第29练 导数与函数的极值、最值（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦导数与函数极值、最值的专题训练，含选择、填空、解答题，覆盖极值点判断、最值求解及应用，适配同步教学且融入2024新课标真题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|极值点判断、单调区间分析|含单选多选，结合导函数图像辨析极值点| |填空题|4题/20分|参数范围、最值计算|涉及三角函数、指数函数的导数应用| |解答题|1题/14分|切线方程、极值条件|2024新课标真题，综合考查导数几何意义与极值存在条件|

第29练　导数与函数的极值、最值 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f'(x)在区间(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)上的极大值点的个数为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案　B 解析　极大值点在导函数f'(x)的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图象可知极大值点共有3个. 2.函数f(x)＝x2－ln x的极值点为(　　) A.1 B. C.－ D.，－ 答案　B 解析　由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)， 且f'(x)＝3x－， 令f'(x)＝0，得x＝. 当x>时，f'(x)>0；当0<x<时，f'(x)<0， ∴当x＝时，f(x)取得极小值，故f(x)的极小值点为x＝，无极大值点. 3.函数f(x)＝x3－4x＋4在区间[0，3]上的最大值与最小值分别是(　　) A.1，－ B.4，－ C.4， D.，－4 答案　B 解析　由题意得f'(x)＝x2－4.令f'(x)＝0， 即x2－4＝0， 解得x＝2或x＝－2(舍去)， 当x∈[0，2)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(2，3]时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增. 故函数f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝－， 又f(0)＝4，f(3)＝1， 所以函数f(x)的最大值与最小值分别为4和－. 4.一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为(　　) A. B. C. D.2 答案　C 解析　设窗户的周长为L，圆的半径为x，矩形高为h， 则S＝x2＋2hx， ∴h＝x， ∴窗户的周长L＝πx＋2x＋2h＝＋2x＋x， ∴L'＝2＋，由L'＝0，得x＝， 当x∈时，L'<0， 即L单调递减； 当x∈时，L'>0，即L单调递增， ∴当x＝时，L取最小值. 5.(多选)如图为函数f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是(　　) A.f(x)在x＝1处取得极大值 B.x＝－1是f(x)的极小值点 C.f(x)在(2，4)上单调递减，在(－1，2)上单调递增 D.x＝2是f(x)的极小值点 答案　BC 解析　当x＝1时，f'(1)≠0， ∴x＝1不是 f(x)的极值点，故A错误； 当x∈(－3，－1)时，f'(x)<0， 当x∈(－1，2)时，f'(x)>0， ∴f(x)在(－3，－1)上单调递减，在(－1，2)上单调递增， ∴x＝－1是 f(x)的极小值点，故B正确； 当x∈(2，4)时，f'(x)<0， ∴f(x)在(2，4)上单调递减， ∴x＝2是f(x)的极大值点，故C正确，D错误. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.若函数f(x)＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(－∞，－1) 解析　由题意得f'(x)＝ex＋a＝0在(0，＋∞)上有解. 当x>0时，可得a＝－ex<－1， 故实数a的取值范围是(－∞，－1). 7.函数f(x)＝x－sin x在上的最大值为　　　　.  答案　0 解析　f'(x)＝－cos x，x∈， 当x∈时，f'(x)＝－cos x<0，当x∈时，f'(x)＝－cos x>0， 故f(x)＝x－sin x在上单调递减，在上单调递增， 其中f(0)＝0，f －1<0， 故f(x)＝x－sin x在上的最大值为0. 8.已知函数f(x)＝(x－a)(x2－2x)在x＝a处取得极大值，则a＝　　　　　.  答案　0 解析　函数f(x)＝(x－a)(x2－2x)，求导得f'(x)＝x2－2x＋(x－a)(2x－2)， 依题意，f'(a)＝a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2， 当a＝0时，f'(x)＝3x2－4x，当x<0或x>时，f'(x)>0，当0<x<时，f'(x)<0， 函数f(x)在x＝0处取得极大值，符合题意； 当a＝2时，f'(x)＝(x－2)(3x－2)，当x<或x>2时，f'(x)>0，当<x<2时，f'(x)<0， 函数f(x)在x＝2处取得极小值，不符合题意， 综上，a＝0. 9.当x∈(0，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　.  答案　[－6，＋∞) 解析　根据题意，当x∈(0，1]时，分离参数a， 得a≥恒成立. 令＝t，t≥1， 则a≥t－4t2－3t3恒成立. 令g(t)＝t－4t2－3t3， 则g'(t)＝1－8t－9t2＝(－9t＋1)(t＋1)， 当t≥1时，g'(t)<0， ∴函数g(t)在[1，＋∞)上单调递减. 则g(t)≤g(1)＝－6， ∴a≥－6. ∴实数a的取值范围是[－6，＋∞). 三、解答题(共14分) 10.(14分)(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax－a3. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5分) (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.(9分) 解　(1)当a＝1时，则f(x)＝ex－x－1， f'(x)＝ex－1， 可得f(1)＝e－2，f'(1)＝e－1， 即切点坐标为(1，e－2)， 切线斜率k＝e－1， 所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)， 即(e－1)x－y－1＝0. (2)方法一　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)＝ex－a， 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增， 无极值，不符合题意； 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a， 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，＋∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，无极大值， 由题意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0， 即a2＋ln a－1>0， 令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0， 则g'(a)＝2a＋>0， 可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增， 且g(1)＝0， 不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，＋∞). 方法二　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)＝ex－a， 若f(x)有极小值， 则f'(x)＝ex－a有零点， 令f'(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a， 可知y＝ex与y＝a有交点，则a>0， 令f'(x)>0，解得x>ln a； 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，＋∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3， 无极大值，符合题意， 由题意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0， 即a2＋ln a－1>0， 令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0， 因为y＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)上均单调递增， 所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增， 且g(1)＝0， 不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $