第5章 再练一课(范围：§5.1～5.3.2)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦导数概念与应用，以题串联从平均速度到含参单调性的逻辑链条，强化数学抽象与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题|平均速度、导数定义、极值点判断|从变化率到导数定义，构建概念生成链| |导数应用|6题|切线方程、函数图象、单调性讨论|导数几何意义→单调性与极值→综合应用| |综合拓展|3题|含参问题、协同增函数|通过分类讨论深化逻辑推理，体现数学运算素养|

再练一课(范围：§5.1~5.3.2) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1，2]上的平均速度为(　　) A.－6 B.2 C.－2 D.6 答案　A 解析　平均速度为＝－6. 2.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(1)＝－1，则等于(　　) A.－1 B.－3 C.－2 D.－ 答案　D 解析　由导数定义和f'＝－1， 得f'(1)＝－. 3.已知函数f(x)＝x3－4x，则f(x)的极大值点为(　　) A.(－2，0) B.(2，0) C.x＝－2 D.x＝2 答案　C 解析　由f(x)＝x3－4x， 得f'(x)＝x2－4. 令f'(x)＝x2－4>0，得x<－2或x>2. 令f'(x)＝x2－4<0，得－2<x<2. 所以函数f(x)的增区间为，.函数f(x)的减区间为. 所以x＝－2是函数的极大值点，x＝2是函数的极小值点. 4.若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f'x＋m，则(　　) A.f<f B.f＝f C.f>f D.以上答案都不对 答案　C 解析　∵f(x)＝x2＋2f'x＋m， ∴f'(x)＝2x＋2f'， ∴f'＝2×2＋2f'， ∴f'＝－4， ∴f(x)＝x2－8x＋m， 图象为开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝4， ∴f>f. 5.函数f(x)＝(x2－2x)ex的大致图象是(　　) 答案　B 解析　f'(x)＝ex＋ex＝ex， 令f'(x)>0，解得x>或x<－， 令f'(x)<0，解得－<x<， 所以f(x)＝ex在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f(x)的两个极值点为±，故排除选项A和选项D； 当x<0时，x2－2x>0，ex>0，所以f(x)＝ex恒为正，排除选项C； 即只有选项B符合要求. 6.若x＝2是函数f(x)＝x2＋2(a－2)x－4aln x的极大值点，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(2，＋∞) D.(－2，2) 答案　A 解析　f'(x)＝2x＋2(a－2)－(x>0)， 若a≥0，当x>2时，f'(x)>0； 当0<x<2时，f'(x)<0，则f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增. 所以当x＝2时，f(x)取得极小值，不满足条件； 若a<－2，由f'(x)>0可得0<x<2或x>－a； 由f'(x)<0可得2<x<－a， 所以f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增. 所以当x＝2时，f(x)取得极大值，满足条件； 若－2<a<0，由f'(x)>0可得0<x<－a或x>2； 由f'(x)<0可得－a<x<2， 所以f(x)在(0，－a)上单调递增，在(－a，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增. 所以当x＝2时，f(x)取得极小值，不满足条件； 若a＝－2，则f'(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值，不满足条件. 综上，实数a的取值范围是(－∞，－2). 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象在点(m，f(m))处的切线为lm，则(　　) A.lm的斜率的最小值为－2 B.lm的斜率的最小值为－3 C.l0的方程为y＝1 D.l－1的方程为y＝9x＋6 答案　BCD 解析　因为f'(x)＝3x2－6x＝3(x－1)2－3≥－3，所以lm的斜率的最小值为－3，A错误，B正确； 因为f'(0)＝0，f(0)＝1，所以l0的方程为y＝1，C正确； 因为f'(－1)＝9，f(－1)＝－3，所以l－1的方程为y＋3＝9(x＋1)，即y＝9x＋6，D正确. 8.函数f(x)＝ax3－bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝－1与x＝x0处取得极值，则下列结论正确的有(　　) A.a<0 B.c<0 C.f(－1)＋f(1)>0 D.函数f'(x)在区间(－∞，0)上单调递减 答案　BC 解析　因为f(x)＝ax3－bx2＋cx， 所以f'(x)＝3ax2－2bx＋c， 由题图知f(x)的增区间是(－∞，－1)，，减区间是(－1，x0)，所以f'(x)>0的解集为(－∞，－1)∪， f'(x)<0的解集为(－1，x0)，所以a>0，A错误； 因为f(x)在x＝－1与x＝x0处取得极值，则－1，x0是方程3ax2－2bx＋c＝0的根， 由根与系数的关系可知＝－x0<0⇒c<0，B正确； 由图可知x0<1⇒x0－1<0， 由根与系数的关系可知x0－1＝<0，故b<0， 故f(－1)＋f(1)＝－2b>0，C正确； 因为f'(x)＝3ax2－2bx＋c的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝<0， 所以f'(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，D错误. 9.如果对定义在R上的函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f＋x2f>x1f＋x2f，则称函数y＝f(x)为“H函数”，则下列函数是H函数的是(　　) A.f(x)＝3x－sin x B.f(x)＝ C.f(x)＝x3＋3x D.f(x)＝ex＋x 答案　ACD 解析　对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f＋x2f>x1f＋x2f恒成立， 所以不等式等价于(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立， 即函数f(x)是增函数， 对于A，函数f(x)＝3x－sin x，可得f'(x)＝3－cos x>0， 函数f(x)是增函数，符合题意； 对于B，函数f(x)＝当x>0时，函数y＝ln x单调递增， 当x<0时，函数y＝ln(－x)单调递减，不符合题意； 对于C，由函数f(x)＝x3＋3x，可得f'(x)＝3x2＋3>0，可得f(x)是增函数，符合题意； 对于D，函数f(x)＝ex＋x， 可得f'(x)＝ex＋1>0， 可得f(x)是增函数，符合题意. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知函数f(x)＝2x，若f(x)在x＝x0处的导数f'＝ln 4，则x0＝　　　.  答案　1 解析　因为f(x)＝2x，所以f'(x)＝2xln 2， 又f'＝ln 4，所以ln 2＝ln 4＝2ln 2，解得x0＝1. 11.函数f(x)的定义域为开区间，导函数f'(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有　　　个极小值点. 答案　1 解析　从导函数的图象上可得导数的零点有4个， 其中满足零点左侧附近导数小于零且右侧附近导数大于零的零点有1个. 12.若函数f(x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1，1)上存在减区间，则实数a的取值范围是　　　.  答案　 解析　f(x)＝(－x2＋ax)ex， 则f'(x)＝ex， 函数f(x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1，1)上存在减区间，只需－x2＋ax－2x＋a<0在区间上有解. 记g(x)＝－x2＋x＋a，其对称轴为直线x＝，开口向下，g＝－1－＋a＝1>0，只需g<0， 所以－1＋a－2＋a<0，解得a<. 四、解答题(共37分) 13.(12分)试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间. 解　函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝k－. 当k≤0时，kx－1<0，∴f'(x)<0， 则f(x)是减函数. 当k>0时，由f'(x)<0，即<0， 解得0<x<； 由f'(x)>0，即>0，解得x>. ∴当k>0时，f(x)在区间上单调递减， 在区间上单调递增. 综上所述，当k≤0时，f(x)的减区间为(0，＋∞)，无增区间； 当k>0时，f(x)的减区间为，增区间为. 14.(12分)已知曲线f(x)＝x3－x，求 (1)曲线在点(－1，0)处的切线方程；(3分) (2)曲线过点(－1，0)的切线方程；(5分) (3)曲线平行于直线11x－y＋1＝0的切线方程.(4分) 解　(1)由f(x)＝x3－x得f'(x)＝3x2－1， 则f'(－1)＝3－1＝2， 所以曲线在点(－1，0)处的切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2. (2)设切点为(x0，－x0)， 则f'(x0)＝3－1， 则切线方程为y＝(3－1)(x－x0)＋－x0， 因为切线过点(－1，0)，代入切线方程得， 0＝(3－1)(－1－x0)＋－x0，化简得2＋3－1＝0， 则(x0＋1)2(2x0－1)＝0⇒x0＝－1或x0＝， 所以曲线过点(－1，0)的切线方程为 y＝2x＋2或y＝－x－. (3)直线11x－y＋1＝0的斜率为11， 设切点为(x1，－x1)，则f'(x1)＝3－1， 则切线方程为y＝(3－1)(x－x1)＋－x1， 则由切线与直线11x－y＋1＝0平行得3－1＝11⇒＝4， 即x1＝2或x1＝－2， 所以切线方程为11x－y－16＝0或11x－y＋16＝0. 15.(13分)已知函数f(x)＝(6ln x－3)x2＋12ax(a∈R). (1)若f(x)在其定义域内是增函数，求a的取值范围；(5分) (2)定义：若f(x)在其定义域内单调递增，且f(x)＋g(x)在其定义域内也单调递增，则称g(x)为f(x)的“协同增函数”.已知函数g(x)＝4x3－18ax2＋12(2－a)x，若g(x)是f(x)的“协同增函数”，求a的取值范围.(8分) 解　(1)因为f(x)＝(6ln x－3)x2＋12ax，定义域为(0，＋∞)，所以f'(x)＝·x2＋2x(6ln x－3)＋12a＝12xln x＋12a， 令h(x)＝xln x，x>0，则h'(x)＝ln x＋1. 由h'(x)>0，得x>；由h'(x)<0，得0<x<. 则h(x)在上单调递减，在上单调递增. 故h(x)≥h＝－，即f'(x)≥12a－. 因为f(x)在其定义域内是增函数，所以12a－≥0，解得a≥，即a的取值范围是. (2)由(1)可得a≥. 设F(x)＝f(x)＋g(x)＝4x3＋(6ln x－18a－3)x2＋24x，x>0， 则F'(x)＝12x2＋12xln x－36ax＋24. 因为F(x)在其定义域内是增函数，所以F'(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即12x2＋12xln x－36ax＋24≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即x＋ln x＋≥3a在(0，＋∞)上恒成立. 设Q(x)＝x＋ln x＋，x>0，则Q'(x)＝1＋. 由Q'(x)>0，得x>1；由Q'(x)<0，得0<x<1. 所以Q(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 则Q(x)≥Q(1)＝3，故3a≤3，解得a≤1. 因为a≥，所以≤a≤1，即a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $