第2练 两条直线的平行与垂直（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 高中数学同步教学题集，聚焦两条直线的平行与垂直，通过选择、填空、解答题（60分）系统考查直线方程、位置关系及几何应用，注重基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|垂直直线方程、平行条件充要性、对称问题、最值问题、平行垂直综合|基础与能力结合，单选多选并存，考查概念辨析与计算| |填空题|4题/20分|平行参数求解、直角梯形顶点坐标、矩形坐标、欧拉线方程|几何情境应用，融合对称垂直性质| |解答题|1题/14分|直线方程、AB边上的高、中位线方程|综合性强，分步考查直线方程应用与几何性质|

第2练　两条直线的平行与垂直 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.过点(0，2)且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程为(　　) A.2x－y＋2＝0 B.x＋2y＋2＝0 C.2x－y－2＝0 D.2x＋y－2＝0 答案　A 解析　设过点(0，2)且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程为2x－y＋m＝0，则2×0－2＋m＝0，解得m＝2，故所求直线方程为2x－y＋2＝0. 2.“a＝－1”是“直线x＋ay＋6＝0和直线(a－2)x＋3y＋2a＝0平行”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　C 解析　直线x＋ay＋6＝0和直线(a－2)x＋3y＋2a＝0平行， 由a(a－2)－3＝0，解得a＝3或a＝－1， 又因为当a＝3时，两直线重合，故舍去， 所以“a＝－1”是“直线x＋ay＋6＝0和直线(a－2)x＋3y＋2a＝0平行”的充要条件. 3.若点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，则l的方程为(　　) A.x－y＋1＝0 B.x＋y－1＝0 C.2x－2y＋1＝0 D.2x＋y－2＝0 答案　A 解析　∵点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称， ∴直线l为线段AB的垂直平分线， 又AB的中点坐标为，AB的斜率为＝－1， ∴直线l的斜率为1，即直线l的方程为y－＝x－， 化简可得x－y＋1＝0. 4.已知a，b均为正实数，且直线ax＋by－6＝0与直线(b－3)x－2y＋5＝0互相垂直，则2a＋3b的最小值为(　　) A.12 B.13 C.24 D.25 答案　D 解析　由两直线互相垂直可得a(b－3)－2b＝0，即2b＋3a＝ab，则＝1. 又a，b为正实数， 所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝13＋≥13＋2·＝25， 当且仅当a＝b时取等号， 故2a＋3b的最小值为25. 5.(多选)已知直线l1：(a＋2)x＋3y＋4＝0，l2：x＋ay－4＝0，则(　　) A.直线l1恒过定点，直线l2恒过定点(4，0) B.若l1与l2互相平行，则a＝－3或1 C.若l1⊥l2，则a＝－ D.若l1不经过第二象限，则a≤－2 答案　ACD 解析　对于A，l1的方程可整理为ax＋(2x＋3y＋4)＝0， 令 解得 ∴直线l1恒过定点； 令l2方程中的 解得 ∴直线l2恒过定点(4，0)，A正确； 对于B，若l1∥l2，则 解得a＝1，B错误； 对于C，若l1⊥l2，则a＋2＋3a＝0， 解得a＝－，C正确； 对于D，直线l1的方程可整理为y＝－x－， 若l1不经过第二象限，则－≥0， 解得a≤－2，D正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.若直线l2：kx＋3y＋3＝0与l1：x＋(4－k)y＋1＝0平行，则k的值为　　　　.  答案　1 解析　由已知得，1×3－(4－k)k＝0，即k2－4k＋3＝0，解得k＝1或k＝3.当k＝1时，l1：x＋3y＋1＝0，l2：x＋3y＋3＝0，两直线平行；当k＝3时，l1：x＋y＋1＝0，化简后得l2：x＋y＋1＝0，两直线重合，舍去.所以k＝1. 7.在直角梯形ABCD中，已知点A(－5，－10)，B(15，0)，C(5，10)，AD是腰且垂直于两底边，则顶点D的坐标为　　　　.  答案　(－11，2) 解析　设点D(x，y)，由条件可知，DC∥AB，DA⊥AB，所以，×＝－1，解得x＝－11，y＝2.故顶点D的坐标为(－11，2). 8.若矩形ABCD的中心M在x轴上，点A(－1，3)，B(－5，1)，则点C的坐标为　　　　，点D的坐标为　　　　.  答案　(－3，－3)　 (1，－1) 解析　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由CA的中点与BD的中点都在x轴上， 得y1＋3＝0，y2＋1＝0，∴y1＝－3，y2＝－1. ∵AB⊥BC，AB⊥DA，∴·＝－1，·＝－1， 解得 x1＝－3，x2＝1，∴C(－3，－3)，D(1，－1). 9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心和垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高所在直线的交点)依次位于同一条直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B(－1，2)，C(3，4)，且AB＝AC，则△ABC的欧拉线方程为　　　　　　　　.  答案　2x＋y－5＝0 解析　△ABC的顶点B(－1，2)，C(3，4)， ∴线段BC的中点为M(1，3)， kBC＝， ∴线段BC的垂直平分线方程为y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0. ∵AB＝AC， ∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上， 因此△ABC的欧拉线方程为2x＋y－5＝0. 三、解答题(共14分) 10.(14分)如图，已知△ABC的顶点分别为A(2，4)，B(0，－2)，C(－2，3)，求： (1)直线AB的方程；(4分) (2)AB边上的高所在直线的方程；(5分) (3)与AB边平行的中位线所在直线的方程.(5分) 解　(1)∵kAB＝＝3， ∴直线AB的方程为y＝3x－2， 即3x－y－2＝0. (2)由(1)可设AB边上的高所在直线的方程为y＝－x＋m， 由该直线过点C(－2，3)，得3＝＋m， 解得m＝， 故所求直线的方程为y＝－x＋，即x＋3y－7＝0. (3)AB边的中位线与AB平行且过AC的中点， ∴AB边的中位线所在直线的方程为y＝3x＋，即6x－2y＋7＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $