第1章 1.3.1 等比数列及其通项公式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦等比数列及其通项公式核心知识点，通过折纸厚度、古算题等实例引入，类比等差数列定义等比数列，推导通项公式，结合等比中项性质，最终应用于污水处理、车辆贬值等实际问题，构建“实例-概念-公式-性质-应用”的完整学习支架。 该资料以现实情境（如折纸厚度对比珠峰高度）培养数学眼光，通过类比推理、公式推导（累乘法与归纳法）发展数学思维，设计问题解决（如污染物减半时间计算）强化数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后练习题与小结帮助学生巩固知识，查漏补缺。

1.3.1　等比数列及其通项公式 学习目标　1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.3.掌握等比中项的概念并会应用.4.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 导语 一张纸的厚度大约为0.1 mm，将这张纸对折一次，此时的厚度约为0.2 mm，再对折一次，厚度约为0.4 mm，假设这张纸足够大使得折纸能够进行下去.那么，将这张纸对折10次后，此时的厚度约为多少？对折40次呢？此时纸的厚度会比珠穆朗玛峰高吗？ 一、等比数列的概念 问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98； (2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： ，，，，，…； (3)-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：-，，-，，…. 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 提示　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.对于(1)，我们发现=9，=9，=9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于(2)，=，=，…；对于(3)，=-，=-，…；也有相同的取值规律. 知识梳理　等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0). 注意点： (1)定义的符号表示：=q(n∈N+且n≥2)或=q(n∈N+). (2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)比必须是同一个常数. (4)等比数列中任意一项都不能为0. (5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 例1　(1)(多选)下列各组数成等比数列的是(　　) A.1，-2，4，-8 B.-，2，-2，4 C.x，x2，x3，x4 D.a-1，a-2，a-3，a-4 答案　ABD 解析　由等比数列的定义知，A，B，D是等比数列，C中当x=0时，不是等比数列. (2)已知数列{an}的各项都不为0，a1=1，且2an+1=3an，则a3的值为　　　　，数列{an}　　　　等比数列(填“是”或“不是”).  答案　　是 解析　因为a1=1，且2an+1=3an， 所以2a2=3a1，所以a2=， 2a3=3a2，所以a3=. 由2an+1=3an，得=， 故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列. 反思感悟　等比数列定义的理解 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零. (2)要判定一个数列是否为等比数列，只需看的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒. 跟踪训练1　判断下列数列是否为等比数列： (1)1，3，32，33，…，3n-1，…； (2)-1，1，2，4，8，…； (3)a，-a，a，-a，…. 解　(1)记数列为{an}，则a1=1，a2=3，…，an=3n-1，…. ∵==3(n≥2，n∈N+)， ∴数列为等比数列，且公比为3. (2)记数列为{an}，则a1=-1，a2=1，a3=2，…， ∵=-1≠=2， ∴此数列不是等比数列. (3)当a=0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列a，-a，a，-a，…是等比数列，且公比为-1. 二、等比数列通项公式的基本运算 问题2　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示　设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知=q(n∈N+且n≥2). 方法一　an=××…×××a1=q×q×…×q×q×a1=a1qn-1， 当n=1时，上式也成立. 方法二　a2=a1q， a3=a2q=(a1q)q=a1q2， a4=a3q=(a1q2)q=a1q3， …， 由此可得an=a1qn-1，当n=1时，上式也成立. 知识梳理　等比数列的通项公式 一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(n∈N+). 例2　(课本例1)　已知数列{an}是公比为q的等比数列. (1)若a2=2，a5=54，求{an}的通项公式； (2)若a1=125，q=0.2，an=3.2×10-4，求n. 解　(1)由等比数列的通项公式，得 ②÷①得q3=27，即q=3. 从而解得a1=. 因此，数列{an}的通项公式是 an=×3n-1=2×3n-2. (2)由等比数列的通项公式，得 an=a1qn-1=125×=54-n. 又an=3.2×10-4=5-5， 因此，54-n=5-5，解得n=9. 例2　在等比数列{an}中： (1)a1=1，a4=8，求an； (2)an=625，n=4，q=5，求a1； (3)a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n. 解　(1)因为a4=a1q3，所以8=q3，所以q=2， 所以an=a1qn-1=2n-1. (2)a1===5，故a1=5. (3) 由题意得 由，得q=，从而a1=32. 又an=1，所以32×=1， 即26-n=20，故n=6. 反思感悟　等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解. 跟踪训练2　在等比数列{an}中： (1)若a1=256，a9=1，求q和a12； (2)若a3·a5=18，a4·a8=72，求q. 解　(1)因为a9=a1·q8， 所以256·q8=1，即q=±. 当q=时，a12=a1·q11=256×=； 当q=-时， a12=a1·q11=256×=-. (2)a1·q2·a1·q4=18，即·q6=18. 又a1q3·a1q7=72，即·q10=72. 两式相除得q4==4，所以q=±. 三、等比中项 问题3　我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 提示　不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设-1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有=，即x2=-1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项.若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2=4，即x=±2；若-1，x，-4这三个数成等比数列，由定义可知，x2=4，即x=±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数. 知识梳理　等比中项 在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项，此时，G2=ab. 注意点： (1)若G2=ab，则a，G，b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 例3　-2和+2的等差中项与等比中项分别为(　　) A.，±2 B.2，± C.，±1 D.1，± 答案　C 解析　-2和+2的等差中项为 =， -2和+2的等比中项为 ±=±1. 反思感悟　(1)由等比中项的定义可知=⇒G2=ab⇒G=±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项. (2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. (3)a，G，b成等比数列等价于G2=ab(ab>0). 跟踪训练3　如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么b=　　　　　　，ac=　　　　　　.  答案　-3　9 解析　因为b是-1，-9的等比中项， 所以b2=9，b=±3. 又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b=-3， 而b又是a，c的等比中项， 故b2=ac，即ac=9. 四、等比数列的应用 例4　(课本例4)　为推进各类资源节约集约利用，一个污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时，还能生产出有用的肥料和清洁用水.在处理过程中，该污水处理厂每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12%. (1)一天后污染物含量降低到什么程度(0.8824≈0.05)？ (2)使污染物含量减半至少要多少小时(lg 0.5≈-0.301 0，lg 0.88≈-0.055 5，精确到1 h)？ 解　设污水中污染物的初始含量为a0，又设n h后残留在池中的污染物含量为an，这个问题的数学模型是数列{an}， 它满足 因此，数列{an}是以0.88a0为首项，以0.88为公比的等比数列. 于是an=0.88na0. (1)因为1天为24 h，又a24=0.8824a0≈0.05a0， 所以一天后污染物含量大约降低到原来的5%. (2)当污染物含量减半时，由题意可得 an=0.88na0=0.5a0， 解得n=log0.880.5=≈≈5.4≈6. 故使污染物含量减半至少要6 h. 例4　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示m(m∈N+)年后这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，…， 由题意，得a1=13.5，a2=13.5×(1-10%)， a3=13.5(1-10%)2，…. 由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1=13.5，公比q=1-10%=0.9， ∴an=a1·qn-1=13.5×0.9n-1. ∴m年后车的价值为am+1=(13.5×0.9m)万元. (2)由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元. 反思感悟　解等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题，最后注意数学问题再转化为实际问题作答. 跟踪训练4　我国古代春节期间，“剪窗花，贴对联”几乎是每家每户都会进行的迎新活动，窗花(俗称剪纸)蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意.如图是一幅剪纸作品.某位艺术家把一张厚度(单位：cm)为0.012 5的纸对折了三次，开始了该作品的创作，若不计纸与纸之间的间隙，则对折后的纸张厚度(单位：mm)是　　　　.  答案　1 mm 解析　由题设知对折了三次后纸张厚度为0.012 5×23=0.1(cm)，即1 mm. 1.知识清单： (1)等比数列的概念. (2)等比数列通项公式的基本运算. (3)等比中项的概念. (4)等比数列的应用. 2.方法归纳：方程(组)思想、构造法. 3.常见误区：x，G，y成等比数列⇒G2=xy，但G2=xyx，G，y成等比数列. 1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成(　　) A.64个 B.128个 C.256个 D.255个 答案　C 解析　某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28=256(个). 2.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a+3b+c=10，则a的值是(　　) A.1 B.-1 C.-3 D.-4 答案　D 解析　由题意，得 解得a=-4，b=2，c=8. 3.写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列an=　　　　.  答案　×3n-1(答案不唯一) 解析　设数列{an}的公比为q，则q=3， 由已知可得a3<1，∴9a1<1， ∴a1<，故a1可取，故满足条件的等比数列的通项公式可能为an=×3n-1. 4.若{an}为等比数列，且3a4=a6-2a5，则公比是　　　　.  答案　-1或3 解析　设公比为q，则3a1q3=a1q5-2a1q4. 因为a1q3≠0，所以q2-2q-3=0， 解得q=-1或q=3. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.数列1，-，，-，，…的一个通项公式为(　　) A. B. C.(-1)n D.(-1)n+1 答案　D 解析　根据数列可知，该数列是一个以1为首项，-为公比的等比数列， 所以该数列的通项公式为1×=(-1)2×(-1)n-1×=(-1)n+1. 2.在等比数列{an}中，若a4=8，q=-2，则a7的值为(　　) A.-64 B.64 C.-48 D.48 答案　A 解析　因为a4=a1q3=a1×(-2)3=-8a1=8，所以a1=-1，则等比数列的通项公式an=-(-2)n-1，所以a7=-(-2)6=-64. 3.在等比数列a，2a+2，3a+3中，a等于(　　) A.4 B.-4 C.-1 D.2 答案　B 解析　由题意，得=a，解得a=-4或a=-1， 当a=-1时，2a+2=0，3a+3=0，不满足条件； 当a=-4时，等比数列为-4，-6，-9，…，满足条件. 4.已知正项等比数列{an}，若3a1，a3，2a2成等差数列，则{an}的公比q等于(　　) A.2 B.-2 C.-3 D.3 答案　D 解析　易知q>0，因为3a1，a3，2a2成等差数列， 所以解得q=3. 5.碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氮14原子所产生，碳14原子经过β衰变转变为氮原子.由于其半衰期长达5 730年，经常用于考古年代鉴定，半衰期是指放射性元素的原子核有半数发生衰变所需要的时间，对某块化石进行鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约　　　万年(参考数据：lg 2≈0.301，计算结果四舍五入到0.1万年)(　　)  A.3.6 B.3.7 C.3.8 D.4.0 答案　C 解析　设碳14初始含量为1，第n个半衰期结束时，碳14含量为an， 由题意可得，第一个半衰期结束时，碳14含量为a1=； 第二个半衰期结束时，碳14含量为a2=； 以此类推，{an}是首项a1=，公比q=的等比数列， 所以第n个半衰期结束时，碳14含量为an=， 令an==1%，解得n=10-2=≈≈6.64， 所以这块化石距今约5 730×6.64=38 047.2(年)，即约3.8万年. 6.(多选)已知a是1，2的等差中项，b是-1，-16的等比中项，则ab等于(　　) A.6 B.-6 C.-12 D.12 答案　AB 解析　∵a==，b2=(-1)×(-16)=16， ∴b=±4，∴ab=±6. 7.(5分)在等比数列{an}中，a1=-2，a3=-8，则数列{an}的公比为　　　　，通项公式为an=　　　　.  答案　±2　(-2)n或-2n 解析　∵=q2， ∴q2==4，即q=±2. 当q=-2时，an=a1qn-1=-2×(-2)n-1 =(-2)n； 当q=2时，an=a1qn-1=-2×2n-1=-2n. 8.(5分)若公差不为0的等差数列{an}满足a3=5，a1，a2，a5成等比数列，则a1=　　　　.  答案　1 解析　∵a1，a2，a5成等比数列， ∴=a1a5，即=(a3-2d)(a3+2d)， 又a3=5，则(5-d)2=(5-2d)(5+2d)， 解得d=2或d=0(舍去)， 则a1=a3-2d=1. 9.(10分)某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元？ 解　设每月平均下降的百分比为x， 则每月的销售额构成了等比数列{an}， a1=128，则a2=a1(1-x)， a3=a1(1-x)2=128(1-x)2=32， 解得x=50%. 设an=8，an=128(1-50%)n-1=8，解得n=5， 即从该年6月算起第5个月，也就是在该年的10月，该公司的月销售额跌至8万元. 10.(12分)(1)已知{an}为等比数列，且a5=8，a7=2，该数列的各项都为正数，求an；(4分) (2)若等比数列{an}的首项a1=，末项an=，公比q=，求项数n；(4分) (3)若等比数列{an}中，an+4=a4，求公比q.(4分) 解　(1)设等比数列{an}的公比为q，由题意知q>0. 由已知得解得 ∵q>0，∴q=， ∴an=128×=. (2)由an=a1·qn-1， 得=×，即=，解得n=4. (3)∵an+4=a1qn+3，a4=a1q3， 又an+4=a4，∴qn=1， ∴当n为偶数时，q=±1；当n为奇数时，q=1. 11.在等比数列{an}中，已知a1=2，a1-a3+a5=26，则a3等于(　　) A.20 B.12 C.8 D.4 答案　C 解析　设等比数列{an}的公比为q，则a1-a3+a5=a1-a1q2+a1q4=2(1-q2+q4)=26， 解得q2=4(负值舍去)，所以a3=a1q2=8. 12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　C 解析　因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0，则由b2=ac，可得=，所以a，b，c成等比数列，反之，由a，b，c成等比数列，可得b2=ac，所以“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件. 13.(5分)画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于　　　　.  答案　2 048 解析　依题意，得这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an=2×(，所以第10个正方形的面积S==[2×()9]2=4×29=2 048. 14.(5分)若等差数列{an}满足a1+a2=10，a4-a3=2，则an=　　　　；若{bn}是等比数列，且b2=a3，b3=a7，b6=ak，则k=　　　　.  答案　2n+2　63 解析　由a4-a3=2知等差数列{an}的公差d=2，又a1+a2=2a1+d=10，故a1=4，则an=2n+2，所以b2=8，b3=16，则等比数列{bn}的公比q=2，b1=4.又b6=ak，故2k+2=4×26-1，解得k=63. 15.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N+)，则a53的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51=+(5-1)×=. 又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等， 所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53=×=. 16.(12分)已知等差数列{an}和等比数列{bn}，a1=b1=-4，a4=2，a5=8b4， (1)求通项公式an，bn；(5分) (2)求满足am·bm>1的正整数m.(7分) 解　 (1)设等差数列{an}的公差为d， 等比数列{bn}的公比为q. 由a1=b1=-4，a4=2，a5=8b4，可得-4+3d=2，-4+4d=-32q3， 解得d=2，q=-，则an=-4+2(n-1)=2n-6，bn=-4×. (2)由am·bm>1，可得-4(2m-6)×=-8(m-3)×>1， 即16(m-3)×>1，(*) 当m=1时，16>1成立； 当m=2时，-4>1不成立； 当m=3时，0>1不成立； 当m>3，且m为奇数时，显然(*)式不成立； 当m>3，且m为偶数时，设f(m)=， 则f(m+2)-f(m)=-=<0，即1=f(4)>f(6)>f(8)>…，可得(*)式不成立. 综上所述，m=1. 学科网（北京）股份有限公司 $