第24练 数列求和（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 数列求和专题训练，含选择（26分）、填空（20分）、解答题（14分），覆盖分组、错位相减、裂项相消等核心方法，注重能力梯度与数学文化融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|递推关系、周期数列、数学文化（提丢斯数列）|单多选题结合，梯度从基础到创新| |填空题|4题/20分|分组求和、三角函数性质应用、等比数列求和|裂项相消与错位相减前置训练| |解答题|1题/14分|等差等比通项综合、错位相减求和|高考真题式设问，强调逻辑推理|

第24练　数列求和 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.若数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＋an＝2n，则S8等于(　　) A.84 B.86 C.170 D.172 答案　C 解析　因为数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＋an＝2n， 则S8＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(a5＋a6)＋(a7＋a8)＝2＋23＋25＋27＝170. 2.记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n＋1，则S100的值为(　　) A.5 050 B.2 600 C.2 550 D.2 450 答案　B 解析　当n为奇数时，an＋2－an＝2，所以数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列； 当n为偶数时，an＋2－an＝0，所以数列{a2n}是首项为2，公差为0的等差数列，即常数列. 则S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝50＋×2＋50×2＝2 600. 3.已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋，则an等于(　　) A.4＋ B.4－ C.5＋ D.5－ 答案　D 解析　由题意可得an＋1－an＝ ＝2， 所以当n≥2时，a2－a1＝2， a3－a2＝2，…， an－an－1＝2， 上式累加可得an－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＝2， 所以an＝5－，当n＝1时，a1＝3，符合上式，故an＝5－，n∈N*. 4.在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，n∈N*，则{an}的前2 025项和为(　　) A.589 B.590 C. D. 答案　D 解析　因为a1＝3，an＋1＝，n∈N*， 所以a2＝＝－2，a3＝＝－，a4＝，a5＝＝3， 而a5＝a1，所以数列{an}是以4为周期的周期数列， 所以{an}的前2 025项和为 a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＝506(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＝506×＋3＝. 5.(多选)“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体为：取0，3，6，12，24，48，96，…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中正确的是(　　) A.“提丢斯数列”是等比数列 B.“提丢斯数列”的第99项为 C.“提丢斯数列”的前31项和为 D.“提丢斯数列”中，不超过20的有8项 答案　BCD 解析　记“提丢斯数列”为数列{an}，则当n≥3时，an＝， 当n＝2时，a2＝0.7，符合该式， 当n＝1时，a1＝0.4不符合该式， 故an＝故A错误； a99＝，故B正确； “提丢斯数列”的前31项和为·×30＝，故C正确；令≤20，即2n－2≤，得n＝2，3，4，5，6，7，8，又a1<20，故不超过20的有8项，故D正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.数列{n＋2n}的前n项和为Sn，则Sn＝　　　　.  答案　＋2n＋1－2 解析　依题意得Sn＝1＋21＋2＋22＋3＋23＋…＋n＋2n＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(21＋22＋23＋…＋2n) ＝＋2n＋1－2. 7.设数列{an}的通项公式为an＝sin2n°，该数列的前n项和为Sn，则S89＝　　　　.  答案　 解析　∵sin(90°－α)＝cos α，∴sin2α＋sin2(90°－α)＝sin2α＋cos2α＝1. ∵S89＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，又S89＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°， 两式相加得2S89＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝1×89＝89，因此S89＝. 8.设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)，bn＝(2n－1)an，则数列{bn}的前n项和Tn＝　　　　　　　　.  答案　(n－1)·3n＋1＋3 解析　因为an＋1＝2Sn＋3， 所以n≥2时，an＝2Sn－1＋3， 所以an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an， 即an＋1＝3an， 又a1＝3，a2＝2S1＋3＝9，所以＝3， 所以{an}是等比数列，首项和公比都是3， 所以an＝3n， bn＝(2n－1)·3n， 则Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n， 所以3Tn＝1×32＋3×33＋…＋(2n－3)·3n＋(2n－1)·3n＋1， 两式相减得－2Tn＝3＋2×32＋2×33＋…＋2·3n－(2n－1)·3n＋1 ＝3＋－(2n－1)·3n＋1 ＝(2－2n)·3n＋1－6， 所以Tn＝(n－1)·3n＋1＋3. 9.已知数列{an}满足an＋1＝λan＋1，且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的前6项和为　　　　.  答案　120 解析　因为an＋1＝λan＋1，且a1＝1，a2＝3，所以a2＝λa1＋1＝λ＋1＝3，解得λ＝2， 所以an＋1＝2an＋1，即an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1， 所以数列{an}的前6项和为(2＋22＋…＋26)－6＝－6＝120. 三、解答题(共14分) 10.(14分)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.{bn}是各项均不为零的等差数列，其前n项和Sn＝2n2＋n. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(6分) (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.(8分) 解　(1)设数列{an}的公比为q(q>0)，因为a1＋a2＝6，a1a2＝a3， 所以 解得或(舍去)，所以an＝2n； 因为{bn}的前n项和Sn＝2n2＋n，所以当n＝1时，b1＝S1＝3， 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋n－1]＝4n－1， 当n＝1时，bn＝4n－1也成立，所以bn＝4n－1. (2)由(1)可知an·bn＝(4n－1)·2n， 所以Tn＝3×21＋7×22＋11×23＋…＋(4n－1)×2n， ① 2Tn＝3×22＋7×23＋11×24＋…＋(4n－5)×2n＋(4n－1)×2n＋1， ② ①－②得－Tn＝3×21＋4×(22＋23＋…＋2n)－(4n－1)×2n＋1＝6＋4×－(4n－1)×2n＋1＝－10－(4n－5)×2n＋1， 所以Tn＝(4n－5)·2n＋1＋10. 学科网（北京）股份有限公司 $