第1章 1.1 第1课时 数列的概念及通项公式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学数列的概念及通项公式核心知识点，通过自然现象实例引入数列概念，系统梳理数列的分类（有穷与无穷数列），深入讲解通项公式的含义及应用（求指定项、判断某数是否为数列项），构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以自然现象导语激发学习兴趣，通过古埃及阶梯数字等实例引导学生抽象数列特征，培养抽象能力与数学眼光。问题链设计层层递进，如根据前几项归纳通项公式，发展推理意识。课中助力教师引导探究，课后分层练习帮助学生巩固应用，有效查漏补缺。

第1课时　数列的概念及通项公式 学习目标　1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 导语 有人说，大自然是懂数学的，例如树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了哪些数学规律吗？通过本节课的学习，这些问题都会得到解决. 一、数列的概念与分类 问题1　观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； (2)战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭. 把“一尺之棰”看成单位“1”，则这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…； (3)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 026，2 026，…，2 026； (4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…； (5)-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：-，，-，，…. 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看：(1)(3)项数有限，(2)(4)(5)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)每一项在依次变小，(3)项没有发生变化，(4)项呈现周期性的变化，(5)项的大小交替变化. 知识梳理 1.数列：按照一定顺序排成的一列数叫作数列. 2.数列的项：数列中的每一个数叫作这个数列的项，排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项，排在第二位的数叫作数列的第2项，…，排在第n位的数叫作数列的第n项. 3.一般形式：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}. 4.数列按项的个数分类 (1)有穷数列：只有有限多项的数列称为有穷数列. (2)无穷数列：有无穷多项的数列称为无穷数列. 注意点： (1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列. (2)同一个数可以在数列中重复出现. (3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项. 例1　下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由. (1){0，1，2，3，4}是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)-3，-1，1，x，5，7，y，11是一个项数为8的数列. 解　(1)错误.{0，1，2，3，4}是集合，不是数列. (2)正确.如将所有自然数按从小到大的顺序排列. (3)错误.当x，y代表数时为项数为8的数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列所组成. 反思感悟　(1)数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n. (2)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本质的区别. 跟踪训练1　(多选)下列说法错误的是(　　) A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B.数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列 C.数列0，1，2，3，…是无穷数列 D.数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，…是同一数列 答案　ABD 解析　A说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的；B说法错误，两数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列；显然C说法正确，D说法错误. 二、数列的通项公式 问题2　我们发现问题1中的(1)(2)(3)(5)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 提示　对于(1)，a1=7，a2=7×7=72，a3=7×7×7=73，…，于是an=7n，n∈； 对于(2)，an=，n∈N+； 对于(3)，an=2 026，n∈{x|x是本班学生的学号}； 对于(5)，an=，n∈N+. 知识梳理 1.数列{an}可以看成以正整数集N+(或其子集{1，2，…，n})为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，f(3)，….与函数的表示方法一样，数列还可以用列表法和图象法来表示. 2.如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就称为数列{an}的通项公式. 注意点： (1)并不是所有的数列都有通项公式. (2)有些数列的通项公式表达形式不唯一. 例2　(课本例1)　已知数列{an}的通项公式为an=. (1)写出数列的前5项及第n+1项. (2)和都是这个数列的项吗？若是，是第几项？ 解　(1)在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项分别为-，0，，，. 再用n+1代替通项公式an=中的n，得到数列的第n+1项是，即an+1=. (2)若是数列{an}的项，则=，解得n=，不是整数. 因此，不是数列{an}的项. 同样地，若是数列{an}的项，则=，解得n=2 024. 因此，是数列{an}的项，是第2 024项. 例2　(课本例2)　观察下面各数列，试着写出它的一个通项公式： (1)-1，1，-1，1，…； (2)9，99，999，9 999，…； (3)，-，，-，…. 解　(1)因为这个数列的前4项为(-1)1，(-1)2，(-1)3，(-1)4，由此得到它的一个通项公式an=(-1)n. (2)因为这个数列的前4项为10-1，102-1，103-1，104-1，由此得到它的一个通项公式an=10n-1. (3)因为这个数列的前4项为(-1)2·，(-1)3·，(-1)4·，(-1)5·，由此得到它的一个通项公式an=(-1)n+1·. 例2　(1)根据数列{an}的通项公式，写出数列{an}的前5项，并作出它们的图象. ①an=(-1)n+2； ②an=. 解　①数列{an}的前5项依次是1，3，1，3，1，图象如图①所示. ②数列{an}的前5项依次是2，，，，，图象如图②所示. (2)写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ①-1，，-，； ②，2，，8； ③0，1，0，1； ④9，99，999，9 999. 解　①这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. ②数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. ③这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an=由第①题也可以写成an=(n∈N+)或an=(n∈N+). ④各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an=10n-1，n∈N+. 延伸探究　 根据本例(2)中的第④题，试解决以下2个问题： 1.试写出前4项为1，11，111，1 111的一个通项公式. 解　由本例(2)的第④题可知，每一项除以9即可，即an=(10n-1)，n∈N+. 2.试写出前4项为7，77，777，7 777的一个通项公式. 解　由本例(2)的第④题可知，每一项乘即可， 即an=(10n-1)，n∈N+. 反思感悟　根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等. (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式. (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(-1)n或(-1)n+1处理符号.有时也可用分段形式. (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 跟踪训练2　(1)数列2，-5，9，-14，…的一个通项公式可以是(　　) A.an=(-1)n-1(3n-1) B.an=(-1)n(3n-1) C.an=(-1)n-1 D.an=(-1)n 答案　C (2)数列，，，1，，，…的一个通项公式为an=　　　　　　.  答案　 解析　将原数列变形为，，，，，，…， 所以an=. 三、数列通项公式的简单应用 例3　已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n，n∈N+. (1)写出数列的前3项； (2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项. 解　(1)在通项公式中依次取n=1，2，3，可得{an}的前3项分别为1，6，15. (2)令2n2-n=45，得2n2-n-45=0，解得n=5或n=-(舍去)，故45是数列{an}中的第5项. 令2n2-n=3，得2n2-n-3=0， 解得n=-1(舍去)或n=(舍去)， 故3不是数列{an}中的项. 反思感悟　(1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项. (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式为an=qn，n∈N+，且a4-a2=72. (1)求实数q的值； (2)判断-81是否为此数列中的项. 解　(1)由题意知q4-q2=72， 则q2=9或q2=-8(舍去)，∴q=±3. (2)当q=3时，an=3n.显然-81不是此数列中的项； 当q=-3时，an=(-3)n. 令(-3)n=-81，无解，∴-81不是此数列中的项. 1.知识清单： (1)数列的概念与分类. (2)数列的通项公式. (3)数列通项公式的简单应用. 2.方法归纳：观察法、归纳法、猜想法. 3.常见误区： (1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面. (2)不注意用(-1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系. 1.下列说法正确的是(　　) A.数列中不能重复出现同一个数 B.1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列 C.1，1，1，1不是数列 D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 答案　D 解析　由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1，1，1，1，故A，C不正确； B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确. 2.数列，-，，-，…的通项公式可能是(　　) A.an=(-1)n B.an=(-1)n-1 C.an=(-1)n D.an=(-1)n-1 答案　D 解析　方法一　将n=1，2，3，4代入各选项验证易得答案. 方法二　将数列，-，，-，…变为，-，，-，…，从而可知分子的规律为n，分母的规律为n+2，再结合正负的调节，可知其通项公式可以为an=(-1)n-1. 3.下列各式是数列的是　　　　　；是有穷数列的是　　　　　　；是无穷数列的是　　　　　　.  ①{1，3，5，7，9}；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2. 答案　②④⑤　②⑤　④ 解析　①是集合，不是数列；③不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来；②④⑤是数列，其中④是无穷数列，②⑤是有穷数列. 4.数列{an}的通项公式为an=则a3+a6=　　　　.  答案　8 解析　a3+a6=(3+2)+(6-3)=5+3=8. 课时对点练　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.数列可以用图象来表示 B.有些数列的通项公式不唯一 C.数列中的项不能相等 D.数列可以用一群孤立的点表示 答案　ABD 解析　数列中的项可以相等，故选项C中说法不正确. 2.已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n(n2-1)，则a6等于(　　) A.35 B.-11 C.-35 D.11 答案　A 3.已知数列{an}的一个通项公式为an=(-1)n·2n+a，且a3=-5，则实数a等于(　　) A.1 B.3 C.-1 D.-3 答案　B 解析　因为an=(-1)n·2n+a，a3=-5， 所以-23+a=-5，解得a=3. 4.数列-1，3，-7，15，…的一个通项公式可以是(　　) A.an=(-1)n·(2n-1)，n∈N+ B.an=(-1)n·(2n-1)，n∈N+ C.an=(-1)n+1·(2n-1)，n∈N+ D.an=(-1)n+1·(2n-1)，n∈N+ 答案　A 解析　数列各项正、负交替，故可用(-1)n来调节，又1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，…，所以通项公式可以是an=(-1)n·(2n-1)，n∈N+. 5.数列，，，，…的第10项是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知数列的通项公式是an=(n∈N+)，所以a10==. 6.(多选)下列通项公式中，可以作为数列，0，，0，，0，…的通项公式的是(　　) A.an=[1-(-1)n] B.an= C.an=[1-(-1)n] D.an= 答案　ABD 解析　代入验证，可知A，B，D均符合题意. 7.(5分)设函数f(x)的定义如表，数列{xn}满足x1=2，且对任意的正整数均有xn+1=f(xn)，则x2 024=　　　　　　.  x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 答案　5 解析　x2=f(x1)=f(2)=1，x3=f(x2)=f(1)=4，x4=f(x3)=f(4)=5，x5=f(x4)=f(5)=2=x1， 从而数列{xn}是一个周期为4的数列， 故x2 024=x4=5. 8.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=，则a10=　　　　，若an=，则n=　　　　.  答案　　12 解析　∵an=，∴a10==. 由an==，得n2+2n-168=0， 解得n=12或n=-14(舍去). 9.(9分)写出下列各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，…；(3分) (2)，，，，，…；(3分) (3)0.3，0.33，0.333，0.333 3，….(3分) 解　(1)各项是从4开始的偶数， 所以an=2n+2，n∈N+. (2)每一项分母可写成21，22，23，24，25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an=，n∈N+. (3)因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为1-，而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的， 所以an=，n∈N+. 10.(12分)已知数列{an}中，a1=3，a10=21，an是关于项数n的一次函数. (1)求{an}的通项公式，并求a2 024；(7分) (2)若数列{bn}的前4项为a2，a4，a6，a8，试写出{bn}的一个通项公式.(5分) 解　(1)设an=kn+b(k≠0)， 则解得 ∴an=2n+1(n∈N+)， ∴a2 024=4 049. (2)∵a2，a4，a6，a8分别为5，9，13，17，可改写为4×1+1，4×2+1，4×3+1，4×4+1， ∴数列{bn}的一个通项公式为bn=4n+1(n∈N+). 11.设an=++++…+(n∈N+)，则a2等于(　　) A. B.+ C.++ D.+++ 答案　C 解析　∵an=++++…+(n∈N+)，∴a2=++. 12.已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22项为(　　) A.6 B.7 C.64 D.65 答案　B 解析　由按规律排列的数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，可知1是1个，2是2个，3是3个，4是4个，5是5个，6是6个，7是7个， 因为1+2+3+4+5+6=21，1+2+3+4+5+6+7=28，所以该数列的第22项为7. 13.(5分)若数列{an}的通项公式为an=cos，则a5=　　　　，a2n=　　　　.  答案　-　 解析　因为an=cos， 所以a5=cos=-sin=-， a2n=cos=cos= 14.(5分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)=　　　　.  答案　61 解析　f(1)=1=2×1×0+1， f(2)=1+3+1=2×2×1+1， f(3)=1+3+5+3+1=2×3×2+1， f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×4×3+1， 故f(n)=2n(n-1)+1. 当n=6时，f(6)=2×6×5+1=61. 15.删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数(如4，8)，得到一个新数列，则这个数列的第2 020项是(　　) A.2 072 B.2 073 C.2 074 D.2 075 答案　C 解析　因为452=2 025，462=2 116，2 020<2 025，所以从数列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉45个平方数，因为123=1 728<2 025<133=2 197，所以从数列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉12个立方数，又36<2 025<46，所以在数列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中有3个数既是平方数，又是立方数，重复去掉了3个既是平方数，又是立方数的数，所以从数列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉平方数和立方数后还有2 025-45-12+3=1 971(项)，此时距第2 020项还差2 020-1 971=49(项)，所以这个数列的第2 020项是2 025+49=2 074. 16.(12分)已知数列{an}的通项公式an=，n∈N+. (1)写出它的第10项；(3分) (2)判断是不是该数列中的项；(4分) (3)求an+1及a2n.(5分) 解　(1)a10===. (2)令an==， 当n为偶数时，=，整理得8n2-33n-35=0， 解得n=-或n=5，因为n∈N+且n为偶数， ∴原方程无解； 当n为奇数时，∵n∈N+，∴an<0， ∴不是该数列中的项. 综上所述，不是该数列中的项. (3)an+1= =； a2n==. 学科网（北京）股份有限公司 $