第11练 直线与椭圆的位置关系（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦直线与椭圆位置关系，通过选择、填空、解答题（共10题60分）系统考查焦点弦长、中点弦斜率、弦长计算等核心知识点，注重基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|椭圆焦点、中点弦、直线与椭圆相交|单选基础（焦点弦长），多选综合（离心率、面积）| |填空题|4题/20分|椭圆方程、弦长公式、面积关系、最值问题|结合参数求解，渗透函数思想（最值）| |解答题|1题/14分|椭圆方程求解、中点坐标计算|综合运用方程思想，步骤完整（方程联立、韦达定理）|

第11练　直线与椭圆的位置关系 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.通过椭圆＝1的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于(　　) A.2 B.3 C. D.6 答案　B 解析　不妨设过右焦点(1，0)且垂直于x轴的直线l：x＝1，代入椭圆方程得＝1，可得y＝±，故被椭圆截得的弦长等于3. 2.已知椭圆＝1以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　) A. B.－ C.2 D.－2 答案　B 解析　设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，且 两式相减， 得＝0， 所以＝－， 所以以P为中点的弦所在直线的斜率k＝＝－. 3.若椭圆＝1的动弦AB的斜率为1，则弦AB中点的坐标可能是(　　) A.(－3，4) B. C.(－4，3) D. 答案　B 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由已知得，＝1，＝1，两式作差可得，＝0，整理可得＝－×＝－. 设AB中点D的坐标为(x0，y0)，则有＝－，又点D在椭圆的内部，所以y0<2.故选B. 4.已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，若直线l的斜率为正数，且AB＝，则直线l在y轴上的截距为(　　) A.1 B.－1 C. D.－ 答案　D 解析　设l：x＝ky＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x化简整理得(k2＋2)y2＋2ky－1＝0， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，于是AB＝|y1－y2|＝· ＝··(k>0)，解得k＝，故直线l的方程为x－y－1＝0，令x＝0，解得y＝－，所以直线l在y轴上的截距为－. 5.(多选)已知斜率为2的直线l经过椭圆C：＝1的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　) A.椭圆C的短轴长为2 B.椭圆C的离心率为 C.AB＝ D.S△AOB＝ 答案　BCD 解析　∵椭圆C：＝1， ∴a＝，b＝2，c＝1. ∴椭圆C的短轴长为2b＝4，故A错误； 又离心率e＝，故B正确； 依题意，F(－1，0)，直线l的方程为y＝2(x＋1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去y，得3x2＋5x＝0， ∴x1＝0，x2＝－. 由已知x1，x2是A，B的横坐标， ∴AB＝|x1－x2| ＝×，故C正确； 原点到直线l的距离d＝， ∴S△AOB＝AB·d＝，故D正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.已知椭圆＝1(a>b>0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为　　　　　.  答案　＋x2＝1 解析　∵椭圆＝1的右顶点为A(1，0)， ∴b＝1，焦点坐标为(0，c)， ∵过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且其中一个交点为(x，c)， ∴1＝2|x|＝2b， 解得a＝2，则椭圆方程为＋x2＝1. 7.过椭圆＋y2＝1的右焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，则线段AB＝　　　　.  答案　 解析　椭圆的右焦点为(，0)，故直线AB的方程为y＝x－. 由 消去y，整理得4x2－6x＋3＝0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝. ∴AB＝ ＝ ＝. 8.已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x－m与C交于A，B两点，m∈(－1，1).若△F1AB的面积是△F2AB面积的3倍，则m＝　　　　　.  答案　 解析　方法一　设直线AB与x轴交于点M，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则△F1AB的面积S1＝F1M·|y1－y2|，△F2AB的面积S2＝F2M·|y1－y2|，又S1＝3S2，∴F1M＝3F2M. 由椭圆C：＝1，得F1(－1，0)，F2(1，0)，∴M. ∵M在直线y＝x－m上，∴0＝－m，∴m＝. 方法二　由题意得F1(－1，0)，F2(1，0)，＝3， F1到直线AB的距离为， F2到直线AB的距离为， 则＝3×，又m∈(－1，1)，解得m＝. 9.直线y＝kx－1被椭圆C：＋y2＝1截得的最大弦长为　　　　　　.  答案　 解析　联立直线y＝kx－1和椭圆＋y2＝1， 可得(1＋5k2)x2－10kx＝0， 解得x＝0或x＝， 则弦长l＝·， 令1＋5k2＝t(t≥1)， 则l＝＝2 ＝2， 当t＝， 即k＝±时， l取得最大值2×. 三、解答题(共14分) 10.(14分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆C的方程；(6分) (2)设直线l：y＝x＋2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标.(8分) 解　(1)设椭圆的半焦距为c， 依题意，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝5， ∴椭圆C的方程为＝1. (2)联立消去y得，14x2＋36x－9＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)， 则x1＋x2＝－，x0＝＝－， ∴y0＝x0＋2＝， ∴线段AB的中点坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $