第25练 数学归纳法（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦数学归纳法核心内容，通过选择、填空、解答题全面考查验证步骤、归纳假设、递推应用等关键能力，结合数列、不等式、整除问题，层次分明，适配同步教学。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|验证步骤、归纳假设形式、不等式项添加、平面区域、方法辨析|基础概念与辨析结合，突出数学归纳法逻辑严谨性| |填空题|4题/20分|表达式验证、整除证明代数式、不等式成立n值、整除变形|强化步骤细节，注重数学思维的推理过程| |解答题|1题/14分|数列前n项和与通项关系、猜想证明|综合数列与数学归纳法，体现“观察-猜想-证明”完整探究链|

第25练　数学归纳法 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N*)，用数学归纳法证明：an<an＋1，在验证n＝1成立时，不等式右边计算所得结果是(　　) A. B.1 C. D.2 答案　C 解析　当n＝1时，不等式右边为a2＝1＋＝1＋. 2.用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有1－＋…＋＝2，在验证n＝2成立后，归纳假设应写成(　　) A.假设当n＝k(k∈N*)时命题成立 B.假设当n≥k(k∈N*)时命题成立 C.假设当n＝2k(k∈N*)时命题成立 D.假设当n＝2(k＋1)(k∈N*)时命题成立 答案　C 解析　因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证n＝2成立后， 归纳假设应写成：假设当n＝2k(k∈N*)时命题成立. 3.用数学归纳法证明＋…＋≥(n∈N*)，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　当n＝k时，左边的代数式为＋…＋， 当n＝k＋1时，左边的代数式为＋…＋， 故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果为 . 4.平面上n个圆最多把平面分成an个区域，通过归纳推理猜测an的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当n＝k＋1时，需证ak＋1＝ak＋　　　　(　　)  A.k＋1 B.k2－k＋2 C.k(k＋1) D.2k 答案　D 解析　1个圆把平面分成2个区域，2个圆把平面最多分成(2＋1×2)个区域，3个圆把平面最多分成(2＋1×2＋2×2)个区域， 依此类推，可得n个圆最多把平面分成2＋1×2＋2×2＋…＋(n－1)×2＝n2－n＋2(个)区域， 归纳得an＝n2－n＋2， 假设当n＝k时，等式成立，即ak＝k2－k＋2， 则当n＝k＋1时，ak＋1＝(k＋1)2－(k＋1)＋2＝k2＋k＋2＝k2－k＋2＋2k＝ak＋2k. 5.(多选)下列说法正确的是(　　) A.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法 B.数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1 C.数学归纳法的两个步骤缺一不可 D.用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上 答案　CD 解析　与正整数n有关的数学命题的证明不一定只能用数学归纳法，如：证明＋…＋(n∈N*)时，可用数学归纳法，也可使用裂项相消法求和，故A错误； 数学归纳法的第一步n0的初始值不一定为1，如：证明当n为偶数时，xn－yn能被x＋y整除.初始值为2，故B错误； 数学归纳法的两个步骤缺一不可，且用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上，故C，D正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.在证明1＋2＋22＋23＋…＋25n－1(n∈N*)是31的倍数时，n＝1时验证的表达式是　　　　　　.  答案　1＋2＋22＋23＋24 解析　由题意，证明1＋2＋22＋23＋…＋25n－1(n∈N*)是31的倍数时， 当n＝1时，可得5×1－1＝4，所以验证的表达式为1＋2＋22＋23＋24. 7.在运用数学归纳法证明(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除时，则当n＝k＋1时，除了n＝k时必须有归纳假设的代数式(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为　　　　　　.  答案　(x2＋3x＋3)(x＋2)2k－1 解析　设当n＝k时，(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1(k∈N*)能被x2＋3x＋3整除， 所以当n＝k＋1时，(x＋1)k＋2＋(x＋2)2k＋1＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋2)2(x＋2)2k－1 ＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋1)(x＋2)2k－1＋(x2＋3x＋3)(x＋2)2k－1 ＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x2＋3x＋3)(x＋2)2k－1， 因此必须有代数式(x2＋3x＋3)(x＋2)2k－1. 8.用数学归纳法证明>对任意n≥k(n，k∈N*)都成立，则k的最小值为　　　　.  答案　3 解析　由题得1－>1－，即3n>6n＋1，当n＝1时，3<7，不符合；当n＝2时，9<13，不符合；当n＝3时，27>19，不等式成立；当n＝4时，81>25，不等式成立；当n>4时根据指数函数与一次函数的性质可得3n>6n＋1.所以满足题意的k的最小值为3. 9.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为　　　　　　　　　　.  答案　(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6 解析　(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5 ＝(k3＋5k)＋3k2＋3k＋6＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6. 根据假设k3＋5k能被6整除， ∵k(k＋1)为偶数，∴3k(k＋1)能被6整除， ∴(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6. 三、解答题(共14分) 10.(14分)已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N*). (1)计算a1，a2，a3，a4；(6分) (2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.(8分) 解　(1)由Sn＝1－nan(n∈N*)得， a1＝S1＝1－a1，解得a1＝； 由S2＝a1＋a2＝1－2a2，解得a2＝； 由S3＝a1＋a2＋a3＝1－3a3，解得a3＝； 由S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1－4a4，解得a4＝， 所以计算得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝. (2)猜想an＝，证明如下： ①当n＝1时，猜想显然成立. ②假设n＝k时，猜想成立，即ak＝. 那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1， 即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1. 又Sk＝1－kak＝， 所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1， 从而ak＋1＝ ＝. 即当n＝k＋1时，猜想也成立. 故由①和②可知，猜想成立. 学科网（北京）股份有限公司 $