第9练 椭圆的标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦椭圆标准方程核心知识，梯度设计覆盖基础定义应用与综合几何问题，适配同步教学巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题26分|椭圆定义、焦点焦距、新定义“倍径椭圆”|基础巩固与创新应用结合，多选题引入新情境| |填空题|4题20分|标准方程求法、直线与椭圆相切、最值问题|注重计算与推理结合，覆盖参数求解| |解答题|1题14分|标准方程推导、焦点三角形面积|综合几何与代数方法，贴合高考命题趋势|

第9练　椭圆的标准方程 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.若椭圆＝1上一点P到焦点F1的距离为5，则点P到另一焦点F2的距离为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案　B 解析　根据椭圆的定义知，PF1＋PF2＝2a＝2×6＝12，因为PF1＝5，所以PF2＝7. 2.曲线＝1与＝1(0<k<9)的关系是(　　) A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有不等的焦距，相同的焦点 C.有不等的焦距，不同的焦点 D.有相等的焦距，不同的焦点 答案　D 解析　椭圆＝1的焦点在x轴上，且＝25－9＝16，所以c1＝4，焦距为2c1＝8，焦点坐标为(±4，0)；椭圆＝1(0<k<9)的焦点在y轴上，且＝(25－k)－(9－k)＝16， 所以c2＝4，焦距为2c2＝8，焦点坐标为(0，±4)，所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点. 3.已知椭圆＝1(m>0)的焦点为F1，F2，与y轴的一个交点为A，若∠F1AF2＝，则m等于(　　) A.1 B. C. D.2 答案　C 解析　在椭圆＝1 (m>0)中， a＝，b＝m，c＝1.易知AF1＝AF2＝a. 又∠F1AF2＝， 所以△F1AF2为等边三角形， 即AF1＝F1F2， 所以＝2， 即m＝. 4.已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在椭圆C上，则MF1·MF2的最大值为(　　) A.28 B.16 C.12 D.9 答案　B 解析　由椭圆C：＝1可得a2＝16， 所以a＝4， 因为点M在椭圆C上，所以MF1＋MF2＝2a＝8， 所以MF1·MF2≤＝16， 当且仅当MF1＝MF2＝4时等号成立，故MF1·MF2的最大值为16. 5.(多选)若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　BC 解析　设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和2m，则2m＋m＝2a，即m＝， 因为a＋c≥m≥a－c，则a＋c≥≥a－c，所以a≤3c，对于A，a＝4，c＝1，不满足；对于B，a＝3，c＝1，满足；对于C，a＝5，c＝2，满足；对于D，a＝6，c＝，不满足. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6，0)的椭圆的标准方程是　　　　　　　　　.  答案　＝1 解析　由题可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)，则2c＝4，c＝2，又椭圆经过点P(6，0)，代入椭圆方程可得 a2＝36，b2＝a2－c2＝32.即椭圆的标准方程为＝1. 7.若直线y＝2x＋m与椭圆＝1有唯一公共点，则实数m＝　　　　　　.  答案　±3 解析　联立 消去y得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， 则Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. 因为直线l与椭圆C有唯一公共点，则Δ＝0， 解得m＝±3. 8.已知直线l：x＋y＋3＝0经过椭圆C：＝1(a>b>0)的左焦点F1，且与椭圆C相交于M，N两点，F2为椭圆的右焦点，△MNF2的周长为16，则b＝　　　　.  答案　 解析　直线l：x＋y＋3＝0经过椭圆的左焦点F1， 则F1(－3，0)，c＝3， △MNF2的周长为4a＝16，解得a＝4， 则b＝. 9.已知椭圆＝1的上焦点为F，M是椭圆上一点，点A(2，0)，当点M在椭圆上运动时，MA＋MF的最大值为　　　　　.  答案　10 解析　取椭圆的下焦点E，取椭圆上任一点M，如图，由题意可得A在椭圆外， 由椭圆的定义可得MA＋MF＝MA＋2a－ME≤2a＋AE，当且仅当A，E，M三点共线且E在M，A之间时取得等号，由椭圆的方程可得c2＝a2－b2＝9－5＝4，所以下焦点E(0，－2)， 2a＝6，所以AE＝＝4，所以MA＋MF的最大值为6＋4＝10. 三、解答题(共14分) 10.(14分)如图所示，已知椭圆C的两焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2F1F2＝PF1＋PF2. (1)求椭圆C的标准方程；(6分) (2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积.(8分) 解　(1)设椭圆C的标准方程为＝1，焦距为2c， 因为椭圆C的两焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，可得c＝1，F1F2＝2， 所以4＝PF1＋PF2＝2a， 可得2a＝4，所以a＝2， 则b2＝a2－c2＝4－1＝3， 所以椭圆C的标准方程为＝1. (2)因为点P在第二象限，∠F2F1P＝120°， 在△PF1F2中，由PF2＝2a－PF1＝4－PF1. 根据余弦定理得P＝P＋F1－2PF1·F1F2·cos 120°， 即(4－PF1)2＝P＋4＋2PF1， 解得PF1＝， 所以F1F2·PF1·sin 120°＝×2××. 学科网（北京）股份有限公司 $