第3练 两条直线的交点与平面上的距离（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦直线交点与距离核心知识，通过基础巩固（如平行判定、距离计算）到综合应用（反射问题、恒过定点）的梯度设计，强化运算推理与几何直观，适配高中同步教学需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|直线平行、距离公式、反射问题|单选基础巩固公式应用，多选结合动点最值提升思维层次| |填空题|4题/20分|三角形面积、直线方程、距离最值|含参数讨论及恒过定点分析，体现知识综合| |解答题|1题/14分|平行判定、垂线方程、距离最大值|结合恒过定点探究距离最值，强化逻辑推理|

第3练　两条直线的交点与平面上的距离 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.若两条平行直线分别经过点A(5，0)，B(0，12)，则它们之间的距离d满足的条件是(　　) A.0<d≤5 B.0<d≤13 C.0<d<12 D.5≤d≤12 答案　B 解析　当两平行直线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为＝13， 所以0<d≤13. 2.已知直线l1：ax＋by＋a＝0，l2：x＋ay＋b＝0，若l1∥l2，且这两条直线间的距离为1，则点P(a，b)到坐标原点的距离为(　　) A.2 B.3 C.12 D.27 答案　A 解析　由题意可知，a≠0，因为l1∥l2， 所以a2＝b， 又直线l2的方程可化为ax＋a2y＋ab＝0，则两条直线间的距离d＝＝1， 解得a2＝3，b＝3，所以点P(a，b)到坐标原点的距离为＝2. 3.已知直线l与m：x－y＋c＝0(c<0)平行，且l，m之间的距离与点A(0，2)到l的距离均为1，则l在y轴上的截距为(　　) A.－1 B.0 C.1 D.4 答案　B 解析　因为直线l与m：x－y＋c＝0(c<0)平行，设直线l的方程为x－y＋t＝0， 因为l，m之间的距离与点A(0，2)到l的距离均为1，则解得 所以直线l的方程为x－y＝0，故直线l在y轴上的截距为0. 4.已知A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3)，一束光线从点F(－1，0)出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点E(1，0)上.则点D的坐标为(　　) A. B. C.(1，2) D.(2，1) 答案　C 解析　根据入射光线与反射光线关系，分别作出F，E关于AC，BC的对称点G，H， 连接GH，交BC于D，则D点即为所求，如图， 因为AC所在直线方程为y＝x＋3，F(－1，0)，设G(x，y)，则解得即G(－3，2)，由BC所在直线方程为y＝－x＋3，E(1，0)，同理可得H(3，2)，所以直线GH的方程为y＝2，由解得故点D的坐标为(1，2). 5.(多选)已知点P是直线3x－4y＋5＝0上的动点，定点Q(1，1)，则下列说法正确的是(　　) A.线段PQ的长度的最小值为 B.当PQ最短时，直线PQ的方程是3x＋4y－7＝0 C.当PQ最短时，点P的坐标为 D.线段PQ的长度可能是 答案　AC 解析　当PQ垂直于直线3x－4y＋5＝0时，PQ最短，点Q到直线的距离为，故A正确；由选项A知PQ长度的取值范围为，又<，故D错误；当PQ最短时，kPQ＝－，此时直线PQ的方程是y－1＝－(x－1)，即4x＋3y－7＝0，故B错误；联立 解得即P，故C正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.已知△ABC中，点A(1，1)，B(4，2)，C(－4，6)，则△ABC的面积为　　　　.  答案　10 解析　由两点式得直线BC的方程为，即x＋2y－8＝0， 由点A到直线的距离公式得BC边上的高d＝， 点B和点C之间的距离为＝4， ∴△ABC的面积为×4×＝10. 7.直线l过点P(2，－1)，且A(－1，2)和B(5，8)两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为　　　　 .  答案　x＝2或x－y－3＝0 解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0， 由于A(－1，2)和B(5，8)两点到直线l的距离相等，所以， 解得k＝1，此时直线l的方程为x－y－3＝0， 综上所述，直线l的方程为x＝2或x－y－3＝0. 8.在直线x＋3y＝0上求一点，使它到原点的距离和到直线x＋3y＋2＝0的距离相等，则此点的坐标是　　　　　.  答案　或 解析　由题意可设所求点的坐标为(－3a，a)， 因为直线x＋3y＝0与直线x＋3y＋2＝0平行， 所以两平行线间的距离为， 根据题意有， 解得a＝±， 所以所求点的坐标为或. 9.设m∈R，已知直线l1：(m＋2)x＋2my＋2－m＝0，过点(3，4)作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是　　　　　.  答案　5 解析　由于直线l1：(m＋2)x＋2my＋2－m＝0，整理得(x＋2y－1)m＋(2x＋2)＝0， 由解得即直线l1恒过点(－1，1)，则过点(3，4)作直线l2， 且l1∥l2，则最大距离为点(－1，1)与点(3，4)的距离，即d＝＝5. 三、解答题(共14分) 10.(14分)已知直线l1：(1＋2λ)x＋(1＋λ)y＋2－λ＝0(λ为实数)，直线l2：x＋2y＋2＝0. (1)当l1∥l2时，求λ的值；(6分) (2)过点P(－2，－1)作直线l2的垂线，垂足为Q，求点Q到直线l1的距离的最大值.(8分) 解　(1)当l1∥l2时，有2(1＋2λ)－(1＋λ)＝0，解得λ＝－. 经检验，当λ＝－时，l1与l2不重合， 所以λ＝－. (2)l2：x＋2y＋2＝0的斜率为－， 过点P(－2，－1)与直线l2垂直的直线方程为y＋1＝2(x＋2)，即2x－y＋3＝0， 联立方程解得 即Q， 直线l1：(1＋2λ)x＋(1＋λ)y＋2－λ＝0，即λ(2x＋y－1)＋(x＋y＋2)＝0， 联立解得 所以直线l1恒过点R(3，－5)， 要使点Q到直线l1的距离的最大，只需线段QR垂直于直线l1， 此时点Q到直线l1的距离的最大值为QR＝. 学科网（北京）股份有限公司 $