数学（湘教版）-2025-2026学年高二上学期学业能力评鉴一（第一次月考）

2025一2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 高二数学（一）参考答案 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.A2.A3.D4.B5.B6.D7.C8.B 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0 分) 9.AD 10.BC 11.BCD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.√6n-3 18.}4.9 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 15.(13分) 解：(1)依题意，a4+a7=a+a6=9, 因为a5=4,所以a6=5,即d=a。-a5=1, 所以an=a+(n-5)×1=n-1; (6分) (2)由（1)知an=n-1,所以bn=2an-1=21-3, 所以数列{b}是首项为-1，公差为2的等差数列， 所以3=n6+b）=(-1+2n-3) 2 2 =行2n (13分) 16.(15分) a+d=3 解：(1)由题意可得 4=1 a+4d=9解得a-2' 所以{an}的通项公式为an=1+2(n-I)=2n-1; (5分) (2)由(1)知b=2=22m-1=2×4-, 所以数列{bn}的前n项和S,= 20-4）_2(4-1) (10分) 1-43V 1 (3)Cn= 1(11 anan+1(2n-1)(2n+1)）2(2-12n+1 21-12n+1 2n+1 (15分) (湖南教育)高二数学（一）参考答案第1页（共2页） 17.(15分) 解：（①）由口，A,b是等差数列，则a+b=2A,但是得不到a+也=2， A 如a=-1,4=0,b=1,显然4，A,b是等差数列，但是+力=2无意义，故充 A 分性不成立， 由十=2，则a+b=24,所以b-A=A-Q,则a,4,b是等差数列，故必要性 成立，所以命题甲是命题乙的必要不充分条件； (8分) (2)若三角形ABC中有大小为60°的内角，不妨令B=60°，又A+B+C=180°， 所以A+C=120°=2B,则A-B=B-C,所以A、B、C成等差数列，故充分性成 立，若三角形ABC的三个内角的度数经适当排列后可以构成一个等差数列， 不妨令A、B、C成等差数列，则A+C=2B, 又A+B+C=180°，所以B=60°，即三角形ABC中有大小为60°的内角，故必要 性成立，所以命题甲是命题乙的充要条件 (15分) 18.(17分) 解：(1)方案一：若每月还款m万元， 则m+m(1+0.004)+m(1+0.004)2+…+m(1+0.004)7=10×(1+0.004)18, 所以m×+0.04-1=10×1+0.004,可得m0,577万元； (5分) 0.004 方案二：若每季度还款n万元， 则n+n(1+0.012)+n1+0.012)2+…+n(1+0.012)5=10×(1+0.012)6, 所以n×0+0,012)-1-10x+0.0125,可得n1.737万元； (10分) 0.012 (2)由(1)知：方案一每季度还款额为3m≈1.731万元<n≈1.737万元， 所以选方案一 (17分) 19.(17分) (0)解：a,=0,故a=1+=0,4=-1,4=1+=-1,4,=- 2' ,=1+1=-1 2 42,故a=a=5； (8分) 1 1 (2)证明：bn+1= 61,故6，-h +1,设a=a=bn, 则a,=1+1=1+ =b.a,=1+1=1 1 1 =ba-2 1 b a, 'bn 4,=1+1=1+b=1, 0n-1b2 故an=b=-1,a1=0,故只能得到有穷数列{an}. (17分) (湖南教育)高二数学（一）参考答案第2页（共2页）2025一2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 高二数学（一) 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.若数列一1，a,b,c,一9成等比数列，则实数b的值为 A.-3 B.3 C.±3 D.不能确定 2.“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个 基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为36×1-】 3 =24,能发 出第三个基准音的乐器的长度为24×1+》2，，也就是依次先减少三分之一，后啪 加三分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列{an}用来研究 数据的变化，已知4=192，则a5的值为 A.324 B.297 C.25 D.168 3.在等差数列{an}中，a2+a。=6,a=2,则a3的值为 A.-4 B.-1 C.1 D.4 n 4.已知数列{a,}的通项公式为a,2m一，按项的变化趋势，该数列是 A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=8,Sg=40,则S2的值为 A.52 B.96 C.106 D.120 6.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,则a4的值为 A.20 B.89 C.80 D.29 7.已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若aaa,=-8,b2+b+b=6π，则 (湖南教育)高二数学（一）第1页（共4页） sin b4+b6 '1-a3a7 的值是 1 A.2 C.3 D.-3 2 8.中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行 七百里”.意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里数是前一天的一半，七天一 共行走了700里路，则该马第七天走的里数为 A溜 700 C.400 2800 B·27 D. 127 127 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分) 9.下列四个选项中正确的是 A.数列的图象是一群孤立的点 B.数列1，-1,1，-1，…与数列-1,1，-1,1，…是同一数列 C.数列2，，号，，的一个通项公式是a三neN) n+1 D.数列时，京，六是递减数列 10.已知数列{an}是等比数列，公比为9，前n项和为Sn,下列判断错误的是 1 A 为等比数列 B.{log2an}为等差数列 a C.{an+an1}为等此数列 D.若S。=3+r,则r=- 3 I1.已知数列{an}的前n项和为S,则下列说法正确的是 A.若{a}是等比数列，S2=2,S4=8,则S6=16 B.若an=2n-11,则a+a2+a+…+a=61 C.若是等差数列，4=-2021，若音令=2，则S。=-201 D.若a,=l,an=√Sn+Sn1n≥2)，则ao=99 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12.观察数列√3,3，√15，√21,3√3，…，写出该数列的一个通项公式= 13.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且有a+a,=3,b+b,=6, 子的收列 (湖南教育)高二数学（一）第2页（共4页） 14.设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2,对任意p、q∈N,都有ag=ap+ag,则 fu)S+60n∈N)的最小值为 n+1 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（13分)在等差数列{an}中，a5=4,a4+a,=9. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn=2an-1,求数列{bn}的前n项和Sn. 16.(15分)在等差数列{an}中，a2=3,a5=9. (1)求{am}的通项公式 (2)令bn=2an,求数列{bm}的前n项和Sn; (3)令Cn=- anant 一，求数列{cn)的前n项和Tm. 17.(15分)判断下述命题甲是命题乙的什么条件. D命题甲：Q,A,6是等差数列；命题乙：2 (2)命题甲：三角形ABC中有大小为60°的内角；命题乙：三角形ABC的三个内角的 度数经适当排列后可以构成一个等差数列. (湖南教育)高二数学（一）第3页（共4页) 18.(17分)在购买住房、轿车等商品时，一次性付款可能会超出一些买主的支付能力， 贷款消费不失为一种可行的选择，但是也要量入为出，理智消费.某家庭计划在2025年元旦 从某银行贷款10万元购置一辆轿车，贷款时间为18个月.该银行现提供了两种可选择的还 款方案：方案一是以月利率0.4%的复利计息，每月底还款，每次还款金额相同；方案二是以 季度利率1.2%的复利计息，每季度末还款，每次还款金额相同.（注：复利是指把前一期的 利息与本金之和作为本金，再计算下一期的利息) (1)分别计算选择方案一、方案二时，该家庭每次还款金额多少？（结果精确到小数点 后三位) (2)从每季度还款金额较少的角度看，该家庭应选择哪种方案？说明理由. 19.(7分》已知数列fa}满足a=a,=1+。,当a取不同的值时，得到不同的数 列，如当a=1时，得到无穷数列：1,2，了，；当a=时，得到有穷数列：，-1， 0. (1)求当a为何值时，a4=0; 2设数列b,满足么=-，三b加eN),求证：a取数列b,中的任一个数 都可以得到一个有穷数列{an}. (湖南教育)高二数学（一）第4页（共4页) 2025一2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 高二数学（一）参考答案 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.A2.A3.D4.B5.B6.D7.C8.B 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0 分) 9.AD 10.BC 11.BCD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.√6n-3 18.}4.9 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 15.(13分) 解：(1)依题意，a4+a7=a+a6=9, 因为a5=4,所以a6=5,即d=a。-a5=1, 所以an=a+(n-5)×1=n-1; (6分) (2)由（1)知an=n-1,所以bn=2an-1=21-3, 所以数列{b}是首项为-1，公差为2的等差数列， 所以3=n6+b）=(-1+2n-3) 2 2 =行2n (13分) 16.(15分) a+d=3 解：(1)由题意可得 4=1 a+4d=9解得a-2' 所以{an}的通项公式为an=1+2(n-I)=2n-1; (5分) (2)由(1)知b=2=22m-1=2×4-, 所以数列{bn}的前n项和S,= 20-4）_2(4-1) (10分) 1-43V 1 (3)Cn= 1(11 anan+1(2n-1)(2n+1)）2(2-12n+1 21-12n+1 2n+1 (15分) (湖南教育)高二数学（一）参考答案第1页（共2页） 17.(15分) 解：（①）由口，A,b是等差数列，则a+b=2A,但是得不到a+也=2， A 如a=-1,4=0,b=1,显然4，A,b是等差数列，但是+力=2无意义，故充 A 分性不成立， 由十=2，则a+b=24,所以b-A=A-Q,则a,4,b是等差数列，故必要性 成立，所以命题甲是命题乙的必要不充分条件； (8分) (2)若三角形ABC中有大小为60°的内角，不妨令B=60°，又A+B+C=180°， 所以A+C=120°=2B,则A-B=B-C,所以A、B、C成等差数列，故充分性成 立，若三角形ABC的三个内角的度数经适当排列后可以构成一个等差数列， 不妨令A、B、C成等差数列，则A+C=2B, 又A+B+C=180°，所以B=60°，即三角形ABC中有大小为60°的内角，故必要 性成立，所以命题甲是命题乙的充要条件 (15分) 18.(17分) 解：(1)方案一：若每月还款m万元， 则m+m(1+0.004)+m(1+0.004)2+…+m(1+0.004)7=10×(1+0.004)18, 所以m×+0.04-1=10×1+0.004,可得m0,577万元； (5分) 0.004 方案二：若每季度还款n万元， 则n+n(1+0.012)+n1+0.012)2+…+n(1+0.012)5=10×(1+0.012)6, 所以n×0+0,012)-1-10x+0.0125,可得n1.737万元； (10分) 0.012 (2)由(1)知：方案一每季度还款额为3m≈1.731万元<n≈1.737万元， 所以选方案一 (17分) 19.(17分) (0)解：a,=0,故a=1+=0,4=-1,4=1+=-1,4,=- 2' ,=1+1=-1 2 42,故a=a=5； (8分) 1 1 (2)证明：bn+1= 61,故6，-h +1,设a=a=bn, 则a,=1+1=1+ =b.a,=1+1=1 1 1 =ba-2 1 b a, 'bn 4,=1+1=1+b=1, 0n-1b2 故an=b=-1,a1=0,故只能得到有穷数列{an}. (17分) (湖南教育)高二数学（一）参考答案第2页（共2页）请在各题的容题区域内作答，超出容题区域的答案无效 请在各题的客题区域内作客，超出容题区域的客案无效 2025一2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 四、（共77分.解容应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(15分) 高二数学（一）答题卡 15.(13分) 姓 名 准考证号 准考证号」 ■■■■■■■■■■■ 四四田四的四四回四四 考号 班级 ■▣口▣0可口■0■口a回■口 团四四四团四回团0四四回 考场」 座位号 刀团刀四团刀团四刀四刀团 团团田田田回团田团回团回 四四山田四山口四回 条形码粘贴区域 四四四田四口四口 (正面朝上，切赌出虚找方框 四四四如四口口四 试卷类型A口 B▣ 缺考标记（禁止考生填涂）口 L,选择题请用2B铅笔填涂方框，如需改动，必须用橡皮擦干 注意事项 净。不事。 填 2非港轻烟必须使用果色整字笔书写，笔遗清楚。 3.请按题号序在各题百的客区城内作容，超出答趣区域 知试题上的 样例 正确填涂 ■ 4.请保持卷面清洁，不要折叠和弄破答题卡。 第1卷（选择题共58分） 1IDM四60DM四 11团四阳四 2刀00网四 3刀四四 8刀0m四 4团田M四g丑DM四 5四四00 100D0四 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 14. 请在各题的容题区域内作容，短出答题区域的容案无效 (期南状有)离二数学（一）答题卡 请在各题的答题区域内作答，短出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出客题区域的答案无效 请在各题的客题区城内作容，超出答题区域的客案无效 请在各题的客区域内作答，超出答题区域的客案无效 17.(15分) 18.(17分) 19.(17分) 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的容案无效 (湖南教育)高二数学〔一)答题卡 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效2025一2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 高二数学（一) 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.若数列一1，a,b,c,一9成等比数列，则实数b的值为 A.-3 B.3 C.±3 D.不能确定 2.“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个 基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为36×1-】 3 =24,能发 出第三个基准音的乐器的长度为24×1+》2，，也就是依次先减少三分之一，后啪 加三分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列{an}用来研究 数据的变化，已知4=192，则a5的值为 A.324 B.297 C.25 D.168 3.在等差数列{an}中，a2+a。=6,a=2,则a3的值为 A.-4 B.-1 C.1 D.4 n 4.已知数列{a,}的通项公式为a,2m一，按项的变化趋势，该数列是 A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=8,Sg=40,则S2的值为 A.52 B.96 C.106 D.120 6.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,则a4的值为 A.20 B.89 C.80 D.29 7.已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若aaa,=-8,b2+b+b=6π，则 (湖南教育)高二数学（一）第1页（共4页） sin b4+b6 '1-a3a7 的值是 1 A.2 C.3 D.-3 2 8.中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行 七百里”.