第15练 抛物线的几何性质（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦抛物线几何性质，涵盖标准方程、准线、焦点等核心概念，通过基础计算、几何应用及综合问题，形成梯度化训练，适配高中同步教学需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|标准方程、准线、焦点距离、几何图形应用|基础题巩固概念（如准线方程），多选题考查分类讨论（对称轴不同的抛物线）| |填空题|4题/20分|通径、椭圆与抛物线综合、焦点弦长、三角形面积|中档题强化计算（如焦点弦长公式），跨知识综合（椭圆焦点与抛物线准线）| |解答题|1题/14分|抛物线方程求解、直线与抛物线位置关系|综合题分层设计，先求方程与准线（基础），再讨论直线与抛物线公共点（分类讨论斜率），贴近高考大题命题模式|

第15练　抛物线的几何性质 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.抛物线y＝3x2的准线方程为(　　) A.x＝－ B.x＝－ C.y＝－ D.y＝－ 答案　D 解析　抛物线y＝3x2的标准方程为x2＝y， 所以抛物线的标准方程为y＝－. 2.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线在第一象限交C于点A，若点A在l上的投影为点B，且AB＝4，则p等于(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 答案　B 解析　如图，因为AB＝4， 所以AF＝4， 过点A作x轴的垂线， 垂足为C， 则∠AFC＝， 则FC＝2，AC＝2， 所以A， 因为点A在抛物线上， 所以12＝2p×，整理得，p2＋4p－12＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去). 3.已知某桥的拱顶可近似地看作抛物线x2＝－16y的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为(　　) A.6米 B.2 米 C.8 米 D. 米 答案　B 解析　如图所示. 设鸽子所在位置为点P(x，y)(x>0，y<0)， 因为它到抛物线焦点的距离为10米， 所以|y|＋4＝10，解得y＝－6， 则x2＝－16×(－6)＝96， 所以鸽子到拱顶的最高点的距离为OP＝＝2. 4.已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线E：y2＝4x上，且AB∶CD＝1∶2，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为(　　) A.1∶4 B.1∶2 C.2∶3 D.无法确定 答案　A 解析　由题意可知，AB∥CD且AB⊥x轴，设A，D，则，可知，所以原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为1∶4. 5.(多选)若抛物线过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离可以是(　　) A. B. C. D. 答案　AB 解析　当抛物线的对称轴是x轴时，抛物线方程为y2＝x，准线为x＝－， 点A到此抛物线的焦点的距离为1＋； 当抛物线的对称轴是y轴时，抛物线方程为x2＝4y，准线为y＝－1，点A到此抛物线的焦点的距离为1＋. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.抛物线y2＝4x的通径(过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦)的长为　　　　.  答案　4 解析　由题意得，抛物线的焦点坐标为(1，0)，当x＝1时，y＝±2， 故抛物线y2＝4x的通径长为4. 7.已知抛物线C：y2＝mx的焦点是椭圆E：＝1的左焦点，则抛物线C的准线方程是　　　　　　　　　　　.  答案　x＝2 解析　∵椭圆E：＝1， ∴c2＝a2－b2＝9－5＝4，即c＝2， 又∵抛物线C：y2＝mx的焦点是椭圆E：＝1的左焦点， ∴抛物线C的焦点为(－2，0)，则抛物线C的准线方程为x＝2. 8.斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB＝　　　　　.  答案　 解析　由题意得抛物线C：y2＝4x的焦点为(1，0)，则直线AB的方程为y＝(x－1)， 联立消去y得3x2－10x＋3＝0， 所以x1＋x2＝， 从而AB＝x1＋x2＋p＝＋2＝. 9.已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，P是抛物线C上的动点，且在第一象限.过点P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q.若直线PF的斜率为，则△PQF的面积为　　　　.  答案　 解析　抛物线y2＝2x的焦点为F， 设P，y360>0， 则， 解得y0＝或y0＝－(舍去)， 所以P，又因为准线方程为x＝－， 则Q，PQ＝2， S△PQF＝×PQ·|yQ|＝×2×. 三、解答题(共14分) 10.(14分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(6分) (2)已知点B(0，2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程.(8分) 解　(1)由抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)，可得16＝4p，解得p＝4. 所以抛物线C的方程为y2＝8x， 其准线方程为x＝－2. (2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意. ②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意. ③当直线l的斜率存在且不为0时， 设直线l的方程为y＝kx＋2. 由消去x得ky2－8y＋16＝0. 由Δ＝64－64k＝0，得k＝1， 故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0. 综上，直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $