第1章 1.3.3 第1课时 等比数列的前n项和公式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦等比数列前n项和公式这一核心知识点，通过错位相减法等三种思路推导公式，衔接等比数列定义与通项公式，为数列求和综合应用搭建学习支架。 以国际象棋麦粒问题引入，激发数学眼光中的创新意识，多种推导方法发展数学思维的推理能力，结合小球弹跳、《算法统宗》等实例强化数学语言的模型意识，例题与分层训练助力课中教学与课后查漏补缺。

1.3.3　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 学习目标　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 导语 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么. 发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒， 第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里 放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.国王真的能兑现他的诺言吗？ 一、等比数列前n项和公式的基本运算 问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 提示　思路一：因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an， 所以Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得 qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn-qSn=a1-a1qn， 即(1-q)Sn=a1(1-qn)，当q≠1时，有Sn=，而当q=1时，Sn=na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”. 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得==…==q， 根据等比数列的性质，有==q⇒(1-q)Sn=a1-anq， 所以当q≠1时，Sn=，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an=a1qn-1相互转化. 思路三：Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)， 所以有Sn=a1+qSn-1⇒Sn=a1+q(Sn-an)⇒(1-q)Sn=a1-anq. 所以当q≠1时，Sn=或Sn=，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决. 问题2　同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？ 提示　S64=1+2+22+23+…+263==264-1=18 446 744 073 709 551 615，然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言. 知识梳理　等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 公式一 Sn= 公式二 Sn= 注意点： (1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q=1和q≠1进行分类讨论. (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数. (3)公式二中的a1表示数列的第一项，an表示数列的最后一项(例如1+2+22+…+2n=). 例1　求下列等比数列前8项的和： (1)，，，…； (2)a1=27，a9=，q<0. 解　(1)因为a1=，q=， 所以S8==. (2)由a1=27，a9=，可得=27·q8. 又由q<0，可得q=-， 所以S8====. 反思感悟　求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q=1是否成立. 跟踪训练1　(1)在等比数列{an}中，首项a1=8，公比q=，那么它的前5项和S5的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　S5===. (2)若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=　　　，前n项和Sn=　　　　　　.  答案　2　2n+1-2 解析　设等比数列的公比为q， ∵a2+a4=20，a3+a5=40， ∴20q=40，且a1q+a1q3=20， 解得q=2，且a1=2.∴Sn==2n+1-2. 二、等比数列前n项和公式与通项公式的综合应用 例2　(1)在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，S3=，S6=，求an； (2)在等比数列{an}中，已知a1+an=66，a2an-1=128，前n项和Sn=126，求n与公比q； (3)设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn.已知a3=2，S4=5S2，求{an}的通项公式. 解　(1)由题意知S6≠2S3， 则公比q≠1. 又S3=，S6=， 故 ②÷①，得1+q3=28， 解得q=3. 可得a1=， 故an=a1qn-1=3n-3. (2)由等比数列的性质可知a1an=a2an-1=128. 又由a1+an=66， 联立解得a1=2，an=64或a1=64，an=2， 显然q≠1. 当a1=2，an=64时， 由Sn===126， 解得q=2. 由an=a1qn-1得64=2×2n-1， 解得n=6； 当a1=64，an=2时， 同理，可得q=，n=6. 综上所述，n=6，公比q=2或. (3)由题意知， 由②得1-q4=5(1-q2)， 则(q2-4)(q2-1)=0， 因为q<1， 所以q=-1或q=-2. 当q=-1时，由①得a1=2， 则an=2×(-1)n-1； 当q=-2时，由①得a1=， 则an=×(-2)n-1. 反思感悟　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解. 跟踪训练2　等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3=，S6=，则a8=　　　　.  答案　32 解析　设{an}的首项为a1，公比为q， 则解得 所以a8=×27=25=32. 三、等比数列前n项和公式的应用 例3　(课本例10)　一个小球从10 m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处. (1)小球第10次落地时，经过的路程是多少米？ (2)小球第几次落地时，经过的路程为 m？ 解　(1)设小球从第n-1次落地到第n次落地时经过的路程为an m，如图， 则a1=10，a2=10××2，a3=10××2，…. 而且，当n≥2时，我们可以得到递推关系 an+1=an，a2=. 这是一个首项为，公比为的等比数列. 因此an=a2·=(n≥2)，且a1=10. 所以小球第10次落地时，经过的路程为S10=a1+a2+…+a10=10+20=20-(m). (2)设小球第n次落地时，经过的路程为 m， 由于Sn=a1+a2+…+an=10+20=20-， 因此20-=，解得n=4. 所以当小球第4次落地时，经过的路程为 m. 例3　《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为(　　) A.96 B.126 C.192 D.252 答案　C 解析　由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以为公比的等比数列， 因为该人6天后到达目的地，则有 S6==378，解得a1=192， 所以该人第1天所走路程里数为192. 反思感悟　(1)解应用题的核心是建立数学模型. (2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型. (3)注意问题是求什么(n，an，Sn). 跟踪训练3　中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，现打算在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1 533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂　　　　盏灯笼.  答案　3 解析　依题意，塔楼内部从上到下各层灯笼数构成等比数列{an}(n∈N+，n≤9)，公比q=2，前9项和为1 533，于是得S9==1 533，解得a1=3，所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼. 1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式. (2)等比数列的前n项和公式的应用. 2.方法归纳：公式法、错位相减法、方程(组)法、分类讨论法. 3.常见误区： (1)忽略q=1的情况而致错. (2)忽略对参数的讨论. 1.等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则S6等于(　　) A.-63 B.31 C.-31 D.63 答案　D 解析　S6==26-1=64-1=63. 2.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米；……，所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时，乌龟爬行的总距离(单位：米)为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知，乌龟每次爬行的距离(单位：米)构成等比数列{an}，且首项a1=100，公比q=，易知a5=10-2，则乌龟爬行的总距离(单位：米)为S5===. 3.在等比数列{an}中，a1=2，S3=26，则公比q=　　　　.  答案　3或-4 解析　因为q≠1，所以S3===26，所以q2+q-12=0，所以q=3或q=-4. 4.在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn=126，则n=　　　　.  答案　6 解析　因为a1=2，an+1=2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又因为Sn=126，所以=126，所以n=6. 课时对点练　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.在等比数列{an}中，a1=2，a2=1，则S100等于(　　) A.4-2100 B.4+2100 C.4-2-98 D.4-2-100 答案　C 解析　q==. S100== =4×(1-2-100)=4-2-98. 2.在等比数列{an}中，已知a1=3，an=48，Sn=93，则n的值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　B 解析　显然q≠1，由Sn=， 得93=， 解得q=2.由an=a1qn-1， 得48=3×2n-1，解得n=5. 3.等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列.若a1=1，则S4等于(　　) A.7 B.8 C.15 D.16 答案　C 解析　设{an}的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a2=4a1+a3，即4a1q=4a1+a1q2，即q2-4q+4=0，所以q=2.又a1=1，所以S4==15. 4.某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为(　　) A.1.14a B.11×(1.15-1)a C.1.15a D.10×(1.16-1)a 答案　B 解析　从今年起到第5年，这个厂的总产值为 a×1.1+a×1.12+a×1.13+a×1.14+a×1.15=a×=11a(1.15-1). 5.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则S6等于(　　) A.6 B.8 C.9 D.12 答案　C 解析　设等比数列{an}的公比为q， 因为a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2， 所以a1(1+q+q2)=1，a1q(1+q+q2)=2， 解得a1=，q=2， 所以S6===9. 6.已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为(　　) A.或5 B.或5 C. D. 答案　C 解析　由9S3=S6，得q≠1，且=， 即1+q3=9，解得q=2， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 则数列的前5项和为=. 7.(5分)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=　　　　.  答案　-2 解析　S3+3S2=a1+a2+a3+3a1+3a2=4a1+4a2+a3=a1(4+4q+q2)=a1(2+q)2=0， 故q=-2. 8.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=，a2+a4=，则=　　　　.  答案　2n-1 解析　设等比数列{an}的公比为q. 则q===， 所以===2n-1. 9.(10分)已知等比数列{an}. (1)若q=2，S4=1，求S8的值；(4分) (2)若a1+a3=10，a4+a6=，求a4和S6的值.(6分) 解　(1)方法一　∵q=2，S4=1， ∴=1，即a1=， ∴S8===17. 方法二　∵S4==1，且q=2， ∴S8==·(1+q4)=1×(1+24)=17. (2)设等比数列{an}的公比为q，由题意得 即 ∵a1≠0，1+q2≠0， ∴②÷①得，q3=，即q=， ∴a1=8，∴a4=a1q3=8×=1， S6===. 10.(12分)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)求{bn}的前n项和.(6分) 解　(1)由已知，a1b2+b2=b1，b1=1，b2=， 得a1=2. 所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an=3n-1，n∈N+. (2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=， 因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列. 记{bn}的前n项和为Sn， 则Sn==-. 11.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3， 由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3=50，则=50，解得a1=，所以牛主人应偿还粟的量为a3=22a1=. 12.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，lg an+lg an+1=lg 2n，n∈N+，则S9等于(　　) A.511 B.61 C.41 D.9 答案　B 解析　由lg an+lg an+1=lg 2n， 可得lg(anan+1)=lg 2n， 即anan+1=2n，所以an+1an+2=2n+1， 两式相除可得=2， 又由a1=1可得a2=2，因此数列{an}的奇数项是以a1=1为首项，2为公比的等比数列， 偶数项是以a2=2为首项，2为公比的等比数列， 所以S9=a1+a2+a3+…+a9 =(a1+a3+…+a9)+(a2+a4+…+a8) =+=61. 13.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N+，满足=9，=，则数列{an}的公比为(　　) A.-2 B.2 C.-3 D.3 答案　B 解析　设数列{an}的公比为q，若q=1，则=2，与题中条件矛盾，故q≠1. ∵==qm+1=9， ∴qm=8. ∵==qm=8=， ∴m=3，∴q3=8，∴q=2. 14.(5分)等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n=1，2，3，…)，则q的取值范围是　　　　.  答案　(-1，0)∪(0，+∞) 解析　因为数列{an}为等比数列，Sn>0， 所以a1=S1>0，q≠0. 当q=1时，Sn=na1>0； 当q≠1时，Sn=>0，即>0， 所以或 所以-1<q<1或q>1. 综上，q的取值范围为(-1，0)∪(0，+∞). 15.(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若S1=-1，且∀n∈N+，an+2>an，则(　　) A.a2>0 B.0<q<1 C.an+1>an D.Sn< 答案　BC 解析　S1=a1=-1，an+2>an对∀n∈N+恒成立， 则a1·qn+1>a1·qn-1⇒-qn+1>-qn-1⇒qn-1(q2-1)<0恒成立， 则q>0，q2-1<0，故0<q<1，故B正确； a2=-q<0，故A错误； an+1-an=-qn+qn-1=qn-1(1-q)>0⇒an+1>an，故C正确； 由Sn=-=+>，故D错误. 16.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且-a1，Sn，an+1成等差数列. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)设bn=1-Sn，问：是否存在a1，使数列为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由.(6分) 解　(1)依题意，得2Sn=an+1-a1.于是，当n≥2时，有 两式相减，得an+1=3an(n≥2). 又因为a2=2S1+a1=3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列. 因此，an=a1·3n-1(n∈N+). (2)因为Sn==a1·3n-a1， 所以bn=1-Sn=1+a1-a1·3n. 要使为等比数列，则1+a1=0，即a1=-2. 学科网（北京）股份有限公司 $