意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里数是前一天的一半，七天一 共行走了700里路，则该马第七天走的里数为 A溜 700 C.400 2800 B·27 D. 127 127 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分) 9.下列四个选项中正确的是 A.数列的图象是一群孤立的点 B.数列1，-1,1，-1，…与数列-1,1，-1,1，…是同一数列 C.数列2，，号，，的一个通项公式是a三neN) n+1 D.数列时，京，六是递减数列 10.已知数列{an}是等比数列，公比为9，前n项和为Sn,下列判断错误的是 1 A 为等比数列 B.{log2an}为等差数列 a C.{an+an1}为等此数列 D.若S。=3+r,则r=- 3 I1.已知数列{an}的前n项和为S,则下列说法正确的是 A.若{a}是等比数列，S2=2,S4=8,则S6=16 B.若an=2n-11,则a+a2+a+…+a=61 C.若是等差数列，4=-2021，若音令=2，则S。=-201 D.若a,=l,an=√Sn+Sn1n≥2)，则ao=99 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12.观察数列√3,3，√15，√21,3√3，…，写出该数列的一个通项公式= 13.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且有a+a,=3,b+b,=6, 子的收列 (湖南教育)高二数学（一）第2页（共4页） 14.设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2,对任意p、q∈N,都有ag=ap+ag,则 fu)S+60n∈N)的最小值为 n+1 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（13分)在等差数列{an}中，a5=4,a4+a,=9. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn=2an-1,求数列{bn}的前n项和Sn. 16.(15分)在等差数列{an}中，a2=3,a5=9. (1)求{am}的通项公式 (2)令bn=2an,求数列{bm}的前n项和Sn; (3)令Cn=- anant 一，求数列{cn)的前n项和Tm. 17.(15分)判断下述命题甲是命题乙的什么条件. D命题甲：Q,A,6是等差数列；命题乙：2 (2)命题甲：三角形ABC中有大小为60°的内角；命题乙：三角形ABC的三个内角的 度数经适当排列后可以构成一个等差数列. (湖南教育)高二数学（一）第3页（共4页) 18.(17分)在购买住房、轿车等商品时，一次性付款可能会超出一些买主的支付能力， 贷款消费不失为一种可行的选择，但是也要量入为出，理智消费.某家庭计划在2025年元旦 从某银行贷款10万元购置一辆轿车，贷款时间为18个月.该银行现提供了两种可选择的还 款方案：方案一是以月利率0.4%的复利计息，每月底还款，每次还款金额相同；方案二是以 季度利率1.2%的复利计息，每季度末还款，每次还款金额相同.（注：复利是指把前一期的 利息与本金之和作为本金，再计算下一期的利息) (1)分别计算选择方案一、方案二时，该家庭每次还款金额多少？（结果精确到小数点 后三位) (2)从每季度还款金额较少的角度看，该家庭应选择哪种方案？说明理由. 19.(7分》已知数列fa}满足a=a,=1+。,当a取不同的值时，得到不同的数 列，如当a=1时，得到无穷数列：1,2，了，；当a=时，得到有穷数列：，-1， 0. (1)求当a为何值时，a4=0; 2设数列b,满足么=-，三b加eN),求证：a取数列b,中的任一个数 都可以得到一个有穷数列{an}. (湖南教育)高二数学（一）第4页（共4页)■ 请在各题的容题区域内作答，超出容题区域的答案无效 请在各题的客题区域内作客，超出容题区域的客案无效 2025一2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 四、（共77分.解容应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(15分) 高二数学（一）答题卡 15.(13分) 姓 名 准考证号 准考证号」 ■■■■■■■■■■■ 四四面四四四四四 考号 班级 ■▣口▣0可口■0■口a回■口 团四四四团四回团田四四回 考场」 座位号 刀团刀四团刀团四刀四刀团 … 团团田田田回团田团回团回 四田四山田四山口四回 条形码粘贴区域 四四四田四口四口 正面朝上，切赌出虚线方框 四四四如四口口四 试卷类型A口 B▣ 缺考标记（禁止考生填涂）口 L,选择题请用2B铅笔填涂方框，如需改动，必须用橡皮擦干 注意事项 填 2.非遗轻题必须使用黑色整字笔书写，笔速清楚。 样例 正确填涂 3.请按题号序在各题百的客区城内作容，超出答趣区域 和试题了 ■ 4.请保持卷面清洁，不要折叠和弄破答题卡。 第1卷（选择题共58分） 1团DM四6D四四 11团四阳四 2刀00网四 3刀0网四 8刀四四四 4团田M四g丑DM四 100)00 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13. 14 请在各题的容题区域内作容，短出答题区域的容案无效 (期南状有)离二数学（一）答题卡 请在各题的答题区域内作答，短出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出客题区城的答案无效 请在各题的容题区城内作答，超出容题区域的客案无效 请在各题的容区域内作客，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 18.(17分) 19.(7分) 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的容案无效 (湖南教育)高二数学〔一)答题卡 请在各题的容题区域内作容，超出容题区域的客案无效 ■