9 1.3.2 等比数列与指数函数-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

本讲义聚焦等比数列与指数函数的关系这一核心知识点，通过构建“通项公式与指数函数关联—单调性分类判定—判定证明方法—中项设元技巧”的递进学习支架，系统梳理等比数列单调性与q、a₁符号的关系，以及定义法、中项法判定等比数列的具体应用。 资料以问题驱动培养核心素养，通过观察通项公式与函数联系发展直观想象（数学眼光），借助单调性充要条件判断提升逻辑推理（数学思维），结合证明题与中项设元实例强化数学建模与运算（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后通过对点练与测评帮助学生查漏补缺，巩固知识。

1.3.2　等比数列与指数函数 学习目标 1.体会等比数列与指数函数的关系，培养直观想象、数学建模的核心素养. 2.掌握等比数列的单调性，并能利用等比数列的单调性解决相关的问题(判断、证明、计算等)，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 任务一　等比数列的单调性 问题.观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示：由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)，当x＝n时的函数值，即an＝f(n). 1. 若a1＞0，q＞0，c＞0 (1)当q＞1时，函数y＝cqx递增，数列an＝a1qn－1递增； (2)当0＜q＜1时，函数y＝cqx递减，数列an＝a1qn－1递减. 2. 若a1＜0，q＞0，c＜0 (1)当q＞1时，函数y＝cqx递减，数列an＝a1qn－1递减； (2)当0＜q＜1时，函数y＝cqx递增，数列an＝a1qn－1递增. 3.当等比数列的公比q＝1时，等比数列的各项都为常数a1，图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点. 4.当等比数列的公比q＜0时，该数列是摆动数列. 已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q＞1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：D 解析：当a1＜0，q＞1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当数列{an}是递增数列时，可能是a1＜0，0＜q＜1，即必要性不成立； 即“q＞1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件. (1)a1＞0，q＞1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1＞0，0＜q＜1时，数列{an}为正项的递减等比数列；(3)a1＜0，q＞1时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1＜0，0＜q＜1时，数列{an}为负项的递增等比数列；(5)q＝1时，数列{an}为常数列；(6)q＜0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同. 对点练1.若{an}为等比数列，则“a1＜a3＜a5”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若等比数列{an}是递增数列，可得a1＜a3＜a5一定成立； 反之：例如数列{(－1)n＋12n}，此时满足a1＜a3＜a5，但数列{an}不是递增数列， 所以“a1＜a3＜a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. 对点练2.等比数列{an}为递减数列，若a7·a14＝6，a4＋a17＝5，则等于(　　) A. B. C. D.6 答案：A 解析：因为a7·a14＝a4·a17＝6，a4＋a17＝5， 所以a4与a17为方程x2－5x＋6＝0的两个根， 解得a4＝2，a17＝3或a4＝3，a17＝2， 因为an＞an＋1，所以a4＝3，a17＝2， 所以q13＝＝，则＝＝＝. 学生用书⬇第23页 任务二　等比数列的判定与证明 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n－5an－85，n∈N＋，证明：{an－1}是等比数列. 证明：当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85， 解得a1＝－14， 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1， 所以6an＝5an－1＋1，an－1＝(an－1－1)， 又a1－1＝－15， 所以{an－1}是首项为－15，公比为的等比数列. 证明数列是等比数列常用的方法 1.定义法：＝q(q为常数且q≠0)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列； 2.等比中项法：＝an·an＋2(an≠0，n∈N＋)⇔{an}为等比数列. 对点练3.已知数列{an}满足a1＝1.若2an＋1＝3an＋1，证明：{an＋1}是等比数列. 证明：法一：因为2an＋1＝3an＋1， 所以an＋1＝an＋，又a1＝1，所以an＋1≠0， ＝＝＝＝，所以＝. 所以{an＋1}是等比数列. 法二：因为2an＋1＝3an＋1， 所以2an＋1＋2＝3an＋1＋2， 即2an＋1＋2＝3an＋3， 所以2(an＋1＋1)＝3(an＋1)， 又a1＝1，所以an＋1≠0，所以＝. 所以{an＋1}是以为公比的等比数列. 任务三　等比数列中项的设法 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数. 解：法一：设前三个数分别为，a，aq，则·a·aq＝216， 所以a3＝216.所以a＝6. 因此前三个数为，6，6q. 由题意知第4个数为12q－6. 所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝. 故所求的四个数为9，6，4，2. 法二：设后三个数为4－d，4，4＋d， 则第一个数为(4－d)2， 由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2. 故所求的四个数为9，6，4，2. 几个数成等比数列的设法 1.三个数成等比数列设为，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，，a，aq，aq2，… 2.四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，，，aq，aq3，aq5，… 3.四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 对点练4.有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是　　　　. 答案：45 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列. 即解得a＝3，q＝2. 因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 学生用书⬇第24页 1.在数列{an}中，如果an＝32－n(n＝1，2，3，…)，那么这个数列是(　　) A.公比为2的等比数列 B.公差为3的等差数列 C.首项为3的等比数列 D.首项为3的等差数列 答案：C 解析：因为an＝32－n(n＝1，2，3，…)，所以a1＝3，a2＝1，an－1＝33－n(n≥2)，则有＝＝(n≥2)，所以{an}为等比数列，且公比q＝，首项a1＝3. 2.等比数列{an}中，a2＝3，a7a10＝36，则a15等于(　　) A.12 B.6 C.－12 －6 答案：A 解析：由a2a15＝a7a10，得a15＝＝＝12，故选A. 3.设{an}是等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：设等比数列{an}的公比为q，由a1＜a2，可得a1(q－1)＞0，解得此时数列{an}不一定是递增数列； 若数列{an}为递增数列，可得 所以“a1＜a2”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件. 4.在等比数列{an}中，｜a1｜＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于(　　) A.(－2)n－1 B.－(－2)n－1 C.(－2)n D.－(－2)n 答案：A 解析：设公比为q，则a1q4＝－8a1q， 又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2， 又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0， 从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1. 5.在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝an(n∈N＋)，则a6＝　　　　. 答案： 解析：因为2an＋1＝an，a1＝2，所以＝，所以{an}是等比数列，公比q＝. 所以a6＝a1q5＝2×()5＝. 课时测评9　等比数列与指数函数 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 答案：D 解析：由公比q＜0可知，该等比数列是摆动数列. 2.在数列{an}中，对任意n∈N＋，都有an＋1－2an＝0(an≠0)，则等于(　　) A.1 B. C. D. 答案：D 解析：由an＋1－2an＝0知an＋1＝2an，故{an}是等比数列，且q＝2，则＝＝＝. 3.已知数列{an}对任意的n≥2且n∈N＋，满足＝an－1an＋1，且a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式为(　　) A.an＝2n B.an＝2n－1 C.an＝n D.无法确定 答案：B 解析：由题意可知数列{an}是等比数列，首项a1＝1，公比q＝2，所以an＝2n－1. 4.若正项数列{an}满足a1＝2，－3an＋1an－4＝0，则数列{an}的通项公式an等于(　　) A.22n－1 B.2n C.22n＋1 D.22n－3 答案：A 解析：由－3an＋1an－4＝0， 得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0. 又{an}是正项数列，所以an＋1－4an＝0，＝4. 由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项， 4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式，得an＝2×4n－1＝22n－1. 5.已知等比数列{an}的公比为q，首项a1＞0，则“q＜1”是“等比数列{an}为递减数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若q＜0，则等比数列{an}为摆动数列，由于等比数列{an}为递减数列，则q＞0. 若a1＞0，则an＝a1qn－1＞0，由an＋1＜an，所以q＜1； 所以a1＞0，等比数列{an}为递减数列⇔0＜q＜1， 所以若a1＞0，“q＜1”是“等比数列{an}为递减数列”的必要不充分条件. 6.(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a7a8＞1，＜0.则下列结论正确的是(　　) A.0＜q＜1 B.a7＞1 C.a8＞1 D.Tn的最大项为T7 答案：ABD 解析：因为a1＞1，a7a8＞1，＜0， 所以a7＞1，0＜a8＜1， 所以A正确，B正确，C错误；T7是数列{Tn}中的最大项，故D正确. 7.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an，则an＝　　　　. 答案：2×3n－1 解析：因为an＋1＝3an且a1＝2，所以＝3，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＝2×3n－1. 8.等比数列{an}不具有单调性，且a5是a4和3a3的等差中项，则数列{an}的公比q＝　 　　　. 答案：－1 解析：因为a5是a4和3a3的等差中项，所以2a5＝a4＋3a3，得2a1q4＝a1q3＋3a1q2，解得q＝或q＝－1，又等比数列{an}不具有单调性，故q＝－1. 9.(10分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N＋)，求证：{bn}是等比数列. 证明：因为an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1，所以bn＋1＝an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn， 又因为b1＝a1＋1＝2， 所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列. 10.(10分)有四个数，前三个数成等差数列，它们的和为12，后三个数成等比数列，它们的和为19，求这四个数. 解：由于前三个数成等差数列，且它们的和为12，则第二个数为4， 设前三个数分别为4－d，4，4＋d，由于后三个数成等比数列，则第四个数为， 因为后三个数之和为19，则4＋＋＝19，整理得d2＋12d－28＝0，解得d＝2或d＝－14. 若d＝2，则这四个数分别为2，4，6，9； 若d＝－14，则这四个数分别为18，4，－10，25. 因此，这四个数分别为2，4，6，9或18，4，－10，25. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.在等比数列{an}中，首项a1＜0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足(　　) A.q＞1 B.q＜1 C.0＜q＜1 D.q＜0 答案：C 解析：先证必要性： 因为a1＜0，且{an}是递增数列， 所以an＜0，即q＞0，且＝＝q＜1，则此时公比q满足0＜q＜1； 再证充分性： 因为a1＜0，0＜q＜1，所以an＜0， 所以＝＝q＜1，即an＋1＞an，则{an}是递增数列， 综上，{an}是递增数列的充要条件是公比q满足0＜q＜1. 12.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为　　　　. 答案： 解析：设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28，28q石， 所以＋28＋28q＝98，所以q＝2或. 又0＜q＜1，所以q＝. 13.已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为　　　　. 答案：1 024 解析：因为等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列， 所以解得a1＝16，q＝， 所以an＝16×()n－1＝25－n， 所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝， 所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1 024. 14.(13分)已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列. 证明：由已知，得2a2＝a1＋a3，① ＝a2·a4，② ＝＋.③ 由③得＝，所以a4＝.④ 由①得a2＝.⑤ 将④⑤代入②，得＝·. 所以a3＝，即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3).化简，得＝a1·a5. 又a1，a3，a5均不为0，所以a1，a3，a5成等比数列. 15.(5分)等比数列{an}的公比｜q｜＞1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18，36，81}中，则q等于(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：C 解析：因为{an}中的项必然有正有负，所以q＜0.又｜q｜＞1，所以q＜－1. 由此可得{an}的连续四项为－24，36，－54，81.所以q＝－. 16.(17分)设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围. 解：(1)设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1. 由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列， 知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2， 解得q＝(舍去)， 所以an＝8×()n－1＝24－n，n∈N＋. (2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n， 由bn＞bn＋1， 得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n， 即λ＜n＋1， 所以λ＜(n＋1)min＝2， 故实数λ的取值范围为(－∞，2). 学科网（北京）股份有限公司 $