第12练 双曲线的标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦双曲线标准方程，通过定义应用、方程求解及地震台震源轨迹等实际情境，实现基础巩固与能力提升的梯度训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|双曲线定义、标准方程、焦点比较、焦点三角形|结合定义判断轨迹，区分双曲线与椭圆焦点| |填空题|4题/20分|方程参数求解、实际轨迹方程、圆与双曲线交点|融入地震台观测等现实情境，强化几何直观| |解答题|1题/14分|共焦点双曲线方程、动圆圆心轨迹|综合应用定义与轨迹思想，适配高考常见题型|

第12练　双曲线的标准方程 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.已知A(0，－2)，B(0，2)，C(3，2)，动点P满足PA＋AC＝PB＋BC，则点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.射线 D.双曲线的一支 答案　D 解析　PA＋AC＝PB＋BC，即PB－PA＝AC－BC，其中AC＝＝5，BC＝3，AB＝4. 所以PB－PA＝5－3＝2<AB，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. 2.已知双曲线C：x2－y2＝λ(λ≠0)的焦点为(0，±2)，则C的方程为(　　) A.x2－y2＝1 B.y2－x2＝1 C.x2－y2＝2 D.y2－x2＝2 答案　D 解析　因为双曲线C的焦点(0，±2)在y轴上，所以λ<0，且双曲线C的方程＝1满足(－λ)＋(－λ)＝22，故λ＝－2，则C的方程为y2－x2＝2. 3.若椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则a的值为(　　) A.1 B. C.2 D.3 答案　A 解析　因为椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，所以a>0，且椭圆的焦点应该在x轴上，所以4－a2＝a＋2，所以a＝－2或a＝1， 因为a>0，所以a＝1. 4.设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且4PF1＝3PF2，则△PF1F2的面积等于(　　) A.8 B.10 C.24 D.48 答案　C 解析　由题设，令PF1＝3m，PF2＝4m且m>0，则4m－3m＝2a＝2，即m＝2，所以PF1＝6，PF2＝8，而F1F2＝2c＝10，则P＋P＝F1，所以△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，故其面积为×6×8＝24. 5.(多选)若α∈(0，π)，方程x2＋y2cos α＝1表示的曲线可以是(　　) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 答案　ACD 解析　当α＝，即cos α＝0时，x2＝1，得x＝±1表示垂直于x轴的直线，故A正确； 当α∈时，0<cos α<1，方程x2＋y2cos α＝1表示椭圆，故C正确； 当α∈时，－1<cos α<0， 方程x2＋y2cos α＝1表示双曲线，故D正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.设m是常数，若点F(0，5)是双曲线＝1的一个焦点，则m＝　　　　.  答案　16 解析　由点F(0，5)可知双曲线＝1的焦点落在y轴上， 所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16. 7.地震台是利用各种地震仪器进行地震观测的观测点，会先后接收到P波、S波、面波三种，有利于开展地震观测与地震科学研究.如图，A，B两地震台相距100公里，在M地发生轻微地震后，A，B两地震台先后接收到信息，时间差为10秒，已知P波的传播速度约为6公里/秒，现以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，则震源的轨迹方程为　　　　. 答案　＝1(x≤－30) 解析　设震源坐标为M(x，y)，则MB－MA＝10×6＝60，因为AB＝100，可得MB－MA<AB，所以震源的轨迹为双曲线的左支，可设方程为＝1(a>0，b>0)， 则2a＝60，2c＝100，所以a＝30，c＝50，可得b＝＝40， 所以震源的轨迹方程为＝1(x≤－30). 8.已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点 A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将双曲线的焦距三等分，则双曲线的标准方程为　　　　.  答案　＝1 解析　易知圆 x2＋y2－4x－9＝0与 y 轴的交点坐标为(0，3)，(0，－3). 因为圆与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上， 所以双曲线的焦点在y轴上，且a＝3， 设双曲线的标准方程为＝1(b>0)， 又因为 A，B 两点恰好将双曲线的焦距三等分， 所以c＝9，所以b2＝72， 所以双曲线的标准方程为＝1. 9.设双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中点M在左支上，N在右支上.若∠F2MN＝∠F2NM，则MN＝　　　　.  答案　8 解析　由题意得a＝2， 由双曲线的定义可知NF1－NF2＝MF2－MF1＝2a， 因为∠F2MN＝∠F2NM， 所以NF2＝MF2， 设NF2＝MF2＝x， 则MF1＝x－2a，NF1＝2a＋x， 故MN＝NF1－MF1＝2a＋x－(x－2a)＝4a ＝8. 三、解答题(共14分) 10.(14分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与双曲线＝1共焦点，经过点(－5，2)；(7分) (2)设圆C与两圆C1：(x＋2)2＋y2＝1，C2：(x－2)2＋y2＝1中的一个内切，另一个外切.求圆心C的轨迹E的方程.(7分) 解　(1)设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，∴c2＝4＋2＝6，即a2＋b2＝6. ① ∵双曲线经过点(－5，2)，∴＝1. ② 由①②得a2＝5，b2＝1，∴双曲线的标准方程为－y2＝1. (2)∵圆C与两圆C1：(x＋2)2＋y2＝1，C2：(x－2)2＋y2＝1中的一个内切，另一个外切， ∴|CC2－CC1|＝2<C1C2＝4， ∴圆心C的轨迹是以C1(－2，0)，C2(2，0)为焦点，2为实轴长的双曲线，即2a＝2，2c＝4，a＝1，c＝2，b＝，∴圆心C的轨迹E的标准方程为x2－＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $