1.2 等差数列-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

1．2　等差数列 1．2．1　等差数列及其通项公式 [素养目标]　1．通过实例，理解等差数列的概念，能在具体的问题情境中，发现等差数列的取值规律．　2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念．　3．培养学生数学建模、数学抽象、数学运算的学科素养． 一、等差数列 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示 递推关系 an＋1－an＝d(n∈N＋)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋) 通项公式 an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋) 理解1　等差数列的通项公式及运用 【典例1】　在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1和d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9． 【解】　(1)由题意知： 解得 (2)由题意知： 解得 ∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17． 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．一般地，在a1，d，n，an中知三求一． 1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(　　) A．40　　　　　　　　　　 B．42 C．43 D．45 解析：B　设等差数列{an}的公差为d，由a2＋a3＝13，可得2a1＋3d＝13．∵a1＝2，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝42． 2．已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________． 解析：法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得 解得 故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24． 法二：∵a60＝a15＋(60－15)d， ∴d＝＝， ∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24． 答案：24 理解2　等差数列的判定与证明 【典例2】　已知数列{an}的通项公式如下，分别判断数列{an}是否为等差数列： (1)an＝4－2n； (2)an＝ (3)an＝n2＋n． 【解】　(1)∵an＝4－2n，∴an＋1＝4－2(n＋1)＝2－2n． ∴an＋1－an＝(2－2n)－(4－2n)＝－2． 故数列{an}是等差数列． (2)由通项公式可知，当n≥3时，显然an－an－1＝1，即数列从第3项开始，每一项与前一项的差是同一个常数．但a2－a1＝0，a3－a2＝1，即a2－a1≠a3－a2，因此数列{an}不是等差数列． (3)∵an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，故数列{an}不是等差数列． 判断一个数列是否为等差数列的方法 1．定义法：an＋1－an＝d(n∈N＋)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋)⇔数列{an}是等差数列． 2．等差中项法：验证数列的通项an是否满足an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)． 3．已知等差数列{an}的公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，试判断{bn}是否为等差数列？并说明理由． 解：{bn}是等差数列，理由如下： 因为{an}是公差为d的等差数列， 所以an＋1－an＝d(n∈N＋)， 又bn＝3an＋4，所以bn＋1＝3an＋1＋4， 则bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4) ＝3(an＋1－an)＝3d(常数)(n∈N＋)． 由等差数列的定义知，数列{bn}是等差数列． 4．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝．求证：数列{bn}是等差数列． 证明：因为bn＋1－bn＝－ ＝－ ＝－＝＝． 又b1＝＝， 所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． 二、等差中项 在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项． 理解3　等差中项及其应用 【典例3】　(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． 【解】　法一：设a1＝－1，a5＝7． ∴7＝－1＋(5－1)d⇒d＝2． ∴所求的数列为－1，1，3，5，7． 法二：∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项． ∴b＝＝3． 又a是－1与3的等差中项， ∴a＝＝1． 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5． ∴该数列为－1，1，3，5，7． (2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列，求p，q的值． 【解】　由x1＝3，得2p＋q＝3，① 又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4， 得3＋25