第6练 直线与圆的位置关系（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦直线与圆位置关系核心考点，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖弦中点方程、切线方程、位置关系判断等关键知识，适配同步教学巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|弦中点方程、切线斜率、点圆位置关系|基础题侧重概念应用，多选题综合考查性质辨析| |填空题|4题/20分|相离条件、切线方程、弦长计算、圆心半径|结合代数运算与几何性质，强化公式灵活运用| |解答题|1题/14分|切线方程求解、线段长度范围|综合分类讨论（斜率存在与否）与轨迹思想，体现能力提升梯度|

第6练　直线与圆的位置关系 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.若点P(1，2)为圆x2＋y2＝8的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为(　　) A.x＋2y－5＝0 B.2x＋y－4＝0 C.x－2y＋3＝0 D.2x－y＝0 答案　A 解析　圆x2＋y2＝8的圆心为C(0，0)，而点P(1，2)，所以kCP＝＝2， 由题意可知，AB⊥CP，则kAB·kCP＝－1，所以kAB＝－， 所以弦AB所在直线的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0. 2.设O为坐标原点，A为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0上一个动点，则∠AOC的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，当直线AO与圆C相切时，A为切点，连接AC， 此时∠AOC最大， 易得AC⊥AO， 又圆心C(2，0)，半径AC＝， 所以sin∠AOC＝， 则∠AOC＝. 3.圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋＝0的距离为3的点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0的圆心坐标为(－1，1)，半径为2. ∵圆心(－1，1)到直线l：x＋y＋＝0的距离d＝＝1， ∴圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋＝0的距离为3的点共有1个. 4.直线l：y＝x＋m与曲线C：x＋＝0有两个公共点，则m的取值范围是(　　) A.[1，) B.(1，] C.(3，3] D.[3，3) 答案　D 解析　方程x＋＝0，即x2＋y2＝9(x≤0)，表示的是一个以原点为圆心，3为半径的左半圆，直线y＝x＋m的斜率为1，连接A(－3，0)和B(0，3)，如图， 要使直线l与该半圆有两个交点，直线l必在AB以上的半圆内平移，直到直线l与半圆相切(不含相切)，则可求出直线l的两个临界位置对应的m的值. 当直线l与AB重合时，m＝3；当直线l与半圆相切时，圆心(0，0)到y＝x＋m的距离d＝r＝3，即＝3，解得m＝3或m＝－3(舍去). 所以m的取值范围是[3，3). 5.(多选)对于定点P(1，1)和圆C：x2＋y2＝4，下列说法正确的是(　　) A.点P在圆内部 B.过点P有两条圆的切线 C.过点P被圆截得的弦长最大的弦所在直线方程为x－y＝0 D.过点P被圆截得的弦长的最小值为2 答案　ACD 解析　由12＋12<4知，点P(1，1)在圆内，故A正确； 由点P在圆内，则过点P不能作出圆的切线，故B错误； 过点P被圆截得的最大弦长为圆的直径，∴弦所在直线方程应为y＝x，即x－y＝0，故C正确； 过点P被圆截得的弦长最小的弦所在直线垂直于直线CP，且过点P， 此时弦所在直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0， ∴弦长为2＝2，故D正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.若直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝4相离，则实数k的取值范围是　　　　　　　　.  答案　 解析　因为直线y＝kx＋1和圆(x－2)2＋(y＋3)2＝4相离，所以圆心(2，－3)到直线y＝kx＋1的距离d＝>2， 解得k>－，所以实数k的取值范围是. 7.在平面直角坐标系xOy中，从圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2，3)向圆C引切线，则切线方程为　　　　　　　　　　　.  答案　3x－4y＋6＝0或x＝2 解析　由题意可得，若切线的斜率存在，设所求切线方程为y－3＝k(x－2)， 即kx－y＋3－2k＝0， ∴圆心到切线的距离为＝1， 解得k＝， ∴切线方程为3x－4y＋6＝0； 若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝2，符合题意， ∴所求切线方程为3x－4y＋6＝0或x＝2. 8.已知直线x＋2y＋1＝0与☉C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，则△ABC的面积为　　　　　.  答案　 解析　☉C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1，0)，半径r＝2， 圆心C到直线x＋2y＋1＝0的距离d＝， 直线x＋2y＋1＝0被圆C：(x－1)2＋y2＝4截得的弦长为AB＝2. ∴△ABC的面积为S＝××. 9.已知圆C的圆心在y轴上，且与直线4x－2y＋9＝0切于点P，则圆C的圆心坐标为　　　　　　，半径r＝　　　　　.  答案　(0，2)　 解析　设圆心C(0，n)，则C到直线4x－2y＋9＝0的距离d＝， 因为切点为P，所以CP＝d，即， 解得n＝2，所以r＝d＝. 三、解答题(共14分) 10.(14分)如图，已知圆M：(x－1)2＋y2＝9，点A(－2，1). (1)求经过点A且与圆M相切的直线l的方程；(6分) (2)过点P(3，－2)的直线与圆M相交于D，E两点，F为线段DE的中点，求线段AF长度的取值范围.(8分) 解　(1)当过点A的直线斜率不存在时，其方程为x＝－2，满足条件. 当切线的斜率存在时，设l：y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0， ∵圆心(1，0)到切线l的距离等于半径3， ∴＝3，解得k＝. ∴切线方程为y－1＝(x＋2)，即4x－3y＋11＝0， 故所求直线l的方程为x＝－2或4x－3y＋11＝0. (2)由题意可得，F点的轨迹是以PM为直径的圆，记为圆C. 则圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝2， 从而AC＝＝2， ∴线段AF长度的最大值为2， 最小值为2， ∴线段AF长度的取值范围为[2，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $