第20练 等差数列的前n项和（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦等差数列前n项和的同步练习，含2024年高考真题改编题，覆盖公式应用、性质探究及综合计算，适配高中数学同步教学需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|S₉与项的关系、Sₙ性质、奇偶项和、跨数列前n项和比、公差范围分析|融入2024全国甲卷真题，设置多选题考察推理严谨性| |填空题|4题/20分|由Sₙ求通项、S₁₀计算、含平方差的性质应用、绝对值求和|包含2024新课标Ⅱ真题，注重性质灵活应用| |解答题|1题/14分|通项公式推导、前n项和最值|三选一条件设计，考察分类讨论与问题解决能力|

第20练　等差数列的前n项和 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7等于(　　) A.－2 B. C.1 D. 答案　D 解析　方法一　设等差数列{an}的公差为d，因为S9＝1，所以S9＝9a1＋d＝1，所以9a1＋36d＝1，所以a1＋4d＝，所以a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝. 方法二　因为等差数列{an}中，S9＝1，所以9a5＝1，所以a5＝，所以a3＋a7＝2a5＝. 2.已知等差数列{an}的前n项和为40，前3n项和为420，则前2n项和为(　　) A.140 B.180 C.220 D.380 答案　B 解析　设等差数列{an}的前n项和为Sn， 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列， 所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n， 又Sn＝40，S3n＝420， 所以2(S2n－40)＝40＋420－S2n， 解得S2n＝180. 所以等差数列{an}的前2n项和为180. 3.已知等差数列{an}的项数为2m＋1(m∈N*)，其中奇数项之和为140，偶数项之和为 120，则m等于(　　) A.6 B.7 C.12 D.13 答案　A 解析　项数为2m＋1的等差数列{an}中奇数项共有(m＋1)项， 其和为＝(m＋1)am＋1＝140， 项数为2m＋1的等差数列{an}中偶数项共有m项， 其和为＝mam＋1＝120， 所以，解得m＝6. 4.已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且， 所以. 5.(多选)设等差数列{an}的前n项的和为Sn，公差为d，已知a3＝12，S12>0，a7<0，则(　　) A.S5＝60 B.d的值可以为－3 C.a6>0 D.当Sn<0时，n的最小值为13 答案　ACD 解析　∵数列{an}是等差数列，∴S5＝5a3＝60，故选项A正确； ∵S12＝6(a6＋a7)>0， ∴a6＋a7>0， ∴a3＋3d＋a3＋4d>0且a7＝a3＋4d<0， 解得－<d<－3，故选项B错误； ∵a6＋a7>0，a7<0， ∴a6>0，故选项C正确； ∵S12>0，S13＝13a7<0， ∴当Sn<0时，n的最小值为13，故选项D正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.已知数列{an}的前n项和Sn＝4n2－n，则{an}的通项公式为　　　　　　　　.  答案　an＝8n－5 解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n2－n－[4(n－1)2－(n－1)]＝8n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝4×12－1＝3，符合上式. 综上，an＝8n－5. 7.(2024·新课标全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝　　　　.  答案　95 解析　方法一　(基本量法) 设数列{an}的公差为d， 则由题意得 解得 则S10＝10a1＋d ＝10×(－4)＋45×3＝95. 方法二　(利用下标和性质) 设数列{an}的公差为d， 由a3＋a4＝a2＋a5＝7， 3a2＋a5＝5， 得a2＝－1，a5＝8， 故d＝＝3，a6＝11， 则S10＝×10＝5(a5＋a6) ＝5×19＝95. 8.已知公差不为0的等差数列{an}满足，则S12＝　　　　.  答案　0 解析　根据题意，设等差数列{an}的公差为d， 由，得＝0， 变形可得(a8－a5)(a8＋a5)＋(a7－a6)(a7＋a6)＝0，即3d(a8＋a5)＋d(a7＋a6)＝4d(a7＋a6)＝0， 因为d≠0，则a7＋a6＝0， 由等差数列的性质得a1＋a12＝0，所以S12＝0. 9.在数列{an}中，已知 a1＝－20，an＋1＝an＋4，则 |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a20|＝　　　　.  答案　480 解析　由an＋1＝an＋4，得an＋1－an＝4， 所以数列{an}是公差为4的等差数列，且a1＝－20， 所以an＝－20＋(n－1)×4＝4n－24，Sn＝＝2n2－22n， 当1≤n≤6，n∈N*时，an≤0，当n≥7，n∈N*时，an>0， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a20|＝－a1－a2－…－a6＋a7＋a8＋…＋a20 ＝－S6＋S20－S6＝S20－2S6＝2×202－22×20－2×(2×62－22×6)＝480. 三、解答题(共14分) 10.(14分)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a3＝7，　　　.从①S6＝51；②an＝an－1－3；③S5＝a3a5中任选一个，补充在横线上中并作答：  (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)求数列{an}的前n项和Sn的最值.(8分) 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分. 解　若选①： (1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意可得 解得所以an＝3n－2. (2)由(1)可知，an＝3n－2，所以数列{an}是递增数列，故Sn的最小值为S1＝1，无最大值. 若选②： (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得d＝an－an－1＝－3， 因为a3＝a1＋(3－1)×(－3)＝7，解得a1＝13，所以an＝－3n＋16. (2)由(1)可得an＝－3n＋16， 令 解得≤n≤，又n∈N*，所以n＝5， 故Sn的最大值为S5＝＝35，无最小值. 若选③： (1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意可得S5＝＝5a3＝a3a5， 解得a5＝5， 因为a3＝7， 所以d＝＝－1，故a1＝a3－2d＝9， 所以an＝－n＋10. (2)由(1)可知an＝－n＋10，令an＝0，解得n＝10， 故Sn的最大值为S9＝S10＝＝45，无最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $