性质的答题技巧 (1)解决等比数列中高次方程问题时,为达到降幂的目的,在解方程组时经常利用两式相除,以 达到整体消元的目的. (2)在遇到奇数项的和与偶数项的和时,如果总项数为2n,要优先考虑利用S偶=S奇·q,求公比q. 第一章 数列 高中同步 (1)已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则 这个数列的项数为 (　    ) A.2　　　　    B.4　　　　    C.8　　　　    D.16 (2)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于     (　    ) A.80　　　　　B.30　　　　　C.26　　　　　D.16 典例 C B 第一章 数列 高中同步 思路点拨    (1)利用 =q直接求解. (2)思路一:由Sn,S3n求出a1,q 求出S4n.思路二:当q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列  求出S4n.思路三:易知q≠1,故可由Sn= 推出Sn,S3n,S4n之间的关系 求出S4n.思路四:令n =1,由S1=2,S3=14,求出q 求出S4n. 第一章 数列 高中同步 解析    (1)设这个等比数列为{an},其项数为2k(k∈N+),公比为q, 则其奇数项之和S奇=a1+a3+…+a2k-1=85, 偶数项之和S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=170,∴q= = =2, ∴等比数列{an}的所有项之和S2k= =22k-1=170+85=255, ∴22k=256,解得k=4, ∴这个等比数列的项数为8. (2)设等比数列{an}的公比为q, 解法一:∵S3n=14≠3×2=3Sn,∴q≠1. 由已知得Sn= =2①, 第一章 数列 高中同步 S3n= =14②,  ,得q2n+qn-6=0,即(qn+3)(qn-2)=0. ∵数列{an}的各项均为正数, ∴qn+3>0,∴qn-2=0,即q= . ∴a1= =2( -1), ∴S4n= = =2×15=30. 解法二:易知q≠-1, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,又Sn=2,S3n=14, ∴(S2n-2)2=2×(14-S2n),即 -2S2n-24=0, 第一章 数列 高中同步 解得S2n=6或S2n=-4, ∵an>0,∴S2n=6. 又∵ = =2, ∴S4n-S3n=Sn·23=16, ∴S4n=S3n+16=30. 解法三:同解法一知,q≠1, ∴S4n= =  = +qn· =Sn+qnS3n. 这个式子表示了S4n,Sn,S3n之间的关系,要求S4n,只需求出qn即可. 第一章 数列 高中同步 ∵S3n=(a1+a2+…+an)+(an+1+an+2+…+a2n)+(a2n+1+a2n+2+…+a3n)=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+q2n),∴ =1+ qn+q2n=7, ∴q2n+qn-6=0, 解得qn=2或qn=-3. ∵an>0,∴qn=2, ∴S4n=Sn+qnS3n=2+2×14=30. 解法四:注意到四个选项都是具体的数值, ∴S4n是一个与n无关的定值,不妨令n=1, 同解法一知,q≠1,则a1=S1=2,S3= =14, 即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3. 第一章 数列 高中同步 ∵an>0,∴q=2, ∴S4= =2×15=30. 第一章 数列 高中同步 定点 3 与等比数列有关的数列求和 1.分组求和法 　　分组求和法适用于解决数列通项公式可以写成cn=an+bn的形式的数列求和问题,其中数 列{an}与{bn}是等差数列或等比数列或可以直接求和的数列.其基本的解题步骤为: (1)准确拆分,根据通项公式的特征,将其分解为可以直接求和的一些数列的和. (2)分组求和,分别求出各个数列的和. (3)得出结论,对拆分后每个数列的和进行组合,解决原数列的求和问题. 第一章 数列 高中同步 2.错位相减法 　　利用等比数列求和公式的推导方法,一般可解决形如一个等差数列和一个等比数列对应 项相乘所得数列的求和问题.这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别 是等差数列和等比数列. 　　应用错位相减法的一般步骤:(1)两边同乘公比 q,写出Sn与qSn的表达式;(2)对乘公比前后 的两个式子进行错位相减,注意公比q≠1这一前提,如果不能确定公比q是不是1,应分两种情 况讨论. 第一章 数列 高中同步 已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n∈N+,且n≥2),a4=81. (1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3; (2)若数列 为等差数列,求实数p的值; (3)求数列{an}的前n项和Sn. 典例 第一章 数列 高中同步 解析    (1)由an=2an-1+2n-1(n∈N+,且n≥2),得a4=2a3+24-1=81,解得a3=33, 同理,得a2=13,a1=5. (2)∵数列 为等差数列,且 - = = =1- (n≥2,n∈N+), ∴1- 是与n无关的常数, ∴1+p=0,即p=-1. (3)由(2)知,等差数列 的公差为1, ∴ = +(n-1)=n+1, ∴an=(n+1)×2n+1, ∴Sn=a1+a2+…+an=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n+n, 第一章 数列 高中同步 记Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n①, 则2Tn=2×22+3×23+4×24+…+n×2n+(n+1)×2n+1②, ①-②,得-Tn=2×2+(22+23+…+2n)-(n+1)×2n+1=4+ -(n+1)×2n+1=-n×2n+1, ∴Tn=n×2n+1,∴Sn=n×2n+1+n=n(2n+1+1). 第一章 数列 高中同步 方法技巧 　　由两式相减得到的等比数列部分在求和时,为避免出现项数错误,通常利用公式Sn=  求和(a1为等比数列的首项,an为等比数列的末项). 第一章 数列 高中同步 　　解决等差数列与等比数列的综合问题的关键在于用好它们的有关知识,理顺两个数列间 的关系.注意运用等差数列与等比数列的基本量来表示数列中的所有项,还应注意等差数列 与等比数列之间的相互转化. 定点 4 等差数列、等比数列的综合应用问题 第一章 数列 高中同步 数列{an}中,若∃d∈R,使得∀n∈N+,都有an+2+2an+1+an=d成立,则称数列{an}为“三合定 值数列”.已知a1=5,a2=-3,d=0. (1)求a3,a4,a5; (2)设bn=an+1+an,证明:数列{bn}为等比数列,并求an; (3)设cn=(-2)nan,求数列{cn}的前n项和Sn. 典例 第一章 数列 高中同步 解析    (1)因为d=0, 所以an+2+2an+1+an=0, 又a1=5,a2=-3, 所以a3+2a2+a1=0,即a3+2×(-3)+5=0,解得a3=1, 则a4+2a3+a2=0,即a4+2×1+(-3)=0,解得a4=1, 则a5+2a4+a3=0,即a5+2×1+1=0,解得a5=-3, 所以a3=1,a4=1,a5=-3. (2)因为bn=an+1+an, 所以bn+1=an+2+an+1, 又an+2+2an+1+an=0,即an+2+an+1+an+1+an=0, 所以bn+1+bn=0,即bn+1=-bn,则 =-1, 第一章 数列 高中同步 又b1=a2+a1=-3+5=2≠0, 所以数列{bn}是以2为首项,-1为公比的等比数列, 所以bn=2·(-1)n-1,即an+1+an=2·(-1)n-1, 所以a2k+1+a2k=2·(-1)2k-1=-2①,k∈N+, 则a2k+a2k-1=2·(-1)2k-2=2②,k∈N+, 由①-②可得a2k+1-a2k-1=-4,k∈N+, 所以{an}的奇数项是以5为首项,-4为公差的等差数列,故a2k-1=5-4(k-1)=-4k+9, 令n=2k-1,则k= , 所以an=-2-2n+9=-2n+7(n为奇数). 同理,a2k+2+a2k+1=2·(-1)2k=2③,k∈N+, 由③-①可得a2k+2-a2k=4,k∈N+, 第一章 数列 高中同步 所以{an}的偶数项是以-3为首项,4为公差的等差数列,故a2k=-3+4(k-1)=4k-7, 令n=2k,则k= ,即an=2n-7. 综上所述,an=  (3)由题意得,当n为奇数时,cn=-2n(-2n+7)=(2n-7)2n, 当n为偶数时,cn=(2n-7)2n. 综上,cn=(2n-7)2n. Sn=2×(-5)+22×(-3)+23×(-1)+…+2n(2n-7),2Sn=22×(-5)+23×(-3)+24×(-1)+…+2n·(2n-9)+2n+1(2n-7), 两式相减可得-Sn=2×(-5)+2×22+2×23+…+2·2n-(2n-7)2n+1=-10+23+…+2n+1-(2n-7)2n+1 =-10+ -(2n-7)2n+1 =-10+2n+2-8-(2n-7)2n+1 =(-2n+9)2n+1-18, 所以Sn=(2n-9)2n+1+18. 第一章 数列 高中同步 学科素养 情境破 素养 通过数列在实际问题中的应用发展逻辑推理和数学建模的核心素养 素养解读 　　数列在实际问题中有广泛的应用,在此类问题中,建立数列模型是关键,在建立数列模型 的过程中发展数学建模的核心素养,然后利用数列的通项公式、前n项和公式、递推公式等 知识求解,在解模过程中发展逻辑推理的核心素养. 第一章 数列 高中同步 典例呈现 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根 据规划,2025年投入资金1 000万元,以后每年投入比上年减少10%.预计2025年当地旅游业收 入为300万元,以后每年收入比上年增加20万元. (1)从2025年至2034年,该地十年的旅游业收入预计为多少万元? (2)预计从哪一年起该地的旅游业总收入将首次超过总投入? (参考数据:0.96≈0.531,0.97≈0.478,0.98≈0.430,0.918≈0.150 09,0.919≈0.135 09) 例题 第一章 数列 高中同步 信息提取    ①由投入资金的相关信息可建立等比数列模型;②由旅游业收入的相关信息可建 立等差数列模型. 第一章 数列 高中同步 解题思路    (1)通过构建的等差数列模型,求等差数列的通项和前n项和,代入求值即可. 以2025年为第1年,设第n年该地的旅游业的预计收入为an万元,则数列{an}是以300为首项,20 为公差的等差数列,设其前n项和为An, 故an=300+20(n-1)=20n+280, An=300n+ ×20=10n2+290n, 所以A10=10×102+290×10=3 900. 因此从2025年至2034年,该地十年的旅游业收入预计为3 900万元. (2)通过构建的等比数列模型,求等比数列的通项和前n项和. 以2025年为第1年,设第n年的投入资金为bn万元,则数列{bn}是以1 000为首项,0.9为公比的等 比数列,设其前n项和为Bn, 故bn=1 000·0.9n-1, 第一章 数列 高中同步 Bn= =10 000(1-0.9n), 将预计收入与投入的前n项和作差构造新数列,再结合数列的单调性求解. 题目可转化为求使An>Bn的正整数n的最小值. 设cn=An-Bn,则cn+1-cn=an+1-bn+1=300+20n-1 000·0.9n, 令f(n)=300+20n-1 000·0.9n(n∈N+), 则f(n)为增函数,且f(7)<0,f(8)>0, 故c1>c2>…>c8,c8<c9<c10<…, cn=An-Bn=10n2+290n-10 000(1-0.9n), 又c1=-700<0,c18≈-39.1<0,c19≈470.9>0, 所以从2043年起该地的旅游业总收入将首次超过总投入. 第一章 数列 高中同步 思维升华 应用数列知识解决实际问题的一般思路   第一章 数列 高中同步 $