第8练 与圆有关的最值问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦圆的最值问题，通过选择、填空、解答题系统训练，融合几何直观与代数运算，适配高中同步教学巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|圆的方程、直线与圆位置关系、距离公式|基础巩固与能力提升结合，单选考距离最值，多选综合相切条件与不等式| |填空题|4题/20分|斜率最值、弦长最短、对称点应用|突出几何意义转化，如斜率的切线法、对称点求距离和| |解答题|1题/14分|反射路径最短、代数式最值|综合对称变换与圆上点距离，体现数学思维的逻辑性与严谨性|

第8练　与圆有关的最值问题 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.已知圆C：x2＋y2－4x＝0和直线l：kx－y＋1－2k＝0，则圆心C到直线l的最大距离为(　　) A.1 B.2 C.3 D. 答案　A 解析　因为直线l过定点A(2，1)， 则圆心C(2，0)到直线l的最大距离 d＝AC＝＝1. 2.已知圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆C2：(x－2)2＋(y－3)2＝4，A，B分别是圆C1和圆C2上的动点，则AB的最大值为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案　D 解析　圆C1的圆心C1(－1，－1)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2，3)，半径r2＝2，则C1C2＝＝5>r1＋r2＝3，所以两圆外离，AB的最大值为C1C2＋r1＋r2＝8. 3.已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则的最小值是(　　) A.9 B.8 C.4 D.2 答案　A 解析　圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心为C(0，1).因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.因此＝(b＋c)＋5≥2＋5＝9，当且仅当b＝，c＝时等号成立. 4.已知直线l：x－y＋5＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0交于A，B两点，若M是圆上的一动点，则△MAB面积的最大值是(　　) A.3－2 B.2 C.3＋2 D.3＋4 答案　C 解析　圆C的圆心为C(1，2)，半径为r＝3，则圆心C到直线l的距离为d＝＝2， 则AB＝2＝2＝2，则M到弦AB的距离的最大值为d＋r＝2＋3， 则△MAB面积的最大值是×AB×(2＋3)＝2＋3. 5.(多选)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则(　　) A.直线x＋y＋a＝0与直线x＋y－b＝0间的距离是定值 B.点(－a，b)一定在该圆外 C.的最小值是 D.的取值范围是(0，＋∞) 答案　ACD 解析　∵x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切， ∴d＝，即a＋b＝1(a，b为正实数)，直线x＋y＋a＝0与直线x＋y－b＝0间的距离是(定值)，故A正确； ∵(－a－b)2＋(b－1)2＝12＋a2<2(0<a<1)， ∴点(－a，b)一定在该圆内，故B错误； 表示直线a＋b＝1上的点(a，b)到原点的距离，最小为原点到直线的距离等于，故C正确； ∵＝(b＋1)＋－4≥0(b＋1>0)，当且仅当b＝1时取等号， ∵a＋b＝1(a，b为正实数)， ∴0<b<1，则上式等号不成立. ∴的取值范围是(0，＋∞)，故D正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.设实数x，y满足(x－1)2＋y2＝1，则的最大值为　　　　　.  答案　 解析　实数x，y满足(x－1)2＋y2＝1，则的几何意义是圆上点(x，y)与(－1，0)连线的斜率，由于圆的半径为1，所以过点(－1，0)的直线与圆相切时，直线的倾斜角为30°或150°， 此时直线的斜率为或－.根据图形可知的最大值是. 7.直线l：mx－y＋1＝0截圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0的弦为MN，当MN取最小值时，m的值为　　　　.  答案　1 解析　所给圆的圆心为C(－2，3)，半径为3.又直线l过定点A(0，1)，而点A在圆C内，所以当直线l与AC垂直时，弦MN的长最小，则m＝－＝－＝1. 8.已知点M为圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上一动点，点N是直线x＋y＝0上一点，点A的坐标为(2，0)，则MN＋AN的最小值为　　　　.  答案　－1 解析　圆(x－2)2＋(y－1)2＝1的圆心为D(2，1)，设A(2，0)关于直线x＋y＝0的对称点为A'(m，n)，则有解得所以A'(0，－2)，所以由对称性可知MN＋AN的最小值为A'D－1＝－1＝－1. 9.已知直线l：x－y＝1与圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为　　　　.  答案　 解析　把圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝3，则圆心M(1，－1)，半径r＝. 因为直线l与圆相交，由点到直线的距离公式得弦心距d＝，由勾股定理得半弦长＝， 所以弦长AC＝2×. 又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是△ABC和△ACD的面积之和，当B，D在如图所示的位置，即BD为弦AC的垂直平分线时(即为直径)，两个三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大， 设AC与BD相交于点E， 则最大面积S＝AC·BE＋AC·DE＝AC·BD＝××2. 三、解答题(共14分) 10.(14分)已知点A(1，1)和圆C：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，一束光线从A发出，经x轴反射后到达圆C. (1)求光线所走过的最短路径长；(6分) (2)若P为圆C上任意一点，求x2＋y2－2x－4y的最大值和最小值.(8分) 解　(1)A(1，1)关于x轴的对称点为A'(1，－1)， 由圆C：(x＋2)2＋(y－2)2＝1知圆心为C(－2，2)， ∴A'C＝＝3， 即光线所走过的最短路径长为3－1. (2)x2＋y2－2x－4y＝(x－1)2＋(y－2)2－5. (x－1)2＋(y－2)2表示圆C上一点P(x，y)到点(1，2)的距离的平方， 由题意，得[(x－1)2＋(y－2)2]min＝22＝4，[(x－1)2＋(y－2)2]max＝42＝16. 因此，x2＋y2－2x－4y的最大值为11，最小值为－1. 学科网（北京）股份有限公司 $