第16练 圆锥曲线的综合问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线综合应用，涵盖椭圆、双曲线、抛物线核心考点，通过基础判断、几何证明、创新情境（如蒙日圆）梯度设计，提升逻辑推理与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|椭圆焦点条件、双曲线离心率、抛物线定义|结合充要条件判断，融入多选题考查综合分析| |填空题|4题/20分|抛物线准线与圆的弦长、蒙日圆方程、双曲线渐近线与圆相切|引入数学史素材（蒙日圆），注重几何直观| |解答题|1题/14分|椭圆方程与离心率、向量数量积最值|综合考查方程求解与函数最值，体现代数运算与几何意义结合|

第16练　圆锥曲线的综合问题 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.“k∈(2，3)”是“方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　C 解析　方程＝1可化为＝1. ∵方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆⇔ ⇔2<k<3，即k∈(2，3)， ∴“k∈(2，3)”是“方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆”的充要条件. 2.若直线y＝x与双曲线＝1(a>0，b>0)没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为(　　) A.(1，] B.(，＋∞) C.(1，) D.[，＋∞) 答案　A 解析　由题意得双曲线的一条渐近线为y＝x，因为直线y＝x与双曲线无公共点，故有≤1，即＝e2－1≤1，所以e2≤2，所以1<e≤. 3.已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，点P在抛物线C上，点Q(0，7)，且PF＝PQ，则PF等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由抛物线C：x2＝8y，得F(0，2)， 因为PF＝PQ，所以P在线段FQ的中垂线y＝上， 所以yP＝，由抛物线的定义， 得PF＝yP＋2＝. 4.已知椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点为F(4，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(3，－1)，则椭圆E的标准方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　A 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2，直线AB的斜率k＝＝1，把A，B两点坐标代入椭圆方程得两式作差得＝0， 则＝－，即k＝＝1，又因为c＝4，即a2－b2＝16，解得a＝2，b＝2， 所以椭圆E的标准方程为＝1. 5.(多选)已知A，B分别是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，P是C上位于第一象限内任意一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为2，则下列说法正确的是(　　) A.PA＋PB为定值 B.C的渐近线方程为y＝±x C.k1k2为定值 D.k1＋k2>2 答案　BCD 解析　因为P是C上位于第一象限内任意一点，所以PA＋PB不是定值，故A错误； 因为离心率e＝2，所以e2＝＝1＋＝4，所以＝3，即，所以C的渐近线方程为y＝±x，故B正确；设P(x，y)，因为A(－a，0)，B(a，0)，因为点P在C上，所以＝1，所以k1k2＝·＝3，故C正确；k1＋k2＝··，因为P是C上位于第一象限内任意一点，所以kOP＝∈(0，)，所以k1＋k2＝>2，故D正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线l的距离为4，则准线l被圆x2＋y2－6x＝0截得的弦长为　　　　.  答案　2 解析　由题意知p＝4，准线l的方程为y＝－2， x2＋y2－6x＝0⇒(x－3)2＋y2＝9， 则圆心(3，0)到准线y＝－2的距离为2， 故弦长为2＝2. 7.加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若椭圆C：＝1(a>1)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为　　　　. 答案　x2＋y2＝17 解析　由题可知，，解得a2＝9， 则C：＝1，则圆半径的平方等于9＋8＝17，且圆心为原点， 则圆的方程为x2＋y2＝17. 8.若双曲线x2－＝1(b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则b＝　　　　.  答案　 解析　双曲线x2－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx， 即bx±y＝0，由对称性不妨取一条渐近线为bx＋y＝0. 则圆(x－2)2＋y2＝3的圆心(2，0)到直线bx＋y＝0的距离等于. 即，解得b＝(负值舍去). 9.已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，圆C2：x2＋y2＝a2＋b2与双曲线C1在第一象限的交点为P，且sin∠PF2F1＝，则双曲线C1的离心率为　　　　.  答案　 解析　由题意知，a2＋b2＝c2，所以圆C2是以F1F2为直径的圆， 由圆C2与双曲线C1在第一象限的交点为P， 得∠F1PF2＝， 由双曲线定义得PF1－PF2＝2a， 又因为sin∠PF2F1＝， 所以cos∠PF2F1＝， 得tan∠PF2F1＝＝3， 得PF1＝3PF2， 所以PF1＝3a，PF2＝a， 在Rt△PF1F2中，P＋P＝F1， 即(3a)2＋a2＝(2c)2，解得e＝. 三、解答题(共14分) 10.(14分)椭圆E与＝1有共同的焦点，且经过点A. (1)求椭圆E的标准方程和离心率；(6分) (2)设F为椭圆E的左焦点，M为椭圆E上任意一点，求·的最大值.(8分) 解　(1)椭圆E与＝1有共同的焦点，可设椭圆E的方程为＝1(t>－8)， 由椭圆E经过点A，可得＝1，解得t＝－5或t＝－(舍). ∴椭圆E的标准方程为＝1， 离心率e＝. (2)由(1)可得F(－1，0)，设M(x0，y0)，则＝(x0，y0)，＝(x0＋1，y0)， ·＝x0(x0＋1)＋＋x0＋3－ ＝＋x0＋3， ∵－2≤x0≤2， ∴＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2∈[2，6]. ∴·的最大值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $