第4练 直线与方程的综合问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦直线与方程综合应用，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖斜率、截距、距离、最值等核心知识点，强化数学思维与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|斜率计算、截距关系、定点问题、对称点应用|基础巩固与概念辨析结合，含多选提升区分度| |填空题|4题/20分|截距相等直线方程、直线与线段交点、距离范围、三角形面积|注重分类讨论与参数处理，强化几何直观| |解答题|1题/14分|直线方程与最值（PA·PB、OA+OB）|综合应用直线方程、参数法及基本不等式，体现能力提升|

第4练　直线与方程的综合问题 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　) A. B. C.－ D.－ 答案　A 解析　设直线l的斜率为k， 则k＝－. 2.直线l在x轴与y轴上的截距的倒数之和为常数，则该直线必过定点(　　) A.(0，0) B.(1，1) C.(k，k) D. 答案　C 解析　设直线l在x轴与y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0， 所以直线l的方程为＝1，又因为，可得＝1， 所以该直线必过定点(k，k). 3.当点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大时，直线l的一般式方程是(　　) A.3x＋2y－5＝0 B.2x－3y＋1＝0 C.x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋2＝0 答案　A 解析　l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)可化为λ(3x＋y－4)＋x＋y－2＝0， 令解得即直线l过定点Q(1，1)，则当PQ⊥l时，点P(－2，－1)到直线l的距离最大，即×＝－1，解得λ＝，此时直线l为x＋y－2－4×＝0，化简得3x＋2y－5＝0. 4.已知在△ABC中，顶点A(1，1)，点B在直线l：x－y＋2＝0上，点C在x轴上，则△ABC的周长的最小值为(　　) A. B.2 C.4 D. 答案　B 解析　设点A关于直线l：x－y＋2＝0的对称点为A1(x1，y1)，点A(1，1)关于x轴的对称点为A2(x2，y2)，连接A1A2交l于B，交x轴于C， 则此时△ABC的周长取最小值，且最小值为A1A2， ∵A1(x1，y1)与A(1，1)关于直线l对称， ∴解得 ∴A1(－1，3)， 易求得A2(1，－1)， ∴A1A2＝2， 即△ABC周长的最小值为2. 5.(多选)下列说法中，正确的有(　　) A.直线3x－y－2＝0在y轴上的截距为－2 B.直线x－y＋1＝0的倾斜角为120° C.直线mx＋y＋3＝0(m∈R)必过定点(0，－3) D.点(5，－3)到直线y＋2＝0的距离为7 答案　AC 解析　直线3x－y－2＝0中， 当x＝0时，y＝－2，故A正确； 直线x－y＋1＝0的斜率k＝，所以倾斜角为60°，故B错误； 直线mx＋y＋3＝0(m∈R)，当x＝0时，y＝－3，所以直线恒过定点(0，－3)，故C正确； 点(5，－3)到直线y＋2＝0的距离d＝|－3－(－2)|＝1，故D错误. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为　　　　　　　　　.  答案　4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0 解析　①若直线过原点，则k＝－， 所以y＝－x，即4x＋3y＝0. ②若直线不过原点，设＝1，即x＋y＝a. 则a＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x＋y＋1＝0. 综上，所求直线的方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0. 7.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1，1)和Q(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是　　　　.   答案　 解析　如图所示， 直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)， 当m≠0时，kQA＝， kPA＝－2，kl＝－， ∴－≤－2或－≥， 解得0<m≤或－≤m<0； 当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点， ∴实数m的取值范围为－≤m≤. 8.对任意的实数λ，点P(－2，2)到直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0的距离d的取值范围为　　　　　　　　　　　　.  答案　[0，4] 解析　由题意，直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0，即2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0， 由解得 所以直线过定点Q(2，－2)， 当PQ垂直于直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0时，d取得最大值＝4， 当直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0过点P时，d取得最小值0， 所以d的取值范围为[0，4]. 9.直线l经过点P(3，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，△OAB的面积为12(O为坐标原点)，则直线l的方程为　　　　　　　　.   答案　2x＋3y－12＝0 解析　方法一　设直线l的方程为＝1(a>0，b>0)， 则有＝1，且ab＝12，解得a＝6，b＝4. 所以所求直线l的方程为＝1，即2x＋3y－12＝0. 方法二　设直线l的方程为 y－2＝k(x－3)(k<0)， 令x＝0，得y＝2－3k，则2－3k>0； 令y＝0，得x＝3－，则3－>0. 所以S△OAB＝(2－3k)＝12， 解得k＝－. 故所求直线l的方程为y－2＝－(x－3)， 即2x＋3y－12＝0. 三、解答题(共14分) 10.(14分)直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点. (1)当PA·PB最小时，求l的方程；(7分) (2)当OA＋OB最小时，求l的方程.(7分) 解　依题意知l的斜率存在，且斜率为负. 设l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0). 令y＝0，可得x＝1－，则A， 令x＝0，可得y＝4－k，则B(0，4－k). (1)PA·PB＝·＝－(1＋k2)＝－4≥8(k<0)， 当且仅当＝k，即k＝－1时，PA·PB取最小值，这时l的方程为x＋y－5＝0. (2)OA＋OB＝＋(4－k)＝5－≥9(k<0)， 当且仅当k＝，即k＝－2时，OA＋OB取最小值，这时l的方程为2x＋y－6＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $