第21练 等比数列的概念与通项公式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦等比数列核心知识，题型多样，梯度分明，结合视力表实际情境与逻辑推理，适配同步教学巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|等比数列概念、公比、充分必要条件、实际应用|基础计算与逻辑推理结合，融入视力表生活情境| |填空题|4题/20分|公比、中项、单调性、乘积最值|性质应用与综合分析，梯度提升| |解答题|1题/14分|通项公式、递推关系|综合等差中项与错位相减思想，体现能力考查|

第21练　等比数列的概念与通项公式 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.已知数列{an}满足an＋1－2an＝0(n∈N*)，且a1＋a3＋a5＝13，那么a4＋a6＋a8等于(　　) A.19 B.31 C.52 D.104 答案　D 解析　因为an＋1－2an＝0(n∈N*)，所以有＝2，因此数列{an}是公比q＝2的等比数列，因为a1＋a3＋a5＝13，所以a4＋a6＋a8＝a1q3＋a3q3＋a5q3＝q3(a1＋a3＋a5)＝23×13＝104. 2.已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是(　　) A.1或 B.1或－ C.1或 D.1或－ 答案　D 解析　由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，＝2， 从而有或 又， 因此的值为1或－. 3.已知数列{an}为等比数列，则“a1<0，q>1”是“{an}为递减数列”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　若等比数列{an}满足a1<0，q>1， 则an＋1－an＝a1·qn－1·(q－1)<0，故数列{an}为递减数列， 故“a1<0，q>1”是“{an}为递减数列”的充分条件； 若等比数列{an}满足a1>0，0<q<1，则数列{an}也是递减数列， 故“a1<0，q>1”不是“{an}为递减数列”的必要条件. 综上所述，“a1<0，q>1”是“{an}为递减数列”的充分且不必要条件. 4.标准对数视力表采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为(　　) A.1a B.1a C.1a D.1a 答案　D 解析　设第n行视标边长为an，且a1＝a，则第n－1行视标边长为an－1(n≥2)， 由题意可得an－1＝an(n≥2)，则＝1(n≥2)，则数列{an}为首项为a，公比为1的等比数列，所以a10＝a＝1a，则视力4.9的视标边长为1a. 5.(多选)在等比数列{an}中，a1a2＝2，a3＝4，则(　　) A.{an}的公比为 B.{an}的公比为2 C.a3＋a5＝20 D.数列为递增数列 答案　BC 解析　设等比数列{an}的公比为q， 依题意，解得则an＝2n－1，a3＋a5＝22＋24＝20，B，C正确，A错误； 对于D，log2＝1－n，则数列为递减数列，D错误. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.已知等比数列{an}满足a1＝2，a4＝－16，则公比q＝　　　　.  答案　－2 解析　∵等比数列{an}满足a1＝2，a4＝－16， ∴q3＝＝－8，解得q＝－2. 7.在等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，则a5＝　　　　.  答案　8 解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由a3＝4，a7＝16得解得 则a5＝a1q4＝2×22＝8. 8.已知正数数列{an}为等比数列，公比为q，又bn＝log2an，n为任意正整数，且数列{bn}是递减数列，则q的取值范围是　　　　.  答案　(0，1) 解析　因为数列{bn}是递减数列，所以bn＋1<bn，即log2an＋1<log2an，即log2<0， 即log2q<0＝log21，解得0<q<1， 所以q的取值范围为(0，1). 9.设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则当a1a2…an取最大值时，n的值为　　　　.  答案　3或4 解析　设等比数列{an}的公比为q， 由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得 解得则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，…， 所以a1a2…an≤a1a2a3＝a1a2a3a4＝64，则当a1a2…an取最大值时，n的值为3或4. 三、解答题(共14分) 10.(14分)已知在公比大于1的等比数列{an}中，a2＝2且6是a1＋3与a3＋4的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)若数列{bn}满足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝an，求数列{bn}的通项公式.(8分) 解　(1)设公比为q， 由题意可得解得 则an＝a1qn－1＝2n－1. (2)数列{bn}满足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝an， ① 可得当n＝1时，b1＝a1＝1； 当n≥2时，b1＋2b2＋3b3＋…＋(n－1)bn－1＝an－1， ② ①－②得nbn＝an－an－1＝2n－1－2n－2＝2n－2， 则bn＝，当n＝1时，b1＝1不满足等式， 所以bn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $