第28练 导数与函数的单调性（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦导数与函数单调性核心考点，题型多样，梯度合理，覆盖基础判断、参数求解及综合应用，适配高中同步教学巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|单调区间判断、参数范围、三角函数与指数函数单调性|基础与中档结合，单选多选搭配，强调定义域与导数符号关系| |填空题|4题/20分|参数求解、切线与单调性、函数不等式、区间单调性|注重逆向思维，结合导数应用与不等式求解| |解答题|1题/14分|对数与二次函数结合的单调区间|综合考查求导、解不等式及定义域讨论，体现逻辑推理能力|

第28练　导数与函数的单调性 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.函数f(x)＝(a>0)的增区间是(　　) A.(－∞，－1) B.(－1，1) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)和(1，＋∞) 答案　B 解析　f'(x)＝a·(a>0)， 令f'(x)>0，解得－1<x<1， 故f(x)在(－1，1)上单调递增. 2.函数f(x)＝x2－ln x的减区间为(　　) A.(－1，1) B.(1，＋∞) C.(0，1) D.(0，＋∞) 答案　C 解析　函数f(x)＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，求导得f'(x)＝x－，令f'(x)＝<0，得0<x<1，因此函数f(x)＝x2－ln x的减区间为(0，1). 3.已知函数f(x)＝在(－1，1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，1] B.(－∞，1) C.(－∞，－1] D.(－∞，－1) 答案　B 解析　由题意，得f'(x)＝，又f'(x)＝≤0在(－1，1)上恒成立，所以a≤1. 而当a＝1时，f'(x)恒为0， 此时f(x)＝1(x≠－1)，不具有单调性， 所以a<1，即实数a的取值范围为(－∞，1). 4.已知x∈(0，π)，函数f(x)＝excos x的增区间为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为f(x)＝excos x，x∈(0，π)，所以f'(x)＝(cos x－sin x)ex，令f'(x)＝0，解得x＝， 当x∈时，f'(x)>0， 当x∈时，f'(x)<0， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以f(x)在(0，π)上的增区间为. 5.(多选)已知函数f(x)＝x3＋，则(　　) A.f(x)在上单调递减 B.f(x)在和上单调递减 C.f(x)的增区间为∪ D.f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增 答案　BD 解析　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). f'(x)＝16x2－ ＝， 令f'(x)<0，得－<x<0或0<x<. 所以f(x)在和上单调递减，故A错误，B正确； 令f'(x)>0，得x<－或x>， 所以f(x)的增区间为和，中间不能用“∪”连接，故C错误； 则f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，D正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的减区间为(－1，3)，则b＝　　　　，c＝　　　　.  答案　－3　－9 解析　由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d求导得 f'(x)＝3x2＋2bx＋c， 因为函数f(x)的减区间为(－1，3)， 所以－1，3是方程f'(x)＝0，即3x2＋2bx＋c＝0的两个根， 则解得 此时f'(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)， 由f'(x)<0得－1<x<3， 即函数f(x)的减区间是(－1，3)，符合题意，所以b＝－3，c＝－9. 7.已知函数f(x)＝的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝0，则函数f(x)的减区间为　　　　.  答案　(1，＋∞) 解析　因为f(x)＝，定义域为(0，＋∞)，则f'(x)＝，由已知可得f'(1)＝1－a＝0，解得a＝1，所以f'(x)＝.由f'(x)<0，得x>1，故函数f(x)的减区间为(1，＋∞). 8.若函数f(x)＝－2x＋sin x，则满足不等式f(2m2－m＋π－1)≤－2π的m的取值范围为　　　　　　　. 答案　∪[1，＋∞) 解析　函数的定义域为R， 由f'(x)＝－2＋cos x<0可知f(x)为减函数， 且f(2m2－m＋π－1)≤－2π＝f(π)， 所以2m2－m＋π－1≥π， 即2m2－m－1≥0， 解得m≤－或m≥1. 9.若函数f(x)＝x3－2x2＋ax＋1在区间[－1，4]上具有单调性，则a的取值范围是　　　　.  答案　(－∞，－16]∪[2，＋∞) 解析　f'(x)＝2x2－4x＋a，函数f(x)在区间[－1，4]上具有单调性等价于f'(x)＝2x2－4x＋a≤0或f'(x)＝2x2－4x＋a≥0在[－1，4]上恒成立， 即a≤(－2x2＋4x)min或a≥(－2x2＋4x)max，即a≤－16或a≥2. 三、解答题(共14分) 10.(14分)求函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调区间. 解　函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为， ∵y＝ln(2x＋3)＋x2， ∴y'＝＋2x＝， 当y'>0，即－<x<－1或x>－时， 函数y＝ln(2x＋3)＋x2在区间，上单调递增， 当y'<0，即－1<x<－时， 函数y＝ln(2x＋3)＋x2在区间上单调递减， 故函数y＝ln(2x＋3)＋x2的增区间为，， 减区间为. 学科网（北京）股份有限公司 $