第13练 双曲线的几何性质（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦双曲线几何性质，梯度设计覆盖基础计算与综合应用，适配同步教学巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（单选+多选）|5题/26分|顶点、渐近线、离心率、焦点三角形、椭圆双曲线综合|基础到综合梯度，第3题结合圆与焦点三角形，第4题跨椭圆双曲线离心率关联| |填空|4题/20分|等轴双曲线、直线与双曲线交点、三角形面积、离心率|第7题直线与双曲线位置关系分类讨论，第9题几何性质与距离公式结合| |解答|1题/14分|共同渐近线双曲线方程、中点弦斜率|第(2)问用点差法解决中点弦问题，体现代数推理能力|

第13练　双曲线的几何性质 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.双曲线＝1的顶点到渐近线的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　取双曲线其中一个顶点为(，0)，一条渐近线为y＝x， 则顶点到渐近线的距离d＝. 2.已知点P(，1)在双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线上，则该双曲线的离心率为(　　) A. B.2 C. D. 答案　D 解析　双曲线的渐近线方程为y＝±x，因为点P(，1)在双曲线的一条渐近线上，所以＝1，所以，所以该双曲线的离心率e＝. 3.已知F1，F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D.2 答案　A 解析　由题意知F1F2＝2c，△F1PF2是以∠F1PF2为直角的直角三角形， ∴F1P2＋F2P2＝F1， 又根据双曲线的定义得F1P－F2P＝2a， 平方得F1P2＋F2P2－2F1P·F2P＝4a2， 从而得出F1－2F1P·F2P＝4a2， ∴F1P·F2P＝2(c2－a2)， 又△PF1F2的面积等于a2， 即F1P·F2P＝a2， 则c2－a2＝a2， ∴c＝a， ∴双曲线的离心率e＝. 4.已知a>b>0，椭圆C1的方程为＝1，双曲线C2的方程为＝1，若C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　) A.x±y＝0 B.x±y＝0 C.x±2y＝0 D.2x±y＝0 答案　A 解析　由题意知椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝， 由e1e2＝··， 解得，又a>b>0，所以， 所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x， 即x±y＝0. 5.(多选)下列关于双曲线x2－＝1的四个说法中正确的是(　　) A.以实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为 B.与椭圆＋y2＝1有相同的焦点 C.与双曲线－x2＝1有相同的渐近线 D.过右焦点的弦长的最小值为4 答案　BC 解析　由双曲线x2－＝1， 可知a＝1，b＝，c＝， 故以实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为4××1×＝2，故A错误； 双曲线x2－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点(±，0)，故B正确； 双曲线x2－＝1与双曲线－x2＝1有相同的渐近线y＝±x，故C正确； 设过双曲线x2－＝1的右焦点F(，0)的直线y＝0交双曲线于A，B点， 可得AB＝2，故D错误. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.已知双曲线C：＝1(b>0)是等轴双曲线，则C的焦距为　　　　　.  答案　4 解析　因为双曲线C：＝1(b>0)是等轴双曲线，所以a2＝b2＝4， 所以c2＝a2＋b2＝8，得c＝2，故双曲线C的焦距2c＝4. 7.已知双曲线C：＝1，则经过点(，0)且与双曲线C有且只有一个公共点的直线有　　　　条.  答案　3 解析　双曲线C的方程为＝1， 其右顶点的坐标为(，0)，渐近线方程为y＝±2x， 当直线斜率不存在时，此时直线方程为x＝，符合题意； 当直线与双曲线的渐近线平行，即直线方程为y＝±2(x－)时，此时也符合题意， 综上，这样的直线共有3条. 8.若双曲线x2－＝1的左、右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且kMA＝1，则△MAB的面积为　　　　.  答案　3 解析　由双曲线x2－＝1，得A(－1，0)，B(1，0)， 又kMA＝1，∴直线MA的方程为y＝x＋1， 把直线MA的方程代入x2－＝1， 得x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2， 故M(2，3)， ∴S△MAB＝AB·yM＝3. 9.已知坐标原点为O，双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A(a，b)，若OA＝FA，则双曲线C的离心率为　　　　　　.  答案　2 解析　设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右顶点为M(a，0)， 又点A(a，b)，OA＝FA， ∴MA垂直平分线段OF， ∴c＝2a，即e＝2. 三、解答题(共14分) 10.(14分)已知双曲线C：－y2＝1. (1)求与双曲线C有共同的渐近线，且过点(－，)的双曲线的标准方程；(6分) (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B的中点坐标为(1，1)，求直线l的斜率.(8分) 解　(1)设所求双曲线方程为－y2＝k(k≠0)， 代入(－，)，得k＝－1，所以所求双曲线方程为y2－＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为A，B在双曲线上， 所以 由①－②得＝(y1－y2)(y1＋y2)， 因为A，B的中点坐标为(1，1)，所以 所以kl＝. 学科网（北京）股份有限公司 $