第10练 椭圆的几何性质（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦椭圆几何性质，涵盖标准方程、离心率、焦点等核心知识，通过基础计算与卫星轨道等实际情境题，实现梯度化同步训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|焦点坐标、标准方程、离心率分类讨论|结合圆方程、卫星轨道情境，多选题综合考查参数范围| |填空题|4题/20分|离心率范围、焦点三角形面积、新定义“倒椭圆”|融入几何关系推理，创新定义理解题提升思维| |解答题|1题/14分|椭圆方程求解（已知焦点/长轴+离心率）|分问设计，覆盖焦点位置分类讨论，强化方程构建能力|

第10练　椭圆的几何性质 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.已知椭圆＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为(　　) A.(－3，0) B.(－4，0) C.(－10，0) D.(－5，0) 答案　D 解析　∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1， ∴圆心坐标是(3，0)， ∴c＝3. 又b＝4，∴a＝＝5. ∵椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的左顶点为(－5，0). 2.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　B 解析　椭圆9x2＋4y2＝36化成标准方程为＝1，焦点在y轴上， 设所求椭圆方程为＝1(a>b>0)， 依题意有所以所求椭圆方程为＝1. 3.若椭圆x2＋＝1(a>0)的离心率为，则a的值为(　　) A.2 B. C.2或 D.2或 答案　D 解析　当a>1时，离心率为， 解得a＝2； 当0<a<1时，离心率为，解得a＝. 综上所述，a＝2或a＝. 4.人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆.如果把卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点(距离地面最近的点)A距离地面为r1，远地点(距离地面最远的点)B距离地面为r2，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，则由题意得a－c＝R＋r1，a＋c＝R＋r2， 解得a＝(2R＋r1＋r2)，c＝(r2－r1)，所以该卫星轨道的离心率e＝. 5.(多选)已知椭圆E：＝1，则(　　) A.若椭圆E的离心率为，则m＝8 B.若m>9，则椭圆E的焦点坐标为(0，±) C.若0<m<9，则椭圆E的长轴长为6 D.不论m取何值，直线x＝－4都与椭圆E没有公共点 答案　BCD 解析　对于A，因为椭圆E的离心率为， 所以a＝3c， 当焦点在x轴上时，a＝3，c＝1，m＝a2－c2＝9－1＝8， 当焦点在y轴上时，a＝，b＝3，c＝， 由a2＝b2＋c2，得m＝，A错误； 对于B，若m>9，焦点在y轴上，所以c2＝m－9，椭圆E的焦点坐标为(0，±)，B正确； 对于C，若0<m<9，则焦点在x轴上，所以a＝3，长轴长为6，C正确； 对于D，令y＝0，所以x＝±3，－3≤x≤3，所以不论m取何值，直线x＝－4都与椭圆E没有公共点，D正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1⊥MF2的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是　　　　　　.  答案　 解析　因为MF1⊥MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上，即x2＋y2＝c2，由题意可知，圆在椭圆内部，故c<b，所以e2＝<，所以e的取值范围是. 7.定义曲线＝1(a>b>0)为椭圆C：＝1(a>b>0)的“倒椭圆”.已知焦点在x轴上的椭圆C1：＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为，则它的“倒椭圆”C2的方程为　　　　　　　　　　　　　.  答案　＝1 解析　因为焦点在x轴上的椭圆C1：＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为， 所以解得a2＝16，b2＝4，所以椭圆C1的方程为＝1， 所以由“倒椭圆”的定义可得椭圆C1的“倒椭圆”C2的方程为＝1. 8.已知椭圆＝1(0<b<3)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P在椭圆上，若·＝0，则△PF1F2的面积为　　　　　　.  答案　3 解析　由已知可得，a＝3，e＝， 所以c＝，F1F2＝2. 因为点P在椭圆上，由椭圆的定义可得，PF1＋PF2＝6， 所以(PF1＋PF2)2＝P＋P＋2PF1·PF2＝36. 又·＝0， 所以△PF1F2为直角三角形， 则P＋P＝F1＝24， 所以PF1·PF2＝6， 所以PF1·PF2＝3. 9.若椭圆C的中心为坐标原点、焦点在y轴上，顺次连接C的两个焦点、一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接C的四个顶点构成四边形的面积为4，则C的方程为　　　　　　　　.  答案　＝1 解析　设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)， 由题可知， 解得 故椭圆的标准方程为＝1. 三、解答题(共14分) 10.(14分)已知椭圆W：＝1(m>0，n>0)的离心率为e，长轴为AB，短轴为CD. (1)若W的一个焦点为，CD＝6，求W的方程；(7分) (2)若AB＝10，e＝，求W的方程.(7分) 解　(1)由已知可得，c＝3，2b＝6，b＝3， 则a2＝b2＋c2＝18. 由题意可知，椭圆焦点在x轴上，则椭圆W的方程为＝1. (2)由已知可得，2a＝10，则a＝5， 又e＝，则c＝3，b2＝a2－c2＝16. 若椭圆焦点在x轴上，则椭圆W的方程为＝1. 若椭圆焦点在y轴上， 则椭圆W的方程为＝1. 综上，椭圆W的方程为＝1或＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $