第1章 数列（高效培优单元测试·提升卷）数学湘教版2019选择性必修第一册

第1章：数列(高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(24-25高二下·北京大兴·期中)已知数列满足，，则(   ) A．5 B．10 C．11 D．12 【答案】B【难度】0.94【知识点】根据数列递推公式写出数列的项【分析】应用递推公式计算求解. 【详解】因为数列满足，，， 则.故选：B. 2.(24-25高二上·浙江杭州·期末)等差数列中，已知，，则的公差为(  ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A【难度】0.85【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列下标和的性质即可求解. 【详解】由，可得，所以， 所以，所以，又，所以， 所以，解得.故选：A. 3.(25-26高三上·浙江·阶段练习)在等比数列中，已知，，则公比(   ) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B【难度】0.85【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】应用等比数列的通项公式化简计算求解. 【详解】由题意得，解得.故选:B. 4.(24-25高二上·广东惠州·阶段练习)已知数列是等差数列，若，且数列的前n项和有最大值，那么取得最小正值时n等于(   ) A．1 B．20 C．10 D．19 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数、利用等差数列的性质计算 【分析】根据已知条件，判断出的符号，再根据等差数列前项和的计算公式，即可求得. 【详解】因为数列是等差数列，则，即， 又因为，且数列的前n项和有最大值，则， 可得，，故取得最小正值时n等于.故选：D. 5.(25-26高三上·江苏南京·开学考试)在等比数列中，，则(   ) A．36 B． C． D．6 【答案】D【难度】0.65【知识点】等比数列下标和性质【分析】根据等比数列的性质，，结合可得，再利用即可求解，注意等比数列奇数项、偶数项的符合分别相同. 【详解】，则， 又，解得，因为，所以.故选：D. 6.(25-26高二上·全国·单元测试)如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为(    )    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 【答案】C【难度】0.65【知识点】根据规律填写数列中的某项【分析】根据题意，得图形1的面积，图形2的面积，图形3的面积，以此类推，进而得图形的面积，即可求出第10个图形的面积. 【详解】根据题意，记图形1的面积为，后续图形的面积依次为， 则图形1的面积，图形2的面积， 图形3的面积， 图形4的面积， 以此类推，则图形的面积；则第10个图形的面积为．故选：C. 7.(2025·四川广安·模拟预测)数列满足，，则使成立的最小自然数为(   ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D【难度】0.65【知识点】由递推关系式求通项公式、判断数列的增减性 【分析】化简递推关系可得，证明数列为常数数列，由此求出，进而求解即可.. 【详解】由，则，所以， 则数列为常数列，又，则，即，为递增数列， 因为，， 所以使得成立的最小自然数为8.故选：D. 8.(2024高二下·吉林·竞赛)记，则与最接近的整数为(    ) A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B【难度】0.15【知识点】裂项相消法求和 【分析】根据当 时，对等式进行裂项求解即可. 【详解】当 时， 所以 ；故选：B. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(22-23高二下·湖北·阶段练习)下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是(   ) A． B． C． D． 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】判断数列的增减性【分析】根据数列单调性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由于，故数列是递增数列； 对于B，由于，故数列是递增数列； 对于C，由于，，故数列不是递增数列； 对于D，由于，当时，，，即， 又，所以数列是递增数列．故选：ABD. 10.(2025高二·全国·专题练习)等差数列前项和为，若，，则下列结论正确的是( ) A．数列是递减数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数、等差数列的单调性、等差数列前n项和的基本量计算【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到，，，，从而对选项一一判断，得到答案. 【详解】对于ABD选项，设的公差为， ，故， ，故，所以， 由于，故，，即是递减数列，A正确，B错误，D正确； C选项，由于是递减数列，，，故当取得最大值时，，C正确.故选：ACD. 11.(2024·湖南长沙·一模)设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，且为数列的唯一最大项，则 D．若，且，则使得成立的的最大值为20 【答案】BCD【难度】0.4【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据前项积的定义和性质即可结合等比数列的性质即可逐一求解. 【详解】若，则，可得，即选项A错误； 而，即选项B正确. 若，且是数列的唯一最大项. 当时，，不合题意； 当时，由，可得，即，解得，即选项C正确. 若，当时，，又，不满足，不合题意； 当时，由可得，，，所以，，则为单调递减数列， 因此当时，故，当时，故， 因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减， 又，，， 所以使得成立的的最大值为20，即选项D正确.故选：BCD 【点睛】结论点睛：由首项和公比确定等比数列的单调性的几种情况： (1)，时，等比数列为单调递减数列， (2)，时，等比数列为单调递增数列， (3)，时，等比数列为单调递增数列， (4)，时，等比数列为单调递减数列， (5)时，等比数列为摆动数列， (6)时，等比数列为常数列， 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(25-26高三上·湖北·阶段练习)已知等差数列的前n项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】对数的运算、利用等差数列的性质计算、等比数列通项公式的基本量计算【分析】设等比数列的公比为，由，得，进而计算，即可得，又由对数的运算性质即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 所以，所以， 又，所以，所以， 所以，故答案为：. 13.(24-25高二下·北京西城·期中)已知数列满足， ①当时， ；②当为递增数列时，的取值集合是 . 【答案】4；【难度】0.65【知识点】由递推关系式求通项公式、判断数列的增减性、根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】空①，利用递推公式计算得也等于4，进而得到各项都是4；空②，先利用递推公式将不等式转化为关于的不等式，求得需要满足的条件，得到必须满足的条件，然后在验证充分性即可. 【详解】空①：因为，由递推关系得到， 同理，由，得到，，； 空②：数列递增需满足，即对于任意的都成立. 设，则不等式化为：；解得， 即.所以， 下面说明此时，能保证，从而根据上面分析能保证数列为单调递增的数列. 当时：设，其中，则. 由于，故，即，同理依次得到， 当时：设，其中，则. 由于，故，即，同理依次得到. 综上，的取值集合为. 14.(2024高三·全国·专题练习)数列是等差数列，数列是等比数列，公比为q，数列中，，是数列的前n项和．若，，(m为正偶数)，则的值为 ． 【答案】【难度】0.4【知识点】前n项和与通项关系、等比数列片段和性质及应用 【分析】设d为的公差，根据题意结合数列片段和性质推出，代入相应数值求得，设，根据，即可求得答案. 【详解】令，，，q为等比数列的公比，设d为等差数列的公差， ∴， ∴， 同理， ∴，结合，，， 可得：，解得或，由于m为正偶数，故不合题意； 设，同理可知， 可得， ∴，故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) (24-25高二下·全国·课后作业)数列满足，． (1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析；(2)【难度】0.94【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列【分析】(1)根据等差数列的定义即可得证； (2)根据等差数列的通项求出数列的通项，即可得解. 【详解】(1)由，可得， ………………4分 数列是以为首项，2为公差的等差数列；………………6分 (2)由(1)知， ………………11分 ． ………………13分 16．(15分) (24-25高二下·浙江温州·期末)已知是各项均为正数的等比数列，数列满足． (1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和． 【答案】(1)；(2)【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】(1)根据等比数列基本量的计算即可得解，(2)利用等差求和公式即可得解. 【详解】(1) ………………1分 又， ………………2分 故，故， ………………5分 因此 ………………7分 (2)， ………………9分 由于， 故为等差数列，且公差为2， ………………11分 故 ………………15分 17．(15分)(25-26高三上·湖北·阶段练习)记为数列的前n项和，已知. (1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析；(2)【难度】0.65【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明等比数列、前n项和与通项关系、错位相减法求和 【分析】(1)当时，求出的值，当时，由可得到，两式作差可得，结合等比数列的定义可证得结论成立； (2)由(1)中的结论可求出数列的通项公式，求得的表达式，再利用错位相减法可求得. 【详解】(1)令时，，即得， ………………1分 当时，①，②， ………………3分 由①②得，，又由， ………………5分 又，， ………………6分 所以数列是以为首项，公比为的等比数列.………………7分 (2)，， ………………8分 因为，所以， ，………………9分 ，………………10分 两式相减得：，………………13分 所以. ………………15分 18．(17分) (2024高三·全国·专题练习)设是公差不为零的等差数列，. (1)求和；(2)求的前n项和；(3)试求所有的正整数m，使得为数列中的项． 【答案】(1)，；(2)；(3)【难度】0.4 【知识点】等差数列的简单应用、含绝对值的等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】(1)设等差数列的公差为d，根据题中条件，求出首项和公差，即可得出和. (2)由数列通项公式可得时，，时，，分类讨论即可计算出. (3)利用通项公式计算，利用换元法，结合数列中各项均为整数即可得到结果. 【详解】(1)设等差数列的公差为d， ∵，∴，即， 由等差数列的性质得，， 由得，，即，………………2分 由得，， 联立方程可得， ………………4分 ∴， . ………………5分 (2)由得，时，，时，． ………………6分 当时，， ………………8分 当时，，………………9分 ∴. ………………11分 (3)由(1)得，， 设，则．………………12分 因为为整数，所以要使为整数，则t为8的约数，………………13分 由得为奇数，∴． ………………14分 当时，，， 由得，此时是数列中的第5项. ………………15分 当时，，， 由得，此时不是数列中的项. ………………16分 综上得，． ………………17分 19．(17分)(24-25高三上·河北沧州·期中修改)记数列的前项和为，若对任意，，则称是“数列”． (1)若，判断是否是“数列”，并说明理由； (2)若是首项为1，公比为的等比数列，且数列和均是“数列”．求的取值范围； (3)若等差数列是首项为1的“数列”，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应数列的公差． 【答案】(1)是，理由见解析；(2)；(3)，此时相应数列的公差为【难度】0.15 【知识点】等比数列前n项和的其他性质、根据数列的单调性求参数、数列新定义、计算条件概率 【分析】(1)由题可得通项公式，验证对任意，是否成立即可； (2)由对任意，恒成立可得答案；②由①及题意可得答案； (3)由等差数列是首项为1的“数列”可得其公差范围，由题意可得关于公差的表达式，即可得答案. 【详解】(1)是“数列”，理由如下： 因，则.………………1分 又，则，故. 则，即； ………………2分 ，即. 则满足，即是“数列”； ………………4分 (2)因是首项为1，公比为的等比数列， 则. ………………5分 因数列和均是“数列”，则， 当时，显然满足条件； ………………6分 当时，， 若，且为奇数时，则，矛盾；为偶数时，，矛盾. 故，则或； ………………7分 此时， 若，则恒成立. 当时，函数单调递增，要使 恒成立，则， 此时，则满足条件； ………………8分 当时，函数单调递增，单调递减， 则要使恒成立，需满足， 解得：，则满足条件； ………………9分 若，则恒成立. 当时，注意到，则不满足条件； ………………10分 当时，函数单调递减，单调递增， 则要使恒成立，需满足， 解得. 综上可知，为使数列和均是“数列”，； ………………11分 (3)设等差数列公差为d，又，则. 因等差数列是“数列”， 则恒成立.………………12分 因，则. 若，则函数均在上递增， 则为使恒成立，则，解得：；………………13分 若，则函数均在上递减， 则当n趋近无穷大时，不成立.综上可知：.………………14分 由，可得， 则要使k最小，且为正整数， 则取为大于的最小整数，即335，………………16分 此时. ………………17分 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第1章：数列（高效培优单元测试·提升卷） (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1,本试卷分第ㄧ卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的. 1.(24-25高二下北京大兴·期中)已知数列{a}满足a=1,a.=a-1+n(n≥2)，则a4=() A.5 B.10 C.11 D.12 【答案】B【难度】0.94【知识点】根据数列递推公式写出数列的项【分析】应用递推公式计算求解. 【详解】因为数列{a}满足4=1，a=a-1+(n≥2)，42=4+2=3,4=42+3=6， 则4=4+4=10.故选：B. 2.(24-25高二上·浙江杭州期末)等差数列{a}中，已知4。=13，a2+a+a,+a6=28,则{a}的公差d为) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A【难度】0.85【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列下标和的性质即可求解， 【详解】由42+a+4,+46=28,可得2a,+2a,=28,所以a,+4,=14, 所以2a=14,所以a4=7,又4。=13，所以4。-4=13-7=6， 所以2d=6,解得d=3.故选：A. 3.(25-26高三上浙江阶段练习)在等比数列{a}中，已知a2=2,4,4,=32,则公比9=() A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】B【难度】0.85【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】应用等比数列的通项公式化简计算求解 【详解】由题意得2g=g×g==8,解得q=2.故选B 442 4.(24-25高二上广东惠州阶段练习)已知数列{a}是等差数列，若4，+3a1<0,a4。·4,<0,且数列{an}的前n 项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时n等于() 第1页共12页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1 B.20 C.10 D.19 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数、利用等差数列的性质计算 【分析】根据已知条件，判断出a4o,4,的符号，再根据等差数列前项和的计算公式，即可求得. 【详解】因为数列{an}是等差数列，则a,+3a1=(a,+a)+2a1=2(a。+41)<0,即a。+41<0, 又因为a·41<0,且数列{a}的前n项和Sn有最大值，则4o>0,4,<0, 可得Sg=19a。>0,S2o=10(a。+a)<0,故S取得最小正值时n等于19.故选：D. 5.(25-26高三上江苏南京·开学考试)在等比数列{a}中，a4,a4=8,4+a=20,则4。=() A.36 B.±6 C.-6 D.6 【答案】D【难度】0.65【知识点】等比数列下标和性质【分析】根据等比数列的性质，4,4,4=G,结合 4,+4=20可得a,=2,a=18，再利用a,4=G即可求解，注意等比数列奇数项、偶数项的符合分别相同. 【详解】4,44=G=8→4=2，则44+4=2+a4=20→4=18， 又4，a4=aG6=2×18=36,解得a。=±6，因为a6=4,q=2q>0,所以a6=6.故选：D. 6.(25-26高二上·全国·单元测试)如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等 腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为) A.1023 B.1024 C.2047 D.2048 【答案】c【难度】0.65【知识点】根据规律填写数列中的某项【分析】根据题意，得图形1的面积1+1×2=3， 图形2的面积1+1×2+1×2×2=7，图形3的面积1+1×2+1×2×2+1×2×2×2=15，以此类推，进而得图形n 的面积a,=21-1,即可求出第10个图形的面积 【详解】根据题意，记图形1的面积为a,后续图形的面积依次为42，a4,…,4.,…, 则图形1的面积41=1+1×2=3，图形2的面积4=1+1×2+1×2×2=7， 图形3的面积4=1+1×2+1×2×2+1×2×2×2=15， 图形4的面积a4=1+1×2+1×2×2+1×2×2×2+1×2×2×2×2=31, 以此类推，则图形n的面积4n=2”1-1;则第10个图形的面积为21-1=2047.故选：C 2n+1 7.(2025四川广安模拟预测)数列{a}满足4=1，a1=a+ m(a+1旷，则使a>1.98成立的最小自然数n为() A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D【难度】0.65【知识点】由递推关系式求通项公式、判断数列的增减性 第2页共12页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】化简递推关系可得ax1+ a+少a+,证明数列包+}为常数数列，由此求出a,=点，进而求 解即可 则8日6，以t 【详解】由1=a,+,2n+1 (n+1)2+ 则败列+时为常数列，又4+日=2，则a+记2，甲4？京为递塔数列 n2 1 因为，=2- 7京≈1.9796,4=2 87-1.984375, 所以使得a>1.98成立的最小自然数n为8.故选：D. 8(2024高二下吉林竞赛)记S=3+4+4+4+子+4 +1324 ,则与s最接近的整数为) 32-442-452-4 132-4 A.14 B.15 C.16 D.17 【答案】B【难度】0.15【知识点】裂项相消法求和 【分析】根据当m≥3时，m+4=1 m-41+m41+211） 对等式进行裂项求解即可. m-2m+2 【珠解1当m之3时，兰1.1点） m2-4 气m-2m+2 台m2-4 日)>15-2；145：故选：B =15-21+1+1 13 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(22-23高二下·湖北阶段练习)下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是() 「n+1,n≤2 A.an=1+nB.a=2n2-5n+1 c.a=为 D.a.={2n>2 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】判断数列的增减性【分析】根据数列单调性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A,由于an-a。=1>0,故数列{a}是递增数列： 对于B,由于an+1-an=41-3>0,故数列{a}是递增数列： 对于C由于4-4店4>4，放数列和}不是通棉数列： 对于D,由于4=2,4=3，当n>2时，4=4，a+1-4,=2-2=2"1>0,即a+1>a, 又a<42<4,所以数列{a}是递增数列.故选：ABD 10.(2025高二·全国专题练习)等差数列{a}前n项和为Sn,若S23>0,S24<0,则下列结论正确的是() A.数列{an}是递减数列 B.43>0 第3页共12页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.当Sn取得最大值时，n=12 D.4>42 【答案】AcD【难度】0.65【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数、等差数列的单调性、等差数列 前n项和的基本量计算【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到a2>0,4<0,4>42, d=43-42〈0，从而对选项一一判断，得到答案 【详解】对于ABD选项，设{an}的公差为d, S=23a+】）-23x2a=24,>0,故4>0， 2 2 s4=24色+a-24(a,+a=12(a+a)<0,故42+a,<0,所以4，<0， 2 2 由于-4，>42>0，故4>42，d=43-42<0,即{an}是递减数列，A正确，B错误，D正确： C选项，由于{a}是递减数列，a2>0,4,<0,故当Sn取得最大值时，n=l2,C正确.故选：AcD, 11.(2024湖南长沙.一模)设等比数列{a}的公比为9，前项积为I.,下列说法正确的是() A.若T8=T2,则44，=1 B.若T=T2,则T0=1 10 C.若4=1024，且T为数列}的唯一最大项，则1) 1 (2 D.若4>0，且To>T1>T,则使得T,>1成立的n的最大值为20 【答案】BCD【难度】0.4【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据前项积的定义和性质即可结合等比数列的性质即可逐一求解 )若工=，则aa44.=a4,可附44：=，即选项A 而T0=44,…4,4,=(44)°-1，即选项B正确。 若a=1024,且T。是数列{T}的唯一最大项， 当9<0时，。=a44…g4。=44)'=44q)<0,不合题意： a∫a4o>1m∫1024g2>1 10 当q>0时，由 可 (9,<1'即 <q<' 即选项C正确 若>>T,当q<0时，T,=aa2…a,=4(4a)‘=a(a49)'>0,又To<0,不满足T0>T,不合题意： [I。>T 当q>0时，由。>1，可得41<1,4o>1,441>1,所以a4>0,1>q>0,则{an}为单调递减数列， 1>T, 因此当n≤10，n∈N时，故a,>1,当n>10,neN时，故an<1, 因此当n≤10，n∈N时，数列{Tn}单调递增，当n>l0,ne时，数列{T}单调递减， 又T>1,To=44…ao=(4o4)>1,T1=a4a42…a21=(a)2<1, 第4页共12页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以使得T,>1成立的n的最大值为20，即选项D正确故选：BCD 【点睛】结论点睛：由首项和公比确定等比数列的单调性的几种情况： (1)4>0,1>q>0时，等比数列{an}为单调递减数列， (2)4>0,9>1时，等比数列{a}为单调递增数列， (3)4<0,1>q>0时，等比数列{a,}为单调递增数列， (4)4<0,9>1时，等比数列{an}为单调递减数列， 5)9<0时，等比数列{a}为摆动数列， (6)q=1时，等比数列{a}为常数列， 第川卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(25-26高三上湖北阶段练习)已知等差数列{a}的前n项和为n,且Ss=120,等比数列b}的首项为1， 若a=b,则l10g!b,2s的值为 【答案】-2024【难度】0.65【知识点】对数的运算、利用等差数列的性质计算、等比数列通项公式的基本 量计算【分析】设等比数列b}的公比为9，由Ss=15a,得a=8,进而计算q,即可得b.,又由对数的 运算性质即可求解。 【详解】设等比数列b}的公比为9， 所以S15x(a,+a）_15×24=154=12034,=8,所以6，=4=8， 2 2 又b,=1×q=q=8→q=2,所以b,=1×2"-1=2-1,所以b225=22024, 所以1og1bs=log12024=-log,2024=-2024,故答案为：-2024. 3.24-25高下北京西城期中已知数列C满足a号Q二6可+6012.3D ①当a=4时，4。=一；②当{a}为递增数列时，a的取值集合是 【答案】4：(4,6)U(8,+∞)【难度】0.65【知识点】由递推关系式求通项公式、判断数列的增减性、根据数 列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】空①，利用递推公式计算得4也等于4，进而得到各项都是4：空②，先利用递推公式将不等式aH>4 转化为关于4.的不等式，求得a需要满足的条件，得到4必须满足的条件，然后在验证充分性即可. 【详解】空①：因为a,=4,由递推关系得到42=二(4-6)3+6=二(-8)+6=4， 4 4 同理，由42=4，得到4=4，，4o=4: 空②：数列递增需满足a+1>a,即f(an)>a,对于任意的neN都成立. 第5页共12页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设t=a-6,则不等式化为：二+6>6+t→P>4t→t-4)>0:解得te(-2,0U(2,+o), 即a.=6+t∈(4,6)U(8,+∞).所以a∈(4,6)U(8,+∞)， 下面说明此时，能保证a,∈(4,6)U(8,+w),从而根据上面分析能保证数列{a,}为单调递增的数列. 当4∈4⑨时：设a=6+t,其中te(20,则a=6+ 由于1e80),故写c(20),即a∈(a.0,月理依次得到a,4, 当a∈(8，+m)时：设4=6+t,其中t>2,则a,=6+ 由于>8，故号>2，即4，>8，同理依次得到a∈(8，+0). 4 综上，a的取值集合为(4,6)U(8+∞)： 14.(2024高三全国专题练习)数列{a}是等差数列，数列b}是等比数列，公比为q,数列{Cn}中，cn=ab, Sn是数列{cn}的前n项和.若Sm=11,S2m=7,Sm=-201(为正偶数)，则S4m的值为 【答案】-1801【难度】0.4【知识点】前n项和与通项关系、等比数列片段和性质及应用 【分析】设d为{a}的公差，根据题意结合数列片段和性质推出C-q"B=q"(B-q"A),代入相应数值求得 q=4,设D=Sm-Sm,根据D-q"C=q(C-q”B)，即可求得答案 【详解】令A=Sm,B=S2m-Sm,C=Sm-S2m,q为等比数列bn}的公比，设d为等差数列{an}的公差， ∴.q”A=(ab+ab2++m)q”=abm1+a,bm+2+…+anb2m, ..B-g"A=(a-a)b++(azm-am)b2m=md(bi++b2m), 同理C-qB=d(b,m+1+bnt2++bm)=d(bn++b,n)q”, ..C-gB=g(B-g"A),A=S=11,B=S2m-S =-4,C=S3m -S2m=-208, 可得：1()+8-209=0，解得g=4或=一是.由于m为正偶数，故=2不合题意， 11 设D=S4m-Sm,同理可知D-qC=q(C-qB), 可得D=-208.4+4-208-4.(4)]=-832-768=-1600, ∴.S4m=D+S3m=-1600-201=-1801,故答案为：-1801 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.13分)24-25高二下·全国-课后作业)数列{a}满足4=1， 1=1+1(neN). 2da 2d (1)求证：数列 是等差数列；(2)求数列{a}的通项公式. 第6页共12页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】证明见解析：2A一【莲度】094【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系 证明数列是等差数列【分析】(1)根据等差数列的定义即可得证： (2)根据等差数列的通项求出数列{ 的通项，即可得解 11 1 【详解】(1)由 +1，可得 -=2 …4分 a+1a 数列{侣是以=1为首项，2为公差的等差数列：…6分 a 2油)蜘1-1+(m-1)x2=2n-1, …11分 1 …13分 2n-11 16.(15分)(24-25高二下…浙江温州期末)已知{a}是各项均为正数的等比数列，数列也}满足 b=2log,4n+3,b=3,b。=13. (1)求数列{a}的通项公式；(2)求数列b}的前n项和Sn. 【答案】(1)4。=2；(2)Sn=n(n+2)【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】(1)根据等比数列基本量的计算即可得解，(2)利用等差求和公式即可得解. 【详解】(1)b=21og24+3=3,∴.4=1， ……1分 又b。=2log24,+3=13,∴a。=2, ………2分 故a。=2=4q，故q=2, …5分 因此a=a”1=2- …7分 (2)bn=2log,4n+3=2log221+3=211+1,…9分 由于bn+1-bn=2(n+1)+1-(2n+1)=2, 故b}为等差数列，且公差为2， …11分 故3=色+6)n_3+2n+1n …15分 2 Wn+2) 17.15分)25-26高三上湖北阶段练习)记Sn为数列{a}的前n项和，已知3Sn=4a.-3n. 证明：数列{a,+是等比数列：2设h=@+0+山，求数列，}的前n项和7. 【答案】1)证明见解析；（②Z=3加+2）4二【难度】0.65【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由 9 9 递推关系证明等比数列、前项和与通项关系、错位相减法求和 【分析】(1)当n=1时，求出a,的值，当≥2时，由3Sn=4a,-3n可得到3Sn1=4a-1-3(n-1),两式作差 第7页共12页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 可得4，+1=4(a-1+1),结合等比数列的定义可证得结论成立； (2)由(1)中的结论可求出数列{a}的通项公式，求得b.的表达式，再利用错位相减法可求得I 【详解】(1)令n=1时，3S=4a-3,即得4=3， …1分 当n≥2时，3Sn=4a-3n①，3Sn1=4an-1-3(n-1)② ……3分 由①-②得，a.=4a-1+3,又由an+1=4(a-1+1), …5分 又：4=3,4+1=4， …6分 所以数列{a。+1}是以4为首项，公比为4的等比数列.…7分 (2)an+1=4(a+1)=4,a.=4”-1, …8分 因为6-包+0+=a+1)4,所以=+h+…+b, 4 T=2×4+3×4+4×42+…+(n+1)4-1,…9分 4T=2×4+3×42+4×43+…+(n+1)4",…10分 两式相减得：-3江n=2+4+42+…+4-1-(n+1)4”,…13分 所以Z=(3n+2)42 …15分 9 9 18.17分)(2024高三·全国·专题练习)设{4}是公差不为零的等差数列，a+4=G+4,S,=7. (1)求a,和S,:2)求a}的前n项和工：B到试求所有的正整数m,使得a为数列a,}中的项。 Cm+2 【答案】(1)a,=2n-7，S.=n2-6n:(2)Tn= [-n2+6(n≤3) 2-6n+180n>3)(3)L=2【难度】0.4 【知识点】等差数列的简单应用、含绝对值的等差数列前项和、利用等差数列的性质计算 【分析】(1)设等差数列{an}的公差为d,根据题中条件，求出首项和公差，即可得出a.和Sn (2)由数列通项公式可得n≤3时，4<0，n>3时，a,>0,分类讨论即可计算出T. (B)利用通项公式计算a,a出，利用换元法，结合数列{红}中各项均为整数即可得到结果 Cm+2 【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d, G+4G=a+a4,∴.a-a=a-a,即(a2-a)(a2+a）)=(a4-a4)(a4+a), 由等差数列的性质得，-3d(a4+a4)=d(a+a), 由d≠0得，4，+4=0，即2q+5d=0,…2分 由8=7得，%+7生1-7， 联立方程可得4=-5，d=2, …4分 第8页共12页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .a.=-5+2(n-1）=2n-7, s=-5+m0-D×2=m-6m …5分 2 (2)由a.=2n-7得，n≤3时，an<0,n>3时，a>0. …6分 当n≤3时，Tn=-Sn=-n2+6n, …8分 当n>3时，T=-S,+(Sn-S3)=Sn-2S3=(n2-6n-2×(-9)=n2-6n+18,…9分 ..Z= -n2+6n(n≤3) …11分 n2-6n+18(n>3) 3)由(1)得， aaa=（2m-7)21-5) Cm+2 2-3 设2m-3=1,则a---2》-片86.…2分 Cm+2 t 因为a.=2n-7为整数，所以要使 出为整数，则t为8的约数，…13分 Co+2 由2m-3=t得t为奇数，∴.t=±1. …14分 当t=1时，m=2, 4,4=1+8-6=3, 由2n-7=3得1=5，此时aa山是数列{a,}中的第5项 …15分 +2 当t=-1时，m=1, 44=-1-8-6=-15, 由2-7=-15得n=-4,此时a山不是数列a,}中的项 …16分 Cn+2 综上得，=2. ……17分 1 19.17分)24-25高三上河北沧州期中修改)记数列{a,}的前n项和为S.,若对任意n∈N*,40,≤a,1≤4a., 则称{an}是“H数列”. 但若3=3心+5，判断{a}是否是“日数列，并说明理由； 2 (2)若{an}是首项为1，公比为9的等比数列，且数列{a}和{S}均是“H数列”.求9的取值范围； (3)若等差数列{a}是首项为1的“H数列”，且4+a2+4++4=501k,求正整数k的最小值，以及k取 最小值时相应数列{a}的公差， 1 ,500 【答案】1)是，理由见解析：②4≤q≤3：《3)k=335,此时相应数列a}的公差为67 【难度】0.15 【知识点】等比数列前项和的其他性质、根据数列的单调性求参数、数列新定义、计算条件概率 第9页共12页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)由题可得{a}通项公式，验证对任意n∈N*, 4:≤a1≤4a是否成立即可： 1 ≤a≤4a (2)由对任意n∈N*， 恒成立可得答案；②由①及题意可得答案： 4 S≤S41≤4Sa (3)由等差数列{a}是首项为1的“H数列”可得其公差范围，由题意可得k关于公差的表达式，即可得答案. 【详解】(1){a}是“H数列”，理由如下： 因&=5，则a,=尽刀-1 4,n=1 …1分 2 s-S”≥2→a= 3n+1,n22 又a1=3×1+1=4,则a。=3n+1,故a1=3n+4. 则a+1-4a,=3n+4-4(3n+1)=-9n<0,即a+1<4a; …2分 aua=046m-1=7片0，即a> 1 1 则a,}满足44，≤a1≤4a,即a}是“H数列： …4分 (2)因{a}是首项为1，公比为9的等比数列， [1- -,g≠1 则a=q,S 1-9 …5分 (n,9=1 因数列{a}和{S}均是“H数列”，则 40,≤a1≤4a, Sn≤S1≤4S 当q=1时，显然满足条件： …6分 1 当g≠1时，40，≤a≤4a,→ 9≤q≤4g, 若g<0,且加-1为奇数时，则45q≤分矛幅；1-1为偶数时， .1 三≤9≤4，矛盾. 4 故g>0,则≤g<1或1kq≤4 ……7分 888→指=g)g》 g+1-4g+3≥0 「g(g-4)+320 若}≤g<1,则子0-g）s1-"s4-）户 g-9-3 0 g3s0恒成立 4 4 99-4厂4 当g=4时，函数M四）=qg-4到+3=-159 Γ44 +3,neN单调递增，要使 第10页共12页 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 第1章 数列(高效培优单元测试·提升卷) 答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11[A] [B] [C] [D] 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第1章：数列（高效培优单元测试·提升卷） (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1,本试卷分第ㄧ卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的. 1.(24-25高二下北京大兴·期中)已知数列{a}满足a=1,a.=a-1+n(n≥2)，则a4=() A.5 B.10 C.11 D.12 2.(24-25高二上·浙江杭州期末)等差数列{a}中，已知ao=13,a2+a+a,+a6=28，则{a}的公差d为)】 A.3 B.4 C.5 D.6 3.(25-26高三上浙江·阶段练习)在等比数列{a}中，已知a2=2,4,4,=32,则公比9=() A.1 B.2 C.4 D.8 4.(24-25高二上广东惠州阶段练习)已知数列{a}是等差数列，若4+3a1<0,4。·41<0,且数列{a}的前n 项和Sn有最大值，那么S取得最小正值时n等于() A.1 B.20 C.10 D.19 5.(25-26高三上江苏南京开学考试)在等比数列{a}中，a,a,a=8,a,+4=20,则a6=() A.36 B.±6 C.-6 D.6 6.(25-26高二上·全国单元测试)如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等 腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为) 第1页共6页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1023 B.1024 C.2047 D.2048 72025四川广交模拟预测数列包}满是a-1,a=a+元，则使a>198成立的最小自然数n为) A.5 B.6 C.7 D.8 82024高二下吉林竞赛)记S3+4+4+4+5+4++13+4 32-442-452-4132-4 ,则与s最接近的整数为) A.14 B.15 C.16 D.17 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(22-23高二下…湖北阶段练习)下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是(） A.a =1+n B.a 2n2-5n+1 C.d n+1,n≤2 D.a,={2,n>2 10.(2025高二·全国专题练习)等差数列{a}前n项和为Sn，若S23>0,S24<0,则下列结论正确的是() A.数列{an}是递减数列 B.a3>0 C.当Sn取得最大值时，n=12 D.43>42 11.(2024湖南长沙.一模)设等比数列{a}的公比为9，前n项积为T.,下列说法正确的是() A.若Tg=T2,则AA,=1 B.若T8=T2,则To=1 C.若4=1024，且T。为数列{T}的唯一最大项，则 2 9<q<2 19 1 D.若4>0，且T。>T,>T,则使得Tn>1成立的n的最大值为20 第川卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 第2页共6页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26高三上湖北阶段练习)已知等差数列{a}的前n项和为Sn,且Ss=120,等比数列b}的首项为1， 若a,=b,则1og:b,s的值为 1 13.24-25高二下·北京西城：期中)已知数列a,}满足an=4(a,-6)+6(n=l2,3), ①当a=4时，4o=；②当{an}为递增数列时，a的取值集合是· 14.(2024高三·全国专题练习)数列{a}是等差数列，数列{b}是等比数列，公比为4，数列{cn}中，Cn=ab., Sn是数列{cn}的前n项和.若Sm=11,S2m=7,Sm=-201(为正偶数)，则S4m的值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1=1+1(neN). 15.13分)2425高=下全国课后作业数列a,}满足a=1,2a2n 1 (1)求证：数列 是等差数列；(2)求数列{a}的通项公式. a 16.15分)(24-25高二下浙江温州期末)已知{a}是各项均为正数的等比数列，数列b}满足 b=2log4n+3,b=3,b6=13. (1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列bn}的前n项和Sn. 第3页共6页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17.15分)25-26高三上湖北阶段练习)记Sn为数列{a}的前n项和，己知3Sn=4a。-3n. 1证明：数列a.+1是等比数列：2设6=a+1+),求数列衫的前n项和工. 4 第4页共6页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.17分)(2024高三·全国.专题练习)设{a}是公差不为零的等差数列，a+a=G+,S,=7. (1求a,和S:(2)求加}的前n项和工：(3)试求所有的正整数m,使得2a为数列a,}中的项。 am+2 第5页共6页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.17分24-25高三上河北沧州期中修改)记数列a,}的前n项和为S,若对任意neN*,4≤a1≤4a, 4 则称{an}是“H数列” 1若S,=3m+5m,判断a,}是否是“H数列，并说明理由： 2 (2)若{a}是首项为1，公比为q的等比数列，且数列{a}和{S}均是“H数列”.求q的取值范围； (3)若等差数列{a}是首项为1的“H数列”，且4+a2+4+…+4=501k,求正整数k的最小值，以及k取 最小值时相应数列{a}的公差. 第6页共6页 第1章：数列(高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(24-25高二下·北京大兴·期中)已知数列满足，，则(   ) A．5 B．10 C．11 D．12 2.(24-25高二上·浙江杭州·期末)等差数列中，已知，，则的公差为(  ) A．3 B．4 C．5 D．6 3.(25-26高三上·浙江·阶段练习)在等比数列中，已知，，则公比(   ) A．1 B．2 C．4 D．8 4.(24-25高二上·广东惠州·阶段练习)已知数列是等差数列，若，且数列的前n项和有最大值，那么取得最小正值时n等于(   ) A．1 B．20 C．10 D．19 5.(25-26高三上·江苏南京·开学考试)在等比数列中，，则(   ) A．36 B． C． D．6 6.(25-26高二上·全国·单元测试)如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为(    )    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 7.(2025·四川广安·模拟预测)数列满足，，则使成立的最小自然数为(   ) A．5 B．6 C．7 D．8 8.(2024高二下·吉林·竞赛)记，则与最接近的整数为(    ) A．14 B．15 C．16 D．17 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(22-23高二下·湖北·阶段练习)下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是(   ) A． B． C． D． 10.(2025高二·全国·专题练习)等差数列前项和为，若，，则下列结论正确的是( ) A．数列是递减数列 B． C．当取得最大值时， D． 11.(2024·湖南长沙·一模)设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，且为数列的唯一最大项，则 D．若，且，则使得成立的的最大值为20 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(25-26高三上·湖北·阶段练习)已知等差数列的前n项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为 . 13.(24-25高二下·北京西城·期中)已知数列满足， ①当时， ；②当为递增数列时，的取值集合是 . 14.(2024高三·全国·专题练习)数列是等差数列，数列是等比数列，公比为q，数列中，，是数列的前n项和．若，，(m为正偶数)，则的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) (24-25高二下·全国·课后作业)数列满足，． (1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式． 16．(15分) (24-25高二下·浙江温州·期末)已知是各项均为正数的等比数列，数列满足． (1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和． 17．(15分)(25-26高三上·湖北·阶段练习)记为数列的前n项和，已知. (1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前n项和. 18．(17分) (2024高三·全国·专题练习)设是公差不为零的等差数列，. (1)求和；(2)求的前n项和；(3)试求所有的正整数m，使得为数列中的项． 19．(17分)(24-25高三上·河北沧州·期中修改)记数列的前项和为，若对任意，，则称是“数列”． (1)若，判断是否是“数列”，并说明理由； (2)若是首项为1，公比为的等比数列，且数列和均是“数列”．求的取值范围； (3)若等差数列是首项为1的“数列”，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应数列的公差． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 第1章数列（高效培优单元测试提升卷） 答题卡 姓名： 贴条形码区 1.答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0 尝 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 内作答，超出区域书写的答案无 2 123 23 1234 123456789 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 破。 5.正确填涂 6789 6789 6789 56789 456789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、 单选题（共8小题， 每小题5分，共40分) 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 6 [A][B][C][D] 艾棉 3 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 4[AJ[B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、 多选题（共3小题，每小题6分， 共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][BI[C][D] 三、填空题（共3小题， 每小题5分，共15分) 12 13 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）