第7练 圆与圆的位置关系（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦圆与圆位置关系，融合阿波罗尼斯圆等文化情境，通过基础判断、综合应用与分层设问，适配高中同步教学巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|位置关系判定、公共弦垂直平分线、阿波罗尼斯圆|结合数学史素材，综合直线与圆相切等跨知识点| |填空题|4题/20分|外切方程、相切参数计算、公共弦平分圆周、最值问题|基础巩固与参数动态应用结合| |解答题|1题/14分|直线与圆相切、圆与圆外切求方程|分层设问，考查几何直观与代数运算能力|

第7练　圆与圆的位置关系 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＝8－m2(m>3)，则两圆的位置关系是(　　) A.相交 B.内切 C.外切 D.外离 答案　D 解析　将两圆方程分别化为标准方程得到圆C1：(x－m)2＋y2＝4，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝9， 则圆心C1(m，0)，C2(－1，m)，半径r1＝2，r2＝3，两圆的圆心距C1C2＝>＝5＝2＋3， 则圆心距大于半径之和，故两圆外离. 2.圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是(　　) A.x＋y－1＝0 B.2x－y＋1＝0 C.x－2y＋1＝0 D.x－y＋1＝0 答案　A 解析　由题意得圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1，0)， 圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1，2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为，即x＋y－1＝0. 3.与直线x－y－4＝0和圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2都相切的半径最小的圆的方程是(　　) A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 C.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y＋1)2＝4 答案　C 解析　圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标为(－1，1)，半径为， 过圆心(－1，1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，所求圆的圆心在此直线上， 又圆心(－1，1)到直线x－y－4＝0的距离为＝3， 则所求圆的半径为， 设所求圆的圆心为(a，b)，且圆心在直线x＋y＝0上， 所以，且a＋b＝0， 解得a＝1，b＝－1(a＝3，b＝－3不符合题意，舍去)， 则所求圆的圆心为(1，－1)， 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262－公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满足＝2，则动点P的轨迹与圆(x－1)2＋y2＝1的位置关系是(　　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 答案　C 解析　∵PA2＝4PO2， ∴(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)， 整理得，点P的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4，其图形是以(－1，0)为圆心，以2为半径的圆，而圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为(1，0)，半径为1， 可得两圆的圆心距为2，大于2－1＝1， 小于2＋1＝3， 则动点P的轨迹与圆(x－1)2＋y2＝1的位置关系是相交. 5.(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正确的是(　　) A.两圆有两条公切线 B.直线AB的方程为y＝2x＋2 C.线段AB的长为 D.圆O上点E，圆M上点F，则EF的最大值为＋3 答案　AD 解析　根据题意，圆O：x2＋y2＝4，圆心为(0，0)，半径r＝2，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(－2，1)，半径R＝1， 对于A，圆O与圆M相交，有两条公切线，A正确； 对于B， 联立可得2x－y＋4＝0，即y＝2x＋4，直线AB的方程为y＝2x＋4，B错误； 对于C，由B的结论，直线AB的方程为y＝2x＋4，圆心O到AB的距离d＝，则AB＝2×，C错误； 对于D，圆O上点E，圆M上点F，EF的最大值为MO＋1＋2＝＋1＋2＝＋3，D正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.已知以C(3，4)为圆心的圆与圆x2＋y2＝1外切，则圆C的方程为　　　　　　　　.  答案　(x－3)2＋(y－4)2＝16 解析　设圆C的半径为r，则圆C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝r2. 由题意得两圆圆心距d＝＝5， 因为两圆外切，所以圆心距为两圆半径之和，即5＝r＋1，解得r＝4. 故圆C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝16. 7.若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，则m的值为　　　　　.  答案　－9或11 解析　由题意可得36＋64＋4m>0， 即m>－25， 故圆x2＋y2－6x－8y－m＝0的圆心为(3，4)，半径r＝， 若两圆外切，则＋1＝5，解得m＝－9， 若两圆内切，则－1＝5，解得m＝11. 所以m的值为－9或11. 8.已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，圆C2：x2＋y2＋x－y－m2＝0(m>0)，若圆C2平分圆C1的圆周，则正数m的值为　　　　.  答案　3 解析　圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，转换为标准式为(x－1)2＋(y＋2)2＝1；圆C2：x2＋y2＋x－y－m2＝0(m>0)，两圆相减得3x－5y－m2－4＝0，即公共弦方程，由题意知圆C1的圆心(1，－2)满足公共弦的方程，故3＋10－m2－4＝0，解得m＝3. 9.已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则PQ的最小值为　　　　　，最大值为　　　　　.  答案　1　5 解析　∵圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r＝1，圆C：(x－3)2＋y2＝1的圆心为C(3，0)，半径R＝1， ∴d＝OC＝3>1＋1＝R＋r， ∴两圆的位置关系是外离，又P在圆O上，Q在圆C上， 则PQ的最小值为d－(R＋r)＝3－(1＋1)＝1. PQ的最大值为d＋(R＋r)＝3＋(1＋1)＝5. 三、解答题(共14分) 10.(14分)已知圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝1. (1)若直线l过定点A(4，0)，且与圆C相切，求直线l的方程；(6分) (2)若圆M的半径为4，圆心在直线x＋y－1＝0上，且与圆C外切，求圆M的方程.(8分) 解　(1)由题意可知，圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝1，且A(4，0)在圆C外， 由分析知，所求直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－4)， 所以圆心C(4，2)到直线l：kx－y－4k＝0的距离为r＝1. 所以＝1，解得k＝±， 故所求直线l的方程为y＝x－4或y＝－x＋4. (2)由题意，可设圆心M的坐标为(t，1－t)，t∈R， 则由圆C与圆M外切，得圆心距为CM＝5， 所以＝5，即t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1，则圆心M(4，－3)或M(－1，2). 故所求圆M的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x＋1)2＋(y－2)2＝16. 学科网（北京）股份有限公司 $