第18练 等差数列的概念与通项公式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦等差数列核心概念，融合《张邱建算经》文化情境与梯度化问题设计，适配同步教学巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|公差计算、实际应用、图表分析|结合古代数学典籍，设置单选与多选梯度| |填空题|4题/20分|递推关系、数阵问题、构造新数列|融入数阵图表，考查抽象转化能力| |解答题|1题/14分|等差数列证明、通项公式推导|综合构造数列法，衔接高考基础题型|

第18练　等差数列的概念与通项公式 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.等差数列{an}中，a1＋a8＝10，a2＋a9＝18，则数列{an}的公差为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　设公差为d，a1＋a8＝10，a2＋a9＝18， 两式相减可得2d＝8，∴d＝4. 2.《张邱建算经》中有这样一个问题：今有某郡守赏赐下属10人，官职依次递降，赏赐随官职递降依次等差递减，前2人共得赏赐190贯，后3人共得赏赐60贯，则第5人得赏赐为(　　) A.80贯 B.70贯 C.60贯 D.50贯 答案　C 解析　由题意可知赏赐依次构成等差数列，设等差数列为{an}，公差为d， 则a1＋a2＝2a1＋d＝190，a8＋a9＋a10＝3a1＋24d＝60， 解得a1＝100，d＝－10，则a5＝100－4×10＝60. 3.在等差数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 2 3 5 第二行 8 6 14 第三行 11 9 13 则a4的值为(　　) A.18 B.15 C.12 D.20 答案　A 解析　由题意可得a1＝3，a2＝8，a3＝13，故此等差数列的公差为5， 故a4＝a3＋d＝18. 4.若等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为(　　) A.a8 B.a9 C.a10 D.a11 答案　B 解析　∵数列{an}中，a1＝70，d＝－9， ∴通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝70－9(n－1)＝－9n＋79， ∴|an|＝|－9n＋79|， ∴当n＝9时，其绝对值最小. 5.(多选)在无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}，则(　　) A.b1＝－7 B.b2＝27 C.an＝8－5n D.{bn}中的第507项是{an}中的第2 025项 答案　AC 解析　∵a1＝3，d＝－5，∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n，故C正确； 数列{an}中项的序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，…， ∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27，故A正确，B错误； 对于D，设数列{bn}中的第k项是数列{an}中的第m项，则m＝3＋4(k－1)＝4k－1， ∴当k＝507时，m＝4×507－1＝2 027，即数列{bn}中的第507项是{an}中的第2 027项，故D错误. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.已知在数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若为等差数列，则a5＝　　　　.  答案　 解析　设等差数列的公差为d， 则＋4d，即1＝＋4d，解得d＝， 所以＋2d＝，解得a5＝. 7.若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则＝　　　　.  答案　 解析　设等差数列a，x1，x2，x3，b的公差为m，等差数列a，y1，y2，y3，y4，y5，b的公差为n， 则有b＝a＋4m，且b＝a＋6n， ∴4m＝6n，则. 8.在数列{an}中，a1＝3且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则an＝　　　　.  答案　3n2 解析　∵点(，)在直线x－y－＝0上，即，又， ∴{}是以为首项，为公差的等差数列， ∴＋(n－1)×n，即an＝3n2. 9.已知数阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a32＝　　　　，a22＝　　　　.  答案　3　 解析　设第三行的四个数的公差为d3，由a31＝1，a34＝7，得d3＝＝2，所以a32＝1＋2＝3，因为第二列的四个数成等差数列，所以a32－a22＝a22－a12，解得a22＝. 三、解答题(共14分) 10.(14分)已知在数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)，设bn＝(n∈N*). (1)求证：数列{bn}是等差数列；(8分) (2)求{an}的通项公式.(6分) (1)证明　因为bn＝， 所以当n≥2时，bn－1＝. 所以bn－ ＝1， 所以{bn}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列. (2)解　由(1)知bn＝n， 故bn＝＝n，解得an＝1＋， 所以{an}的通项公式为an＝1＋(n∈N*). 学科网（北京）股份有限公司 $