第19练 等差数列的性质（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦等差数列性质的同步训练题集，含选择、填空、解答题共10题60分，覆盖性质应用、逻辑推理及实际情境，注重基础巩固与能力梯度提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题26分|等差中项、公差计算、充要条件、实际应用、新定义“等方差数列”|基础与创新结合，含多选题考查概念辨析| |填空题|4题20分|性质灵活应用、数列差的性质、递增数列求解、构造新数列|突出性质变形与转化思想| |解答题|1题14分|性质综合应用（项的关系、通项公式求解）|分层设问，考查逻辑推理与运算能力|

第19练　等差数列的性质 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于(　　) A.5 B.8 C.10 D.14 答案　B 解析　由题意得a1＋a7＝a3＋a5＝10，a1＝2， ∴a7＝8. 2.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝16，a4＝6，则公差d的值是(　　) A.2 B.1 C.－1 D.－2 答案　A 解析　∵{an}为等差数列， ∴a2，a5，a8成等差数列， ∴a2＋a8＝2a5，又a2＋a8＝16， ∴a5＝8，又a4＝6， ∴d＝a5－a4＝8－6＝2. 3.设p为“an＋an＋3＝an＋1＋an＋2”，q为“{an}是等差数列”，则p是q的(　　) A.充要条件 B.充分且不必要条件 C.必要且不充分条件 D.既不充分又不必要条件 答案　C 解析　若p成立，即an＋an＋3＝an＋1＋an＋2成立，数列不一定为等差数列， 例如0，1，0，1，0，1，…； 若q成立，即{an}是等差数列，因为n＋(n＋3)＝(n＋1)＋(n＋2)，所以p成立， 所以p是q的必要且不充分条件. 4.现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第五只茶壶的容积为(　　) A.0.25升 B.0.5升 C.1升 D.1.5升 答案　B 解析　设九只茶壶按容积从小到大依次记为a1，a2，…，a9 ， 由题意可得a1＋a2＋a3＝0.5，a7＋a8＋a9＝2.5， 所以3a2＝0.5，3a8＝2.5，则a2＋a8＝1，故a5＝＝0.5. 5.(多选)在数列{an}中，若＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则{an}称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断中正确的是(　　) A.若{an}是“等方差数列”，则{}是等差数列 B.若{an}是“等方差数列”，则{}是“等方差数列” C.数列{(－1)n}是“等方差数列” D.若{an}是“等方差数列”，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是“等方差数列” 答案　ACD 解析　对于A，{an}是“等方差数列”，可得＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，即有{}是首项为，公差为p的等差数列，故A正确； 对于B，例如数列{}是“等方差数列”，但是数列不是“等方差数列”，故B不正确； 对于C，在数列{(－1)n}中， ＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N*)，所以数列{(－1)n}是“等方差数列”，故C正确； 对于D，把数列{an}中的项列举出来是a1，a2，…，ak，…，a2k，…，数列{akn}中的项列举出来是ak，a2k，a3k，…，因为＝…＝＝p，所以＝()＋()＋…＋()＝kp，即＝kp，所以数列{akn}是“等方差数列”，故D正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.在等差数列{an}中，若a1＋a13＝2，则2a6－a5＝　　　　.  答案　1 解析　由{an}是等差数列，得2a7＝a1＋a13＝2，解得a7＝1，所以2a6－a5＝a7＝1. 7.已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为　　　　.  答案　6 解析　由于{an}，{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列， 而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列， 故a10－b10＝6. 8.已知等差数列{an}是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　.  答案　an＝4n－1 解析　设等差数列{an}的公差为d，则其前三项分别为a2－d，a2，a2＋d， 则 解得或(舍去).所以等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1. 9.已知数列是等差数列a1＝1，a5＝－，则a3＝ 　　　　　　.  答案　－ 解析　令bn＝，因为a1＝1，a5＝－， 所以b1＝1，b5＝9， 方法一　则{bn}的公差为＝2， 所以bn＝1＋2(n－1)＝2n－1， 故an＝－1，所以a3＝－. 方法二　则b3＝＝5，所以a3＝－. 三、解答题(共14分) 10.(14分)已知数列{an}为等差数列. (1)若a1－a5＋a9－a13＋a17＝17，求a3＋a15；(6分) (2)若a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式.(8分) 解　(1)因为a1＋a17＝a5＋a13＝2a9， a1－a5＋a9－a13＋a17＝17， 所以a9＝17，则a3＋a15＝2a9＝34. (2)由a2＋a5＋a8＝3a5＝9，得a5＝3， 所以a3＋a7＝2a5＝6，又a3a5a7＝－21， 即a3a7＝－7， 则有或 所以公差d＝＝2或－2， 则数列{an}的通项公式为an＝2n－7或an＝－2n＋13. 学科网（北京）股份有限公司 $